1、第2课时 参 数 方 程 2016 考纲下载 1了解参数方程，了解参数的意义2能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程3了解圆的平摆线、渐开线的形成过程，并能推导出它们的参数方程请注意对本部分的考查，主要是参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用，题目难度的设置以中档题型为主，预测 2017 年高考中，在难度，知识点方面变化不大课前自助餐 参数方程的概念如果曲线 C 上任意一点 P 的坐标 x 和 y 都可以表示为某个变量 t 的函数xf（t），yg（t）.反过来，对于 t 的每个允许值，由函数式xf（t），yg（t），所确定的点 P(x，y)都在曲线 C 上，
2、那么方程xf（t），yg（t），叫做曲线 C的参数方程，变量 t 是参数圆锥曲线的参数方程(1)圆心为(a，b)，半径为 r 的圆的参数方程为xarcos，ybrsin(为参数)(2)椭圆x2a2y2b21(ab0)的参数方程为xacos，ybsin(为参数)(3)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的参数方程为xacos，ybtan(为参数)(4)抛物线 y22px(p0)的参数方程为x2pt2，y2pt(t 为参数)直线的参数方程过点 M(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为xx0tcos，yy0tsin(t 为参数)，其中 t 表示直线上以定点 M0 为起点，任意一点 M(
3、x，y)为终点的有向线段M0M 的数量当 t0 时，M0M的方向向上；当 t0 时，M0M 的方向向下；当 t0 时，M 与 M0重合1判断下面结论是否正确(打“”或“”)(1)参数方程xt1，y2t，(t1)表示的曲线为直线(2)参数方程xcos m，ysin m，当 m 为参数时表示直线，当 为参数时表示的曲线为圆(3)直线x2tcos30，y1tsin150(t 为参数)的倾斜角 为 30.(4)参数方程x2cosy5sin(为参数且 0，2)表示的曲线为椭圆 答案(1)(2)(3)(4)2(课本习题改编)若直线 l 的参数方程是x12t，y2t(tR)，则 l 的方向向量 d 可能是(
4、)A(1，2)B(2，1)C(2，1)D(1，2)答案 C解析 求出直线方程 x2y50，方向向量(a，b)满足ba12，检验知：(2，1)满足，故选 C.3若曲线 C 的参数方程为x1cos2，ysin2(为参数)，则曲线 C 上的点的轨迹是()A直线 x2y20B以(2，0)为端点的射线C圆(x1)2y21D以(2，0)和(0，1)为端点的线段 答案 D解析 将曲线的参数方程化为普通方程得 x2y20(0 x2，0y1)4已知直线xx0at，yy0bt(t 为参数)上两点 A，B 对应的参数值是 t1，t2，则|AB|等于()A|t1t2|B|t1t2|C.a2b2|t1t2|D.|t1t
5、2|a2b2 答案 C解析 依题意，A(x0at1，y0bt1)，B(x0at2，y0bt2)，则|AB|x0at1（x0at2）2y0bt1（y0bt2）2 a2b2|t1t2|.5(2015广东)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线 C1 的极坐标方程为(cos sin)2，曲线 C2 的参数方程为xt2y2 2t(t 为参数)，则 C1 与 C2 交点的直角坐标为_ 答案(2，4)解析 曲线 C1 的直角坐标方程为 xy2，曲线 C2 的普通方程为 y28x，由xy2y28x得x2y4，所以 C1 与 C2 交点的直角坐标为(2，4)授人
6、以渔 题型一 参数方程化为普通方程例 1 把下列参数方程化为普通方程(1)x112t，y5 32 t(t 为参数)；(2)xsin，ycos2(为参数，0，2)【思路】(1)用代入法消去参数 t；(2)利用 sin2cos21 消参【解析】(1)由已知得 t2x2，代入 y5 32 t 中得 y5 32(2x2)即它的普通方程为 3xy5 30.(2)sin2cos21，x2y1，即 y1x2.又|sin|1，其普通方程为 y1x2(|x|1)【答案】(1)3xy5 30(2)y1x2(|x|1)探究 1 将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的 x，y(它们都是参
7、数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等 思考题 1 在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：xt，yta(t 为参数)过椭圆 C：x3cos，y2sin(为参数)的右顶点，则常数 a的值为_【解析】由题意知在直角坐标系下，直线 l 的方程为 yxa，椭圆的方程为x29 y24 1，所以其右顶点为(3，0)由题意知03a，解得 a3.【答案】3题型二 直线的参数方程例 2 (2016 沈 阳 模 拟)已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 为x1 22 t，y 22 t(
8、t 为参数)，曲线 C 的极坐标方程是 sin1sin2，以极点为原点，极轴为 x 轴正方向建立直角坐标系，点 M(1，0)，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点(1)写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的普通方程(2)线段 MA，MB 长度分别记为|MA|，|MB|，求|MA|MB|的值【思路】(1)消参数得 l 普通方程再化成直坐标方程(2)利用直线参数 t 的几何意义，求|MA|MB|的值【解析】(1)由x1 22 t，y 22 t消去 t，得 yx1.sincos1，即 2cos(4)1.由 sin1sin2，得 2 sin1sin2.2(1sin2)sin，即 x2y.(2)将
9、 M 点坐标代入 l 方程，知 M 点在 l 上，点 A、B 对应参数分别为 t1、t2，则|MA|MB|t1|t2|t1t2|联立x1 22 ty 22 t与x2y 得关于 t 的一元二次方程为 t23 2t20.t1t22，|MA|MB|2.【答案】(1)2 cos(4)1，x2y(2)2探究 2 直线的参数方程在交点问题中的应用 已知直线 l 经过点 M0(x0，y0)，倾斜角为，点 M(x，y)为 l上任意一点，则直线 l 的参数方程xx0tcos，yy0tsin(t 为参数)(1)若 M1，M2 是直线 l 上的两个点，对应的参数分别为 t1，t2，则|M0M1|M0M2|t1t2|
10、，|M1M2|t2 t1|（t2t1）24t1t2.(2)若线段 M1M2 的中点为 M3，点 M1，M2，M3 对应的参数分别为 t1，t2，t3，则 t3t1t22.(3)若直线 l 上的线段 M1M2 的中点为 M0(x0，y0)，则 t1t20，t1t20，b0)的参数方程为xacos，ybsin(为参数)，写出曲线 C 的参数方程消去直线 l 的参数方程中的参数 t 可得直线 l 的普通方程(2)设出点 P 的坐标的参数形式求出点 P 到直线 l 的距离 d，则|PA|dsin30.转化为求关于 的三角函数的最值问题，利用辅助角公式 asinbcos a2b2sin()求解【解析】(
11、1)曲线 C 的参数方程为x2cos，y3sin(为参数)直线 l 的普通方程为 2xy60.(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos，3sin)到 l 的距离为 d 55|4cos3sin6|，则|PA|dsin302 55|5sin()6|，其中 为锐角，且 tan43.当 sin()1 时，|PA|取得最大值，最大值为22 55.当 sin()1 时，|PA|取得最小值，最小值为2 55.【答案】(1)C：x2cos，y3sin(为参数)，l：2xy60(2)|PA|max22 55，|PA|min2 55探究 3 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性运用参数方程显得很
12、简单，运算更简便 本题易错点主要有两点：对于椭圆的参数方程不会转化而直接使用普通方程；在使用参数方程运算时不考虑 的实际取值思考题 3(1)已知点 P(x，y)是圆 x2y22y 上的动点，求 2xy 的取值范围；若 xya0 恒成立，求实数 a 的取值范围【解析】设圆的参数方程为xcos，y1sin.2xy2cossin1 5sin()1，512xy 51.xyacossin1a0，a(cossin)1 2sin(4)1.a 21.【答案】51，51 21，)(2)在圆 x2y24x2y200 上求两点 A 和 B，使它们到直线 4x3y190 的距离分别最长和最短【思路】利用圆的参数方程求
13、解【解析】将圆的方程化为参数方程为 x25cos，y15sin(为参数)，则圆上点 P 坐标为(25cos，15sin)，它到所给直线的距离 d|20cos15sin30|4232|5cos()6|，其中 cos45，sin35.故当 cos()1，即 时，d 最长，这时点 A 坐标为(6，4)；当 cos()1，即 时，d 最短，这时点 B 坐标为(2，2)【答案】A(6，4)，B(2，2)题型四 参数方程与极坐标方程的综合例 4(2015新课标全国)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：xtcos，ytsin，(t 为参数，t0)，其中 0.在以 O 为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，
14、曲线 C2：2sin，C3：2 3cos.(1)求 C2 与 C3 交点的直角坐标；(2)若 C1 与 C2 相交于点 A，C1 与 C3 相交于点 B，求|AB|的最大值【解析】(1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2y22y0，曲线 C3 的直角坐标方程为 x2y22 3x0.联立x2y22y0，x2y22 3x0，解得x0，y0，或x 32，y32.所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0，0)和(32，32)(2)曲线 C1 的极坐标方程为(R，0)，其中 0.因此 A 的极坐标为(2sin，)，B 的极坐标为(2 3cos，)所以|AB|2sin2 3cos|4|sin(3)|.当
15、 56 时，|AB|取得最大值，最大值为 4.【答案】(1)C2(0，0)，C3(32，32)(2)4探究 4 本题将所给的方程化为考生所熟悉的普通方程，然后去解决问题，这是考生在解决参数方程和极坐标方程相互交织问题时的一个重要的思路思考题 4(2015福建)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C的参数方程为x13cost，y23sint(t 为参数)在极坐标系(与平面直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 的极点，以 x 轴非负半轴为极轴)中，直线 l 的方程为 2 sin(4)m(mR)(1)求圆 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程；(2)设圆心 C 到直线 l 的距离等于
16、 2，求 m 的值【解析】(1)消去参数 t，得到圆 C 的普通方程为(x1)2(y2)29.由 2sin(4)m，得 sincosm0.所以直线 l 的直角坐标方程为 xym0.(2)依题意，圆心 C 到直线 l 的距离等于 2，即|1（2）m|22，解得 m32 2.【答案】(1)(x1)2(y2)29，xym0(2)m32 2直线与圆锥曲线的参数方程的应用(1)根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常用结论：直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为 t1，t2，则弦长 l|t1t2|；定点 M0 是弦 M1M2 的中点t1t20；设弦 M1M2 中点为 M，则点 M 对应的参数值 tMt1t22(由此可求|M2M|及中点坐标)(2)圆锥曲线的参数方程主要应用于设圆锥曲线上的点，从而讨论最值或距离等问题请做：题组层级快练（六十三）