1、甘谷一中20192020学年第二学期高二第一次月考数学（理）第I卷（选择题)一、单选题1.若集合， 则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意首先求得集合B，然后逐一考查所给选项是否正确即可【详解】求解二次不等式可得：，则据此可知：，选项A错误；，选项B错误；且集合A是集合B的子集，选项C正确，选项D错误本题选择C选项，故选C【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系的判断等知识，熟记集合的基本运算方法是解答的关键，意在考查学生的转化能力和计算求解能力2.若，则下列不等式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函
2、数、对数函数、幂函数的单调性以及特殊值法来判断各选项中不等式的正误.【详解】对于A选项，由于指数函数为增函数，且，A选项中的不等式不成立；对于B选项，由于对数函数在上单调递增，当时，B选项中的不等式不恒成立；对于C选项，由于幂函数在上单调递增，且，C选项中的不等式恒成立；对于D选项，取，则，但，D选项中的不等式不恒成立.故选C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，通常利用函数单调性、比较法、不等式的性质以及特殊值法来判断，考查推理能力，属于中等题.3.下列函数中，值域为且在区间上单调递增的是 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性以及值域，综
3、合即可得答案【详解】（A）的值域不是R，是1，），所以，排除；（B）的值域是（0，），排除；（D），在（0，）上递减，在（，）上递增，不符；只有（C）符合题意.故选C.【点睛】本题考查函数的单调性以及值域，关键是掌握常见函数的单调性以及值域，属于基础题4.6人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为 ( )A. 18B. 72C. 36D. 144【答案】D【解析】【分析】甲、乙、丙三人相邻，用捆绑法分析，把三个元素看做一个元素同其他两个元素进行排列，注意这三个元素之间还有一个排列问题，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意，分2步进行分析：、甲、乙、丙三人必须站在一起，将三人看做
4、一个元素，考虑其顺序有A336种情况，、将这个元素与剩余的三个人进行全排列，有A4424种情况，则不同的排列种数为624144种；故选D【点睛】本题考查排列组合及简单的计数问题，考查相邻元素捆绑法：就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素.5.，且与的夹角为120，则的值为( )A. -5B. 5C. D. 【答案】B【解析】【分析】由平面向量数量积的定义可得，转化条件得，即可得解.【详解】，与的夹角为120，.故选：B.【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算，属于基础题.6.已知，且，则函数与函数的图像可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】依
5、题意，由于为正数，且，故单调性相同，所以选.7.不论为何实数，直线恒过定点（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将直线方程变形为,即可求得过定点坐标.【详解】根据题意,将直线方程变形为因为位任意实数,则,解得所以直线过的定点坐标为 故选:C【点睛】本题考查了直线过定点的求法,属于基础题.8.方程的解的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】判断函数与函数的图象交点个数即可得解.【详解】在同一坐标系中作出函数与函数的图象，如图所示：易判断其交点个数为2个，则方程的解的个数也为2个.故选：C【点睛】本题考查指数函数、对数函数的图像和性质，方程的根的个
6、数转化为求函数图像的交点个数是解题的关键，属于基础题.9.为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ）A. 24B. 36C. 48D. 64【答案】B【解析】【分析】根据题意，有两种分配方案，一是，二是，然后各自全排列，再求和.【详解】当按照进行分配时，则有种不同的方案；当按照进行分配，则有种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案，故选：B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.10.已知,直线被圆所截得弦
7、长为6,则的最小值为( )A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】根据圆的方程及半径，结合所截弦长为直径可知直线经过圆心，即可得.再根据基本不等式中“1”的代换即可求得的最小值.【详解】圆，所以圆心坐标为，半径为直线被圆截得弦长为6，则直线经过圆的圆心，所以，所以由基本不等式可得当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故选：A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，由基本不等式求最值，属于基础题.11.将函数的图象向右平移，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）A. 函数的最大值是B. 函数的最小正周期为C. 函数在区间上单调
8、递增D. 函数的图像关于直线对称【答案】C【解析】【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，然后利用三角函数的变换求解再根据正弦函数的性质进行判断即可【详解】化简得，向右平移后可得，再把所有点横坐标伸长到原来的倍（纵坐标长度不变）得到函数，所以，由三角函数性质知：的最大值为，故A错；最小正周期为，故B错；对称轴为，给k赋值，x取不到，故D错；又-，则-，单调增区间为，当k=0时，单调增区间为故C正确，故选C.【点睛】本题考查三角函数的图象变换，两角和与差的三角函数，三角函数的性质的应用，属于基础题12.设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8
9、【答案】B【解析】【分析】利用得，可得结论【详解】，数列是等差数列，时，时，满足的为6.故选：B【点睛】本题考查等差数列的前项和与项的关系，考查等差数列和性质非常数的等差数列要么递增，要么递减第II卷（非选择题)二、填空题13.若，则的值为 【答案】7【解析】试题分析：由可得.考点：排列数及组合数的计算.14.一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球的概率为_【答案】【解析】【分析】计算出“从中1次随机摸出2只球”共有种不同的结果，“2只球都是白球”有种不同的结果，再利用古典概型概率计算公式得解【详解】由题可得：“从中1次随机摸出
10、2只球”共有种不同的结果，“摸出的2只球都是白球”有种不同的结果.所以“从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白球”的概率为【点睛】本题主要考查了组合知识，还考查了古典概型概率计算公式，属于基础题15.如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足条件，中的_时，平面平面（只要填写一个你认为是正确的条件序号即可）.【答案】（或）【解析】【分析】推出,则要得到平面平面,即要得到平面,故只需垂直平面内的一条与相交的直线即可.【详解】底面,底面各边都相等,平面,当(或时,即有平面,而平面,平面平面.故答案为:(或).【点睛】本题考查线面面面垂直的判定与性质应用,需要学生具备一定的
11、空间想象能力与逻辑思维能力.16.已知点，,若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据直线方程可确定直线过定点；求出有公共点的临界状态时的斜率，即和；根据位置关系可确定的范围.【详解】直线可整理为：直线经过定点，又直线的斜率为的取值范围为：本题正确结果：【点睛】本题考查根据直线与线段的交点个数求解参数范围的问题，关键是能够明确直线经过的定点，从而确定临界状态时的斜率.三、解答题17.在的展开式中，第三项的二项式系数与第二项的二项式系数之比是（1）求的值；（2）求展开式中的常数项【答案】（1）（2）180【解析】【分析】（1）根据二项式系数公式，结合已知直接求解即可
12、；（2）写出二项式的展开式的通项公式并化简，令的指数为零求解即可.【详解】（1），（2），当，即时，常数项为【点睛】本题考查了二项式系数，考查了二项式展开式中的常数项，考查了数学运算能力.18.（用数字作答）从5本不同的故事书和4本不同的数学书中选出4本，送给4位同学，每人1本，问：（1）如果故事书和数学书各选2本，共有多少种不同的送法？（2）如果故事书甲和数学书乙必须送出，共有多少种不同的送法？【答案】（1）1440；（2）504.【解析】【分析】（1）由分步乘法计数原理可得共有种送法，计算即可得解；（2）由分步乘法的计数原理可得共有种送法，计算即可得解.【详解】（1）由题意可知，5本不同的
13、故事书中任选2本有种选择，4本不同的数学书中任选2本有种选择，4个不同的学生又有种选择，因此由乘法计数原理得共有种不同的送法；（2）如果故事书甲和数学书乙必须送出，则需要从剩余7本中选2本书即种选择，4个不同的学生又有种选择，因此由乘法计数原理得共有种不同的送法【点睛】本题考查了分步乘法计数原理与排列组合的综合应用，属于基础题.19.如图，四棱锥，平面ABCD，四边形ABCD直角梯形，E为PB中点.（1）求证：平面PCD；（2）求证：.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解【解析】【分析】（1）取的中点，证出，再利用线面平行的判定定理即可证出. （2）利用线面垂直的判定定理可证出平面，再根
14、据线面垂直的定义即可证出.【详解】如图，取的中点，连接， E为PB中点，且，又，,为平行四边形，即，又平面PCD，平面PCD，所以平面PCD.（2）由平面ABCD，所以，又因为，所以，平面，又平面，.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，要证线面平行，需先证线线平行；要证异面直线垂直，可先证线面垂直，此题属于基础题.20.的内角的对边分别为，.（1）求；（2）若，的面积为，求.【答案】（1）；（2）8.【解析】【分析】(1)首先利用正弦定理边化角，再利用余弦定理可得结果；（2）利用面积公式和余弦定理可得结果.【详解】（1）因为，所以，则，因为，所以.（2）因为的面积为，所以
15、，即，因为，所以，所以.【点睛】本题主要考查解三角形的综合应用，意在考查学生的基础知识，转化能力及计算能力，难度不大.21.已知函数.（1）求函数的定义域；（2）若不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由对数有意义，得可求定义域；（2）不等式有解，由，可得的最大值为，所以试题解析：（1）须满足，所求函数的定义域为.（2）不等式有解，=令，由于，的最大值为实数的取值范围为.考点：对数性质、对数函数性、不等式有解问题22.已知数列的前项和为，且，.（1）求；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由表达式，结合即可求得，递推后即可求得数列的通项公式.（2）先表示出数列的通项公式，结合裂项法求和即可得数列的前项和.【详解】（1）数列的前项和为，且，当时，化简可得，则，对也成立，所以数列的通项公式为.（2）由（1）可知，则所以数列的前项和为，则【点睛】本题考查了由求通项公式的方法，递推公式的应用，裂项求和法的应用，属于基础题.
