1、选修4-4 坐标系与参数方程 第1课时 坐 标 系 2016 考纲下载 1了解在平面直角坐标系下的伸缩变换2理解极坐标的概念，能进行极坐标和直角坐标的互化3能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程请注意从目前参加新课标高考的省份对本部分内容的考查来看，主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化、及常见曲线的极坐标方程与极坐标方程的简单应用，预测 2017 年高考在试题难度、知识点考查等方面，不会有太大的变化课前自助餐 直角坐标系在给定坐标系下，任意一点都有确定的坐标与它对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置极坐标系(1)基本概念在平面上取一个定点 O，自点 O 引
2、一射线 OX，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，其中，点 O 称为极点，射线 OX 称为极轴(2)极径与极角设 M 是平面上任一点，表示 OM 的长度，表示以射线OX 为始边，射线 OM 为终边所成的角，那么，有序数对(，)称为点 M 的极坐标，其中，称为点 M 的极径，称为点 M 的极角球坐标系与柱坐标系(1)球坐标系在空间任取一点 O 作为极点，从 O 引两条互相垂直的射线OX 和 OZ 作为极轴，再规定一个单位长度和射线 OX 绕 OZ 轴旋转所成的角的正方向，这样就建立了一个球坐标系设 P 是空间一点，用 r 表示 OP 的长
3、度，表示以 OZ 为始边，OP 为终边的角，表示半平面 XOZ 到半平面 POZ 的角那么，有序数组(r，)就称为点 P 的球坐标(2)柱坐标系在平面极坐标系的基础上，增加垂直于此平面的 OZ 轴，可得空间柱坐标系设 P 是空间一点，P 在过 O 且垂直于 OZ 的平面上的射影为Q，取 OQ，xOQ，QPz，那么，点 P 的柱坐标为有序数组(，z)求曲线的极坐标方程的基本步骤 第一步建立适当的极坐标系；第二步在曲线上任取一点 P(，)；第三步根据曲线上的点所满足的条件写出等式；第四步用极坐标，表示上述等式，并化简得极坐标方程；第五步证明所得的方程是曲线的极坐标方程1(课本习题改编)将极坐标(2
4、，32)化为直角坐标为()A(0，2)B(0，2)C(2，0)D(2，0)答案 B2化极坐标方程 2cos 0 为直角坐标方程为()Ax2y20 或 y1 Bx1Cx2y20 或 x1 Dy1答案 C3(2016安徽六校联考)在极坐标系中，点(2，3)和圆 2cos 的圆心的距离为()A.3B2C.1 29D.4 29 答案 A解析 在极坐标系中，点(2，3)在直角坐标系下的坐标为(1，3)；在极坐标系中的圆 2cos在直角坐标系下的方程为(x1)2 y2 1，圆 心 坐 标 为(1，0)，点 到 圆 心 的 距 离 为（11）2（30）2 3，故选 A.4(2016河北冀州月考)直线 2co
5、s 1 与圆 2cos 相交的弦长为_ 答案 3解析 直线的方程为 2x1，圆的方程为 x2y22x0，圆心为(1，0)，半径 r1，圆心到直线的距离为 d|21|22012.设所求的弦长为 l，则 12(12)2(l2)2，解得 l 3.5(2015广东)已知直线 l 的极坐标方程为 2sin(4)2，点 A 的极坐标为 A(2 2，74)，则点 A 到直线 l 的距离为_ 答案 5 22解析 由 2sin(4)2得 2(22 sin 22 cos)2，所以 yx1，故直线 l 的直角坐标方程为 xy10，而点A(2 2，74)对应的直角坐标为 A(2，2)，所以点 A(2，2)到直线 l：
6、xy10 的距离为|221|25 22.授人以渔 题型一 平面直角坐标系下图形的变换例 1 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换x2x，y3y后的图形(1)2x3y0；(2)x2y21.【解析】由伸缩变换x2x，y3y，得到x12x，y13y.(*)(1)将(*)代入 2x3y0，得到经过伸缩变换后的图形方程是xy0.因此，经过伸缩变换x2x，y3y后，直线 2x3y0 变成直线 xy0.(2)将(*)代入 x2y21，得到经过伸缩变换后的图形的方程是x24 y29 1.因此，经过伸缩变换x2x，y3y后，圆 x2y21 变成椭圆x24 y29 1.【答案】(1)xy0(2)
7、x24 y29 1探究 1(1)平移变换 在平面直角坐标系中，设图形 F 上任意一点 P 的坐标为(x，y)，向量 a(h，k)，平移后的对应点为 P(x，y)，则有(x，y)(h，k)(x，y)，或表示为xhx，yky.(2)伸缩变换 一般地，由kxx，yy所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k 向着 x 轴的伸缩变换(当 k1 时，表示伸长；当 0k0，yy，0，可将其代入第二个方程，得 2xy4，与 x2y2 比较，将其变成 2x4y4，比较系数得 1，4，xx，y4y，直线 x2y2 图像上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的 4 倍可得到直线 2xy4.【答案】xx，y4y题型二 极坐
8、标与直角坐标方程的互化例 2 直角坐标方程与极坐标方程互化(1)y24x；(2)y2x22x10；(3)3(R);(4)cos221；(5)2cos2 4;(6)12cos.【解析】(1)将 xcos，ysin代入 y24x，得(sin)24cos.化简得 sin24cos.(2)将 xcos，ysin代入 y2x22x10，得(sin)2(cos)22cos10，化简得 22cos10.(3)当 x0 时，由于 tanyx，故 tan3 yx 3，化简得 y 3x(x0)；当 x0 时，y0.显然(0，0)在 y 3x 上，故 3(R)的直角坐标方程为 y 3x.(4)因为 cos221，所
9、以 1cos21，而 cos2，所以 x2y2x2.代简得 y24(x1)(5)因为 2cos24，所以 2cos22sin24，即 x2y24.(6)因为 12cos，所以 2cos1，因此 2 x2y2x1，化简得 3x24y22x10.【答案】(1)sin2 4cos (2)22cos10(3)y 3x(4)y24(x1)(5)x2y24(6)3x24y22x10探究 2 极坐标和直角坐标互化关系式xcos，ysin或2x2y2，tanyx（x0）是解决本例的突破口思考题 2(1)若点 P 的直角坐标为(1，3)，则点 P 的极坐标为_；(2)若点 P 的极坐标为(3，4)，则点 P 的
10、直角坐标为_；(3)判断点 A(2，4)，B(3，94)，C(2，4)是否在直线 4(R)上；(4)求直线 4(R)和 2 的交点的极坐标【解析】由极坐标与直角坐标表示同一点的坐标，那么它们之间可以互化，则xcos，ysin或 x2y2，tanyx.(1)x1，y 3，2，tan 3，53.故极坐标为(2，53)(2)3，4，故 xcos3 22，y3 22.从而点的直角坐标为(3 22，3 22)(3)方法一：A 和 C 点的极坐标都适合方程 4(R)，所以 A，C 两点都在直线上B 点的极坐标不适合方程，但 B 点与(3，4)表示同一个点，所以 B 点也在曲线上 方法二：三个点的直角坐标分
11、别为 A(2，2)，B(3 22，3 22)，C(2，2)，直线方程的直角坐标方程为 yx，显然三点都在直线上(4)方法一：显然(2，4)是一个交点，由于圆和直线都关于原点对称，所以另一个交点是(2，54)方法二：直线方程化为 yx，圆的方程化为 x2y24，解得交点的直角坐标为 A(2，2)，B(2，2)，化为极坐标是 A(2，4)，B(2，54)【答案】(1)(2，53)(2)(3 22，3 22)(3)在(4)A(2，4)，B(2，54)题型三 直线、圆的极坐标方程例 3 圆心 C 的极坐标为(2，4)，且圆 C 经过极点(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)求过圆心 C 和圆与极轴交点(
12、不是极点)的直线的极坐标方程【解析】(1)圆心 C 的直角坐标为(2，2)，则设圆 C 的直角坐标方程为(x 2)2(y 2)2r2，依题意可知 r2(02)2(0 2)24，故圆 C 的直角坐标方程为(x 2)2(y 2)24.而 x2y22 2(xy)0，化为极坐标方程为 22 2(sincos)0，即 2 2(sincos)(2)在圆 C 的直角坐标方程 x2y22 2(xy)0 中，令 y0，得 x22 2x0，解得 x0 或 2 2.于是得到圆 C 与 x 轴的交点坐标(0，0)，(2 2，0)，由于直线过圆心 C(2，2)和点(2 2，0)，则该直线的直角坐标方程为 y02022
13、2(x2 2)，即 xy2 20.化为极坐标方程得 cossin2 20.【答案】(1)2 2(sin cos)(2)cos sin 2 20探究 3 欲求极坐标方程，一般先求直角坐标方程，再利用xcos，ysin转化为极坐标方程即可思考题 3(2015新课标全国)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1:x2，圆 C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1，C2 的极坐标方程；(2)若直线 C3 的极坐标方程为 4(R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求C2MN 的面积【解析】(1)因为 xcos，ysin，C1 的极坐标方程为 cos
14、2，C2 的极坐标方程为 22cos4sin40.(2)将 4 代入 22cos4sin40，得 23 240，解得 12 2，2 2，|MN|12 2，因为 C2 的半径为 1，则C2MN 的面积12 21sin4512.【答案】(1)C1：cos 2，C2：22cos 4sin40(2)SC2MN12题型四 柱坐标系与球坐标系例 4 已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1，如图建立空间直角坐标系 Axyz，Ax 为极轴，求点 C1 的直角坐标、柱坐标以及球坐标【解析】点 C1 的直角坐标为(1，1，1)，设点 C1 的柱坐标为(，z)，球坐标为(r，)，其中 0，r0，0，02
15、，由公式xcos，ysin，zz及xrsincos，yrsinsin，zrcos，得 x2y2，tanyx（x0）及r x2y2z2，coszr，得 2，tan1及r 3，cos 33.结合图形得 4，由 cos 33，得 tan 2.点 C1 的直角坐标为(1，1，1)，柱坐标为(2，4，1)，球坐标为(3，4)，其中 tan 2，0.【答案】C1(1，1，1，)，(2，4，1)，(3，4)，其中 tan 2，0 探究 4 化点 M 的直角坐标(x，y，z)为柱坐标(，z)或球 坐 标(r，)，需 要 对 公 式xcos，ysin，zz以 及xrsincos，yrsinsin，zrcos进行
16、逆向变换，得到 x2y2，tanyx（x0），zz以及r x2y2z2，coszr.在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值，若不是特殊角，可以设定角，然后明确其余弦值或正切值，并标注角的范围即可思考题 4 若本例中条件不变，点 C 的柱坐标与球坐标分别如何表示？点 D 呢？【解析】由图知 C(1，1，0)，柱坐标(2，4，0)，球坐标为(2，2，4)，同样点 D 的直角坐标为(0，1，0)，柱坐标为(1，2，0)，球坐标为(1，2，2)【答案】C(1，1，0)，柱坐标(2，4，0)，球坐标(2，2，4)D(0，1，0)，柱坐标(1，2，0)，球坐标(1，2，2)关于极坐标系(1)极坐标系的四要素：极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向，四者缺一不可(2)由极径的意义知 0，当极角 的取值范围是0，2时，平面上的点(除去极点)与极坐标(，)(0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径 0，极角可取任意角(3)极坐标与直角坐标的重要区别：多值性请做：题组层级快练（六十二）