1、高考资源网（） 您身边的高考专家江西省抚州市临川二中2015届高三上学期第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1设集合M=x|x，N=x|x2x，则MN=( )A0，）B（，1C1，）D（，0考点：交集及其运算 专题：集合分析：解一元二次不等式求得N，再根据两个集合的交集的定义求得MN解答：解：集合M=x|x，N=x|x2x=x|0x1，则MN=x|0x，故选：A点评：本题主要考查一元二次不等式的解法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题2在下列区间中函数f（x）=ex+2x4的零点所在的区间为(
2、)ABC（1，2）D考点：函数零点的判定定理 专题：计算题分析：将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）f（b）0（a，b为区间两端点）的为答案解答：解：因为f（）=0，f（1）=e20，所以零点在区间（）上，故选B点评：本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解3如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是( )A34B55C78D89考点：程序框图；程序框图的三种基本逻辑结构的应用 专题：算法和程序框图分析：写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值解答：解：第一次循环得z=2，x=1
3、，y=2；第二次循环得z=3，x=2，y=3；第三次循环得z=5，x=3，y=5；第四次循环得z=8，x=5，y=8；第五次循环得z=13，x=8，y=13；第六次循环得z=21，x=13，y=21；第七次循环得z=34，x=21，y=34；第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，故选B点评：本题考查程序框图中的循环结构，常用的方法是写出前几次循环的结果找规律，属于一道基础题4已知f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=f（x），当x（0，2）时，f（x）=2x2+3，则f（7）=( )A5B5C101D101考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：由f（
4、x+2）=f（x），可得f（x）是以4为周期的周期函数，进而得f（7）=f（1），由奇函数f（x）在x（0，2）时的解析式f（x）=2x2+3，可求f（1）的值解答：解：f（x+2）=f（x），f（x+2）+2=f（x+2）=f（x），f（x）是以4为周期的周期函数；f（7）=f（81）=f（1）=f（1），x（0，2）时f（x）=2x2+3，f（1）=5，则f（7）=5故选：A点评：本题考查函数的周期性的定义、应用，及函数的奇偶性，解题的关键是求出函数的周期，属于中档题5下列命题正确的个数是( )命题“x0R，x02+13x0”的否定是“xR，x2+13x”；“函数f（x）=cos2axsi
5、n2ax的最小正周期为”是“a=1”的必要不充分条件；x2+2xax在x1，2上恒成立（x2+2x）min（ax）max在x1，2上恒成立；“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“0”A1B2C3D4考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：（1）根据特称命题的否定是全称命题来判断是否正确；（2）化简三角函数，利用三角函数的最小正周期判断；（3）用特例法验证（3）是否正确；（4）根据向量夹角为时，向量的数量积小于0，来判断（4）是否正确解答：解：（1）根据特称命题的否定是全称命题，（1）正确；（2）f（x）=cos2axsin2ax=cos2ax，最小正周期是=a=1，（2）正确；（
6、3）例a=2时，x2+2x2x在x1，2上恒成立，而（x2+2x）min=32xmax=4，（3）不正确；（4），当=时，0（4）错误正确的命题是（1）（2）故选：B点评：本题借助考查命题的真假判断，考查命题的否定、向量的数量积公式、三角函数的最小正周期及恒成立问题6已知向量、的夹角为45，且|=1，|2|=，则|=( )A3B2CD1考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及应用分析：将|2|=平方，然后将夹角与|=1代入，得到|的方程，解方程可得解答：解：因为、的夹角为45，且|=1，|2|=，所以424+2=10，即|22|6=0，解得|=3或|=（舍），故选A点评：本题解题的
7、关键是将模转化为数量积，从而得到所求向量模的方程，利用到了方程的思想7若变量x，y满足|x|ln=0，则y关于x的函数图象大致是( )ABCD考点：对数函数的图像与性质 专题：函数的性质及应用分析：由条件可得 y=，显然定义域为R，且过点（0，1），当x0时，y=，是减函数，从而得出结论解答：解：若变量x，y满足|x|ln=0，则得 y=，显然定义域为R，且过点（0，1），故排除C、D再由当x0时，y=，是减函数，故排除A，故选B点评：本题主要考查指数式与对数式的互化，指数函数的图象和性质的综合应用，以及函数的定义域、值域、单调性、函数图象过定点问题，属于基础题8已知函数f（x）满足f（x）=
8、f（x），且当x（，0），f（x）+xf（x）0成立，若a=f，b=（ln2）f（ln2），c=（）f（），则a，b，c的大小关系是( )AabcBcbaCcabDacb考点：利用导数研究函数的单调性 专题：函数的性质及应用分析：令g（x）=xf（x），得g（x）是偶函数，由x（，0）时，g（x）=f（x）+xf（x）0，得函数g（x）在x（，0）上单调递减，从而得g（x）在（0，+）上单调递增，再由log2=320.11ln20，得a，b，c的大小解答：解：f（x）=f（x），f（x）是奇函数，xf（x）是偶函数设g（x）=xf（x），当x（，0）时，g（x）=f（x）+xf（x）0，函数g
9、（x）在x（，0）上单调递减，函数g（x）在x（0，+）上单调递增log2=320.11ln20，g（log2）gg（ln2），故选：C点评：本题考查了函数的图象与奇偶性关系以及用导数研究函数的单调性等知识，解题的关键是构造函数g（x）并求导，属于易出错的题目9过点（2，0）的直线l与抛物线y=相交于两点，且在这两个交点处抛物线的切线互相垂直，则直线l的斜率k等于( )ABCD考点：直线与圆锥曲线的关系 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：对抛物线y=，y=x，l的方程是y=k（x+2），代入y=得：x22kx4k=0，由此利用根的判别式、韦达定理和直线垂直的性质能求出直线的斜率解答：解：对
10、抛物线y=，y=x，l的方程是y=k（x+2），代入y=得：x22kx4k=0，设两个交点是A（x1，y1），B（x2，y2），则，而在这两个交点处抛物线的切线互相垂直即x1x2=1k=且满足0故选：C点评：本题考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要注意抛物线性质和导数性质的合理运用10已知函数f（x）=x2+ex（x0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是( )A（，）B（，）C（，）D（，）考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：由题意可得ex0ln（x0+a）=0有负根，采用数形结合的方法可判断出a的取值范围解答：解：由题意可得：存在x0
11、（，0），满足x02+ex0=（x0）2+ln（x0+a），即ex0ln（x0+a）=0有负根，如图所示，当a0时，y=ln（x+a）=ln（xa）的图象可由y=ln（x）的图象向左平移a个单位得到，可发现此时exln（x+a）=0有负根一定成立；当a0时，y=ln（x+a）=ln（xa）的图象可由y=ln（x）的图象向右平移a个单位得到，观察图象发现此时exln（x+a）=0有负根的临界条件是函数y=ln（x+a）经过点（0，），此时有lna=，解得a=，因此要保证exln（x+a）=0有负根，则必须a故选：B点评：本题考查的知识点是函数的图象和性质，函数的零点，函数单调性的性质，函数的极限
12、，是函数图象和性质较为综合的应用，难度大二、填空题（每题5分，共25分）11已知，且，则的值为考点：任意角的三角函数的定义；半角的三角函数 专题：计算题分析：由的范围，确定的符号，求出它的平方的值，利用平方关系求出结果解答：解：因为所以0，sin=，又=1=，所以=，故答案为：点评：本题考查任意角的三角函数的定义，半角的三角函数，考查计算能力，是基础题12一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为6考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由三视图知几何体是一个半圆柱，半圆柱的底面是一个半径为2的半圆，高是3，根据所给的数据作出底面积，乘以高，得到体积解答：解：由三视图知几何
13、体是一个半圆柱，半圆柱的底面是一个半径为2的半圆，高是3，故半圆柱的体积V=223=6，故答案为：6点评：本题考查由三视图还原几何体，并且求几何体的体积，本题解题的关键是理解三个视图高长宽之间的关系，进而判断出几何体的形状，本题是一个基础题13已知菱形ABCD的边长为2，BAD=120，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=DF，若=1，则的值为2考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论解答：解：BC=3BE，DC=DF，=，=，=+=+=+，=+=+=+，菱形ABCD的边长为2，BAD=120，|=|=2
14、，=22cos120=2，=1，（+）（+）=+（1+）=1，即4+42（1+）=1，整理得，解得=2，故答案为：2点评：本题主要考查向量的基本定理的应用，以及数量积的计算，要求熟练掌握相应的计算公式14函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示，则将y=f（x）的图象向左至少平移个单位后，得到的图象解析式为y=Acosx考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：三角函数的图像与性质分析：由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式再根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论解答：解：由函数的图象可得A=1，T=，=2再
15、根据五点法作图可得 2+=，=，函数f（x）=sin（2x+）把函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得y=sin2（x+）+=cos2x的图象，故答案为：点评：本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题15若关于x的方程有四个不同的实数解，则实数k的取值范围是考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：分x=0和x0分析方程解的情况，x=0方程显然成立，不等于0时消掉x后利用数形结合的方法画图分析解答：解：方程有四个不同的实数解，x=0是方程的1个根，当x0时方程变为要使方程有3个不为0的实数根
16、，则函数y=k|x|和y=应有3个不同的交点，如图，k0显然不成立，当k0时y=kx（x0）与有一个交点，只需y=kx（x0）和有两个交点即可，联立，得kx2+4kx+1=0由=（4k）24k=0，得k=k时y=kx（x0）和有两个交点综上，关于x的方程有四个不同的实数解的实数k的取值范围是故答案为：（，+）点评：本题考查了根的存在性与根的个数的判断，考查了数形结合及分类讨论的数学思想方法，是中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.16已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，（1）求A的大小；（2）若a=7，求ABC的周长的取值范围考点：
17、解三角形的实际应用 专题：解三角形分析：（1）利用正弦定理，结合和差的正弦公式，化简可得结论；（2）利用余弦定理结合基本不等式，可求ABC的周长的取值范围解答：解：（1），由正弦定理可得，sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，sinAcosA=1，sin（A30）=，A30=30，A=60；（2）由题意，b0，c0，b+ca=7，由余弦定理49=（b+c）23bc（b+c）2（当且仅当b=c时取等号），b+c14，b+c7，7b+c14，ABC的周长的取值范围为（14，21点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题17某中学
18、2015届高三（1）班共有50名学生，他们每天自主学习的时间在180到330分钟之间，将全班学生的自主学习时间作分组统计，得其频率分布如下表所示：组序分组频数频率第一组180，210）50.1第二组210，240）100.2第三组240，270）120.24第四组270，300）ab第五组300，330）6c（1）求表中的a、b、c的值；（2）某课题小组为了研究自主学习时间与成绩的相关性，需用分层抽样方法，从这50名学生中随机抽取20名作统计分析，求在第二组学生中应抽取多少人？（3）已知第一组学生中有3名男生和2名女生，从这5名学生中随机抽取2人，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率考点：古典概
19、型及其概率计算公式；分层抽样方法 专题：概率与统计分析：（1）由5+10+12+a+6=50得a=17，再求b、c的值；（2）先求抽取比例，根据抽取比例求在第二组学生中应抽取的人数；（3）计算从5名学生中随机抽取2人的取法种数和恰好抽到1名男生和1名女生的取法种数，利用古典概型概率公式计算解答：解：（1）由5+10+12+a+6=50得a=17，b=0，34，c=0.12；（2）分层抽样的抽取比例为，在第二组学生中应抽取10=4人；（3）从5名学生中随机抽取2人共有=10种取法，恰好抽到1名男生和1名女生的取法有=6种，恰好抽到1名男生和1名女生的概率为=点评：本题考查了古典概型的概率计算，考
20、查了组合数公式的应用，解题的关键是读懂频率分布表18已知an是等差数列，其前n项的和为Sn，bn是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=21，S4+b4=30（1）求数列an和bn的通项公式；（2）记cn=anbn，nN*，求数列cn的前n项和考点：数列的求和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：本题（1）利用数列的通项公式与前n项和公式，得到首项和公比、公差的方程，求出数列的首项公比和公差，得到数列的通项；（2）本小题是一个等差与等比的积形成的数列，可以利用错位相减法求和解答：解：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，
21、S4=8+6d由条件a4+b4=21，S4+b4=30，得方程组解得所以an=n+1，bn=2n，nN*（2）由题意知，cn=（n+1）2n记Tn=c1+c2+c3+cn则Tn=c1+c2+c3+cn=22+322+423+n2n1+（n+1）2n，2 Tn=222+323+（n1）2n1+n2n+（n+1）2n+1，所以Tn=22+（22+23+2n）（n+1）2n+1，即Tn=n2n+1，nN*点评：本题考查了等差数列、等比数列的通项公式，前n项和公式，以及错位相减法求和，有一定的综合性，计算量也较大，属于中档题19如图，在四棱锥PABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为
22、PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE（I）若F为PE的中点，求证BF平面ACE；（）求三棱锥PACE的体积考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：空间位置关系与距离分析：（I）由题意可得E、F都是线段PD的三等分点设AC与BD的交点为O，则OE是BDF的中位线，故有BFOE，再根据直线和平面平行的判定定理证得 BF平面ACE（II）由条件证明CD平面PAE，再根据三棱锥PACE的体积VPACE=VCPAE=SPAECD=（PAPD）AB=PAPDAB，运算求得结果解答：解：（I）若F为PE的中点，由于底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，
23、PE=2DE，故E、F都是线段PD的三等分点设AC与BD的交点为O，则OE是BDF的中位线，故有BFOE，而OE在平面ACE内，BF不在平面ACE内，故BF平面ACE（II）由于侧棱PA丄底面ABCD，且ABCD为矩形，故有CDPA，CDAD，故CD平面PAE，三棱锥PACE的体积VPACE=VCPAE=SPAECD=（SPAD）AB=（PAPD）AB=PAPDAB=121=点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用等体积法求棱锥的体积，属于中档题20已知两定点E（2，0），F（2，0），动点P满足，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M满足，点M的轨迹为C（）求曲线C的方程；（）
24、过点D（0，2）作直线l与曲线C交于A、B两点，点N满足（O为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时的直线l的方程考点：圆锥曲线的综合 专题：综合题；向量与圆锥曲线分析：（）先求出点P的轨迹方程，再利用PMx轴，点M满足，确定P，M坐标之间的关系，即可求曲线C的方程；（）求得四边形OANB为平行四边形，则SOANB=2SOAB，表示出面积，利用基本不等式，即可求得最大值，从而可得直线l的方程解答：解：（）动点P满足，点P的轨迹是以EF为直径的圆E（2，0），F（2，0），点P的轨迹方程x2+y2=4设M（x，y）是曲线C上任一点，PMx轴，点M满足，P（x，2y）点P的轨迹方程x2+y
25、2=4x2+4y2=4求曲线C的方程是；（），四边形OANB为平行四边形当直线l的斜率不存在时，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设l：y=kx2，l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）直线方程代入椭圆方程，可得（1+4k2）x216kx+12=0x1+x2=，由=256k248（1+4k2）0，可得或|x1x2|=|x1x2|SOANB=2SOAB=2|x1x2|=8令k2=t，则，当t，即4t30时，由基本不等式，可得16，当且仅当，即t=时，取等号，此时满足0t=时，取得最小值k=时，四边形OANB面积的最大值为2，所求直线l的方程为和点评：本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，考
26、查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf（x），x0，其中f（x）是f（x）的导函数（）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x），nN+，求gn（x）的表达式；（）若f（x）ag（x）恒成立，求实数a的取值范围；（）设nN+，比较g（1）+g（2）+g（n）与nf（n）的大小，并加以证明考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（）由已知，可得用数学归纳法加以证明；（）由已知得到ln（1+x）恒成立构造函数（x）=ln（1+x）（x0），利用导数求出函数的最小值即
27、可；（）在（）中取a=1，可得，令则，n依次取1，2，3，然后各式相加即得到不等式解答：解：由题设得，（）由已知，可得下面用数学归纳法证明当n=1时，结论成立假设n=k时结论成立，即，那么n=k+1时，=即结论成立由可知，结论对nN+成立（）已知f（x）ag（x）恒成立，即ln（1+x）恒成立设（x）=ln（1+x）（x0），则（x）=，当a1时，（x）0（仅当x=0，a=1时取等号成立），（x）在0，+）上单调递增，又（0）=0，（x）0在0，+）上恒成立当a1时，ln（1+x）恒成立，（仅当x=0时等号成立）当a1时，对x（0，a1有（x）0，（x）在（0，a1上单调递减，（a1）（0）=0即当a1时存在x0使（x）0，故知ln（1+x）不恒成立，综上可知，实数a的取值范围是（，1（）由题设知，g（1）+g（2）+g（n）=，nf（n）=nln（n+1），比较结果为g（1）+g（2）+g（n）nln（n+1）证明如下：上述不等式等价于，在（）中取a=1，可得，令则故有，ln3ln2，上述各式相加可得结论得证点评：本题考查数学归纳法；考查构造函数解决不等式问题；考查利用导数求函数的最值，证明不等式，属于一道综合题高考资源网版权所有，侵权必究！