1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015-2016学年江西省吉安一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知命题p：xR，x23x+2=0，则p为( )AxR，x23x+2=0BxR，x23x+20CxR，x23x+2=0DxR，x23x+202平行线3x+4y9=0和6x+my+2=0的距离是( )AB2CD3已知实数a，b，则“2a2b”是“log2alog2b”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4设m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中
2、为真命题的是( )A若m，n，则mnB若m，则mC若m，则mD若m，m，则5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是AD的中点，则异面直线A1B与C1E所成角的大小是( )ABCD6设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为( )ABCD7在空间直角坐标系中，点M的坐标是（4，7，6），则点M关于y轴的对称点坐标为( )A（4，0，6）B（4，7，6）C（4，0，6）D（4，7，0）8如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为( )Aa2Ba2C2a2D2a29如图，网格纸上小正方形的边
3、长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A6B9C12D1810圆x2+y22x+4y=0与2txy22t=0（tR）的位置关系为( )A相离B相切C相交D以上都有可能11若双曲线=1（ab0）的渐近线和圆x2+y26y+8=0相切，则该双曲线的离心率等于( )AB2C3D12抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足AFB=设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是( )ABCD二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为_14已知双曲线的左、右焦 点分别为F1、
4、F2，P为C的右支上一点，且的面积等于_15已知光线通过点M（3，4），被直线l：xy+3=0反射，反射光线通过点N（2，6），则反射光线所在直线的方程是_16设动点P在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，记当APC为钝角时，则的取值范围是_三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17已知圆C经过点（2，1）和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=2x上，求圆C的标准方程18已知p：x28x200；q：1m2x1+m2（）若p是q的必要条件，求m的取值范围；（）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围19如图，四棱锥PABCD中，底面
5、ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，BAD=60（）求证：PBAD；（）若PB=，求点C到平面PBD的距离20已知抛物线y2=2px（p0）焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等（）求抛物线的方程；（）设过点P（6，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点F，求直线l的方程21如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，A1AD=若O为AD的中点，且CDA1O（）求证：A1O平面ABCD；（）线段BC上是否存在一点P，使得二面角DA1AP为？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由22已知椭圆C
6、：+=1（ab0）的离心率为，长轴长为8（）求椭圆C的标准方程；（）若不垂直于坐标轴的直线l经过点P（m，0），与椭圆C交于A，B两点，设点Q的坐标为（n，0），直线AQ，BQ的斜率之和为0，求mn的值2015-2016学年江西省吉安一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知命题p：xR，x23x+2=0，则p为( )AxR，x23x+2=0BxR，x23x+20CxR，x23x+2=0DxR，x23x+20【考点】四种命题；命题的否定 【专题】常规题型【分析】根据命题p：“xR，x23x+
7、2=0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意的”，“=“改为“”即可得答案【解答】解：命题p：“xR，x23x+2=0”是特称命题p：xR，x23x+20故选D【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题这里注意全称命题的否定为特称命题，反过来特称命题的否定是全称命题，属基础题2平行线3x+4y9=0和6x+my+2=0的距离是( )AB2CD【考点】两条平行直线间的距离 【专题】直线与圆【分析】利用两直线平行求得m的值，化为同系数后由平行线间的距离公式得答案【解答】解：由直线3x+4y9=0和6x+my+2=0平行，得m=8直线6x+my+2=0化为6x+8y+2=0，
8、即3x+4y+1=0平行线3x+4y9=0和6x+my+2=0的距离是故选：B【点评】本题考查了两条平行线间的距离公式，利用两平行线间的距离公式求距离时，一定要化为同系数的方程，是基础的计算题3已知实数a，b，则“2a2b”是“log2alog2b”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】简易逻辑【分析】分别解出2a2b，log2alog2b中a，b的关系，然后根据a，b的范围，确定充分条件，还是必要条件【解答】解：2a2bab，当a0或b0时，不能得到log2alog2b，反之由log2alog2b即：ab0
9、可得2a2b成立故选：B【点评】本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题4设m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是( )A若m，n，则mnB若m，则mC若m，则mD若m，m，则【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系 【专题】空间位置关系与距离【分析】利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择【解答】解：对于A，若m，n，则m与n平行、相交或者异面；故A错误；对于B，若m，则m或者m；故B错误；对于C，若m，则m与平行或者在平面内；故C错误；对于D，若m，m，则利用线面垂直的性质和线面平行
10、的性质可以判断；故D正确；故选：D【点评】本题考查了线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理；注意定理成立的条件5如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是AD的中点，则异面直线A1B与C1E所成角的大小是( )ABCD【考点】异面直线及其所成的角 【专题】计算题【分析】先将异面直线C1E放在一个面AC1内，再证明另一直线A1B与该平面垂直，即可证得两异面直线A1B与C1E垂直，从而两异面直线所成角为90【解答】解：如图，连接AB1，DC1，易证A1B面AC1，而C1E面AC1，A1BC1E，故选D【点评】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题
11、6设F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为直线x=上一点，F2PF1是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为( )ABCD【考点】椭圆的简单性质 【专题】计算题【分析】利用F2PF1是底角为30的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率【解答】解：F2PF1是底角为30的等腰三角形，|PF2|=|F2F1|P为直线x=上一点故选C【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题7在空间直角坐标系中，点M的坐标是（4，7，6），则点M关于y轴的对称点坐标为( )A（4，0，6）B（4，7，6）C（4，0，6）D（4
12、，7，0）【考点】空间中的点的坐标 【专题】计算题；函数思想；空间位置关系与距离【分析】先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标【解答】解：在空间直角坐标系中，点M（x，y，z）关于y轴的对称点的坐标为：（x，y，z），点M（4，7，6）关于y轴的对称点的坐标为：Q（4，7，6）故选：B【点评】本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题8如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面
13、积为( )Aa2Ba2C2a2D2a2【考点】斜二测法画直观图 【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】由斜二测画法的规则知在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x轴，长度保持不变，已知图形平行于y轴的线段，在直观图中画成平行于y轴，且长度为原来一半由于y轴上的线段长度为a，故在平面图中，其长度为2a，且其在平面图中的y轴上，由此可以求得原平面图形的面积【解答】解：由斜二测画法的规则知与x轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，正方形对角线在y轴上，可求得其长度为a，故在平面图中其在y轴上，且其长度变为原来的2倍，长度为2a，原平面图形的面积为=故选：C【点评】本题考查的知
14、识点是平面图形的直观图，其中斜二测画法的规则，能够快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化9如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A6B9C12D18【考点】由三视图求面积、体积 【专题】计算题【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=633=9故选B【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力10圆x2+y22x+4y=0与2txy22t=0（tR）的位置关系
15、为( )A相离B相切C相交D以上都有可能【考点】直线与圆的位置关系 【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】观察动直线2txy22t=0（tR）可知直线恒过点（1，2），然后判定点（1，2）在圆内，从而可判定直线与圆的位置关系【解答】解：直线2txy22t=0恒过（1，2）而12+（2）221+4（2）=50点（1，2）在圆x2+y22x+4y=0内则直线2txy22t=0与圆x2+y22x+4y=0相交故选：C【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系的判定，解题的关键找出直线恒过的定点，属于基础题11若双曲线=1（ab0）的渐近线和圆x2+y26y+8=0相切，则该双曲线的离心率等
16、于( )AB2C3D【考点】双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系 【专题】综合题；转化思想；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据双曲线方程得到它的渐近线方程为bxay=0，因为渐近线与圆x2+（y3）2=1相切，故圆心到直线的距离等于半径，用点到直线的距离公式列式，化简得c=3a，可得该双曲线离心率【解答】解：双曲线=1（ab0）的渐近线方程为y=x，即bxay=0又渐近线与圆x2+（y3）2=1相切，点（0，3）到直线bxay=0的距离等于半径1，即=1，解之得c=3a，可得双曲线离心率为e=3，故选：C【点评】本题给出双曲线的渐近线与已知圆相切，求双曲线的离心率，着重考查了直线
17、与圆的位置关系和双曲线的基本概念等知识，属于中档题12抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足AFB=设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最大值是( )ABCD【考点】抛物线的简单性质 【专题】计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b再由余弦定理得|AB|2=a2+b2+ab，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得的最大值【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，连接AQ、BQ由抛物线定义，得|AF|=|AQ|且|
18、BF|=|BP|，在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b由余弦定理得|AB|2=a2+b22abcos=a2+b2+ab，配方得|AB|2=（a+b）2ab，又ab（ ） 2，（a+b）2ab（a+b）2（ ） 2=（a+b）2得到|AB|（a+b）所以=，即的最大值为故选C【点评】本题给出抛物线的弦AB对焦点F所张的角为直角，求AB中点M到准线的距离与AB比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13若圆锥的侧面积为2，底面面积为，则该圆锥的
19、体积为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【专题】计算题【分析】求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为，则其底面半径是1，底面周长为2，又，圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积=故答案为【点评】本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力14已知双曲线的左、右焦 点分别为F1、F2，P为C的右支上一点，且的面积等于48【考点】双曲线的应用 【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先根据双曲线方程求出焦点坐标，再利用双曲线的性质求得|PF1|，作PF1边上的高AF2则可知AF
20、1的长度，进而利用勾股定理求得AF2，则PF1F2的面积可得【解答】解：双曲线 中a=3，b=4，c=5，F1（5，0），F2（5，0）|PF2|=|F1F2|，|PF1|=2a+|PF2|=6+10=16作PF1边上的高AF2，则AF1=8，PF1F2的面积为S=故答案为：48【点评】此题重点考查双曲线的第一定义，双曲线中与焦点，准线有关三角形问题；由题意准确画出图象，利用数形结合，注意到三角形的特殊性15已知光线通过点M（3，4），被直线l：xy+3=0反射，反射光线通过点N（2，6），则反射光线所在直线的方程是y=6x6【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程 【专题】直线与圆【分析】求
21、出M关于xy+3=0的对称点的坐标，利用两点式方程求出反射光线所在的直线方程【解答】解：光线通过点M（3，4），直线l：xy+3=0的对称点（x，y），即，K（1，0），N（2，6），MK的斜率为6，反射光线所在直线的方程是 y=6x6，故答案为：y=6x6，【点评】对称点的坐标的求法：利用垂直平分解答，本题是通过特殊直线特殊点处理，比较简洁，考查计算能力16设动点P在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，记当APC为钝角时，则的取值范围是（，1）【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离 【专题】综合题；空间位置关系与距离【分析】建立空间直角坐标系，利用APC不是平角，可得A
22、PC为钝角等价于cosAPC0，即，从而可求的取值范围【解答】解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1）=（1，1，1），=（，），=+=（，）+（1，0，1）=（1，1）=+=（，）+（0，1，1）=（，1，1）显然APC不是平角，所以APC为钝角等价于cosAPC0（1）（）+（）（1）+（1）2=（1）（31）0，得1因此，的取值范围是（，1）故答案为：（，1）【点评】本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演
23、算步骤.）17已知圆C经过点（2，1）和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=2x上，求圆C的标准方程【考点】圆的标准方程 【专题】计算题；直线与圆【分析】设出圆心C的坐标为（a，2a），利用圆经过A（2，1），和直线x+y=1相切，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可【解答】解：因为圆心C在直线y=2x上，可设圆心为C（a，2a）则点C到直线x+y=1的距离d=据题意，d=|AC|，则（）2=（a2）2+（2a+1）2，a22a+1=0a=1圆心为C（1，2），半径r=d=，所求圆的方程是（x1）2+（ y+2）2=2
24、【点评】本题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，考查点到直线的距离公式及两点间的距离公式，充分运用圆的性质是关键18已知p：x28x200；q：1m2x1+m2（）若p是q的必要条件，求m的取值范围；（）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【专题】简易逻辑【分析】（）求出p，q成立的等价条件，根据p是q的必要条件，建立条件关系即可（）利用p是q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，建立条件关系进行求解即可【解答】解：由x28x200得2x10，即p：2x10，由x2+2x+1m20得x+（1m）x+（1+m）0，q：1m2x1+m2（）
25、若p是q的必要条件，则，即，即m23，解得m，即m的取值范围是，（）p是q的必要不充分条件，q是p的必要不充分条件即，即m29，解得m3或m3即m的取值范围是m3或m3【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用逆否命题的等价性将p是q的必要不充分条件转化为q是p的必要不充分条件，是解决本题的关键19如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，BAD=60（）求证：PBAD；（）若PB=，求点C到平面PBD的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的性质 【专题】计算题；空间位置关系与距离【分析】（）取AD的中点O，连接OP，OB，证明AD平面OPB，
26、即可证明PBAD；（）证明OP平面CBD，利用等体积求点C到平面PBD的距离【解答】（）证明：取AD的中点O，连接OP，OB，则四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA，BAD=60，OPAD，OBAD，OPOB=O，AD平面OPB，PB平面OPB，PBAD；（）解：PA=PD=DA=2，OP=OB=，PB=，OP2+OB2=PB2，OPOB，OPAD，ADOB=O，OP平面CBD，PBD中，PD=BD=2，PB=，SPBD=设点C到平面PBD的距离为h，则=【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查体积的计算，属于中档题20已知抛物线y2=2px（p
27、0）焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等（）求抛物线的方程；（）设过点P（6，0）的直线l与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点F，求直线l的方程【考点】抛物线的简单性质 【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）确定抛物线上横坐标为的点的坐标为（，），利用抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，求出p，即可求抛物线的方程；（）设直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y24my24=0，利用以AB为直径的圆过点F，可得FAFB，即=0，可得：（x11）（x21）+y1y2=0，即可求直线l的方程【解答】解：（）抛物线上横
28、坐标为的点的坐标为（，），到抛物线顶点的距离的平方为，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等，=（+）2，p=2抛物线的方程为：y2=4x（）由题意可知，直线l不垂直于y轴可设直线l：x=my+6，代入y2=4x得，y24my24=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=24，以AB为直径的圆过点F，FAFB，即=0可得：（x11）（x21）+y1y2=0（1+m2）y1y2+5m（y1+y2）+25=024（1+m2）+20m2+25=0，解得：m=，直线l：x=y+6，即l：2xy12=0【点评】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位
29、置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，且AD=2CD=2，AA1=2，A1AD=若O为AD的中点，且CDA1O（）求证：A1O平面ABCD；（）线段BC上是否存在一点P，使得二面角DA1AP为？若存在，求出BP的长；不存在，说明理由【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定 【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）证明A1OAD，A1OCD，利用直线与平面垂直的判定定理证明A1O平面ABCD（）过O作OxAB，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，设P（1，m，0）m1，1，求出平面A
30、1AP的法向量，平面A1ADD1的法向量，利用二面角与向量的数量积求解m即可【解答】满分（13分）（）证明：A1AD=，且AA1=2，AO=1，A1O=，+AD2=AA12，A1OAD又A1OCD，且CDAD=D，A1O平面ABCD（）解：过O作OxAB，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz（如图），则A（0，1，0），A1（0，0，），设P（1，m，0）m1，1，平面A1AP的法向量为=（x，y，z），=，=（1，m+1，0），且取z=1，得=又A1O平面ABCD，A1O平面A1ADD1平面A1ADD1平面ABCD又CDAD，且平面A1ADD1平面ABCD=AD，CD平面A1ADD1不妨设
31、平面A1ADD1的法向量为=（1，0，0）由题意得=，解得m=1或m=3（舍去）当BP的长为2时，二面角DA1AP的值为（13分）【点评】本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想22已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，长轴长为8（）求椭圆C的标准方程；（）若不垂直于坐标轴的直线l经过点P（m，0），与椭圆C交于A，B两点，设点Q的坐标为（n，0），直线AQ，BQ的斜率之和为0，求mn的值【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）
32、通过长轴长可知a=4，利用离心率可知c=，通过a2=b2+c2可知b2=9，进而可得结论；（）记A（x1，y1）、B（x2，y2），通过设直线l方程为y=k（xm）（k0）并与椭圆方程联立，利用韦达定理可知x1+x2=、x1x2=，通过+=0，代入计算、化简即得结论【解答】解：（）由题意可知2a=8，即a=4，=，c=，又a2=b2+c2，b2=9，椭圆C的标准方程为：；（）设直线l方程为y=k（xm）（k0），且A（x1，y1），B（x2，y2），直线AQ、BQ的斜率分别为k1、k2，将y=k（xm）代入，得：（9+16k2）x232k2mx+16k2m2144=0，由韦达定理可得：x1+x2=，x1x2=，由k1+k2=0得，+=0，将y1=k（x1m）、y2=k（x2m）代入，整理得：=0，即2x1x2（m+n）（x1+x2）+2mn=0，将x1+x2=、x1x2=代入，整理可解得：mn=16【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题- 20 - 版权所有高考资源网