1、2015-2016学年江西省抚州市临川二中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目题意.请把正确答案填涂在答题卷的相应位置）1已知全集U=0，1，2，3，4，5，集合M=0，3，5，N=1，4，5，则集合M（UN）=（）A5B0，3C0，2，3，5D0，1，3，4，52下列函数中，与函数y=x+1是同一个函数的是（）ABCD3一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是（）A1B2C3D44集合，集合，则P与Q的关系是（）AP=QBPQCPQDPQ=5根据表格中的数据，可以判定方程exx2=0的一个根
2、所在的区间为（） x10123ex0.3712.727.3920.09x+212345A（1，0）B（0，1）C（1，2）D（2，3）6若函数f（x）=ax（a0，a1）是定义域为R的增函数，则函数f（x）=loga（x+1）的图象大致是（）ABCD7已知sin（+）=，则tancot=（）ABCD8已知f（x）=，其中x0，则f（x）的最小值为（）A1BCD9函数f（x）=Asin（x+）（其中A0，|）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度10已知向量=（sin，cos2
3、），=（12sin，1），（，），若=，的值为（）ABCD11已知定义在R上的函数f（x）满足f（1+x）=f（3x），当x1时，f（x）单调递增，则关于不等式的解范围（）ABCD12函数y=sin（x+）（0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记APB=，则sin2的值是（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13已知向量=（2，1），=10，|+|=5，则|=14已知函数f（x）=2sin2x+2，则f（x）的图象对称中心坐标为15设函数f（x）是定义在R上以3为周期的奇函数，若f（1）1，f（2018）=a25，则实数a的取值范围是
4、16已知函数f（x）=，若方程f（x）=t，（tR）有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围为三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17已知：平面上两个不相等向量， =（3，4），=（x+1，2x）（1）若（+）（），求实数x；（2）若=14，求与的夹角的余弦值18已知，（）求cosA的值；（）求函数的值域19若函数f（x）的定义域为（4，4），函数f（2x）的定义域为集合A，集合B=x|x2x+aa20，其中a0（1）若AB=B，求a的取值范围；（2）若AB=B，求a的取值范围20已知函数f（x）=log4（4x+1）+mx为偶函数，g（x）=为奇函数（1）求
5、mn的值；（2）设h（x）=f（x）+，若g（x）h（log4（2a+1）对任意x1恒成立，求实数a的取值范围21已知函数f（x）=Asin（x+）+1，（A0，0），振幅为1，图象两个相邻最高点间距离为，图象的一条对称轴方程为，若将f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位得到函数g（x）图象（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在ABC中，若，试判断ABC的形状22设a为正实数，记函数f（x）=a的最大值为g（a）（1）设t=+，试把f（x）表示为t的函数m（t）；（2）求g（a）；（3）问是否存在大于的正实数a满足g（a）=g（）？若存在，求出所有满足条件的a值；若不存在，说明理由
6、2015-2016学年江西省抚州市临川二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目题意.请把正确答案填涂在答题卷的相应位置）1已知全集U=0，1，2，3，4，5，集合M=0，3，5，N=1，4，5，则集合M（UN）=（）A5B0，3C0，2，3，5D0，1，3，4，5【考点】交、并、补集的混合运算【专题】计算题【分析】由全集U以及N，求出N的补集，找出M与N补集的并集即可【解答】解：全集U=0，1，2，3，4，5，集合M=0，3，5，N=l，4，5，UN=0，2，3，则M（UN）=0，2，3，5故
7、选C【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2下列函数中，与函数y=x+1是同一个函数的是（）ABCD【考点】判断两个函数是否为同一函数【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用【分析】根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断是同一函数【解答】解：对于A，函数y=（）2=x+1的定义域为x|x1，和y=x+1（R）的定义域不同，不是同一函数；对于B，函数y=+1=x+1的定义域为R，和y=x+1的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数；对于C，函数y=+1=x+1的定义域为x|x0，和y=x+1的定义域不同，不是同一函数；对于D，函数y=+1=|x|
8、+1的定义域为R，和y=x+1的对应法则不相同，不是同一函数故选：B【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同3一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是（）A1B2C3D4【考点】扇形面积公式；弧长公式【专题】计算题【分析】先根据扇形面积公式S=lr，求出r=2，再根据求出【解答】解：设扇形的半径为r，中心角为，根据扇形面积公式S=lr得6=，r=2，又扇形弧长公式l=r，故选C【点评】本题考查弧度制下扇形弧长、面积公式牢记公式是前提，准确计算是保障4集合，集合，则P与Q的关系是（）AP=QBPQCPQDPQ=【考点】
9、集合的包含关系判断及应用【专题】计算题【分析】通过求集合P中函数的定义域化简集合p，通过求集合Q中函数的值域化简集合Q，利用集合间元素的关系判断出集合的关系【解答】解：依题意得，P=x|x+10=x|x1，Q=y|y0，PQ，故选B【点评】进行集合间的元素或判断集合间的关系时，应该先化简各个集合，再借助数轴或韦恩图进行运算或判断5根据表格中的数据，可以判定方程exx2=0的一个根所在的区间为（） x10123ex0.3712.727.3920.09x+212345A（1，0）B（0，1）C（1，2）D（2，3）【考点】函数零点的判定定理；函数的零点与方程根的关系【专题】计算题【分析】令f（x）
10、=exx2，方程exx2=0的根即函数f（x）=exx2的零点，由f（1）0，f（2）0知，方程exx2=0的一个根所在的区间为 （1，2）【解答】解：令f（x）=exx2，由图表知，f（1）=2.723=0.280，f（2）=7.394=3.390，方程exx2=0的一个根所在的区间为 （1，2），故选 C【点评】本题考查方程的根就是对应函数的零点，以及函数在一个区间上存在零点的条件6若函数f（x）=ax（a0，a1）是定义域为R的增函数，则函数f（x）=loga（x+1）的图象大致是（）ABCD【考点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的图象与性质【专题】数形结合【分析】先由条件得a的取值
11、范围，再结合对数函数的单调性及定义域来判断函数f（x）=loga（x+1）的图象大致位置即可【解答】解：f（x）=ax（a0，a1），f（x）=，定义域为R的增函数，0a1，函数f（x）=loga（x+1）是定义域为（1，+）的减函数，故选D【点评】本题主要考查了指数函数的单调性与特殊点、对数函数的图象，判断时要注意定义域优先的原则7已知sin（+）=，则tancot=（）ABCD【考点】两角和与差的正弦函数【专题】方程思想；整体思想；综合法；三角函数的求值【分析】由题意及和差角的三角函数公式整体可解得sincos和cossin的值，要求的式子切化弦，整体代入可得【解答】解：sin（+）=，s
12、in（+）=sincos+cossin=，sin（）=sincoscossin=，联立以上两式可解得sincos=，cossin=，tancot=，故选：A【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式，整体法是解决问题的关键，属基础题8已知f（x）=，其中x0，则f（x）的最小值为（）A1BCD【考点】基本不等式【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用【分析】整体变形可得f（x）=x+1+2，由基本不等式可得【解答】解：x0，x+11，f（x）=x+1+222=22，当且仅当x+1=即x=1时取等号故选：B【点评】本题考查基本不等式求最值，整体凑出可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题9
13、函数f（x）=Asin（x+）（其中A0，|）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】首先根据函数的图象现确定函数解析式，进一步利用平移变换求出结果【解答】解：根据函数的图象：A=1又解得：T=则：=2当x=，f（）=sin（+）=0解得：所以：f（x）=sin（2x+）要得到g（x）=sin2x的图象只需将函数图象向右平移个单位即可故选：A【点评】本题考查的知识要点：函数图象的平移变
14、换，函数解析式的求法属于基础题型10已知向量=（sin，cos2），=（12sin，1），（，），若=，的值为（）ABCD【考点】平面向量的坐标运算；三角函数中的恒等变换应用【专题】三角函数的图像与性质；平面向量及应用【分析】利用数量积运算法则、倍角公式、三角函数的基本关系式、两角和差的正切公式即可得出【解答】解：=sin（12sin）cos2，=sin2sin2（12sin2），化为（，），=【点评】本题考查了数量积运算法则、倍角公式、三角函数的基本关系式、两角和差的正切公式，属于基础题11已知定义在R上的函数f（x）满足f（1+x）=f（3x），当x1时，f（x）单调递增，则关于不等式的解
15、范围（）ABCD【考点】正弦函数的单调性；奇偶性与单调性的综合【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质【分析】根据条件判断函数的对称性，结合三角函数的性质将不等式进行转化求解即可【解答】解：f（1+x）=f（3x），函数关于=1对称性，log82=log82=，不等式等价为f（sin2）f（），当x1时，f（x）单调递增，当x1时，f（x）单调递减，则不等式等价为sin2，即2k+22k+，kZ则k+k+，kZ故不等式的解集为（k+，k+），kZ故选：A【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数对称性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键12函数y=
16、sin（x+）（0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记APB=，则sin2的值是（）ABCD【考点】两角和与差的正切函数；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】由解析式求出函数的周期与最值，做出辅助线过p作PDx轴于D，根据周期的大小看出直角三角形中直角边的长度，解出APD与BPD的正弦和余弦，利用两角和与差公式求出sin，进而求得sin2【解答】解：函数y=sin（x+）T=2，过P作PDx轴于D，则AD是四分之一个周期，有AD=，DB=，DP=1，AP=在直角三角形中有sinAPD=，cosAPD=；cosBPD=，sinBPD=sin=si
17、n（APD+BPD）=cos=sin2=2sincos=2=故选：A【点评】本题考查三角函数的图象的应用与两角和的正切函数公式的应用，本题解题的关键是看出函数的周期，把要求正弦的角放到直角三角形中，利用三角函数的定义得到结果，本题是一个中档题目二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13已知向量=（2，1），=10，|+|=5，则|=5【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题【分析】求出，求出|+|的平方，利用，即可求出|【解答】解：因为向量=（2，1），所以=因为=10，所以|+|2=5+210+=，所以=25，则|=5故答案为：5【点评】本题考查向量的模的求法，向量数量积的应
18、用，考查计算能力14已知函数f（x）=2sin2x+2，则f（x）的图象对称中心坐标为（，0），kZ【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=4sin（2x+），解2x+=k可得对称中心【解答】解：由三角函数公式化简可得f（x）=2sin2x+2=2sin2x2sin（2x）=2sin2x2（cos2x）=2sin2x+2cos2x=4（sin2x+cos2x）=4sin（2x+），令2x+=k可得x=，故对称中心为（，0），kZ故答案为：（，0），kZ【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数
19、图象的对称性，属基础题15设函数f（x）是定义在R上以3为周期的奇函数，若f（1）1，f（2018）=a25，则实数a的取值范围是（2，2）【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】由函数的性质可化不等式为a251，解不等式可得【解答】解：函数f（x）是定义在R上以3为周期的奇函数，f（2018）=f（6723+2）=f（2）=f（23）=f（1），又f（1）1，f（1）1，故f（1）1，f（2018）=a251，即a24，解得2a2故答案为：（2，2）【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性，涉及不等式的解法，属基础题16已知函数f（x）=，若方程f
20、（x）=t，（tR）有四个不同的实数根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围为（32，34）【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】计算题；作图题；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用【分析】作函数f（x）=的图象，从而可得x1x2=1，且x3+x4=12，（4x36），从而解得【解答】解：作函数f（x）=的图象如下，结合图象可知，log2x1=log2x2，故x1x2=1，令x212x+34=0得，x=6，令x212x+34=2得，x=62；故x3+x4=12，（4x36），故x1x2x3x4=x3x4=x3（12x3）=（x36）2+36，4x36，2x36，32（x36）
21、2+3634，故答案为：（32，34）【点评】本题考查了数形结合的思想应用及学生的作图能力，同时考查了配方法的应用三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17已知：平面上两个不相等向量， =（3，4），=（x+1，2x）（1）若（+）（），求实数x；（2）若=14，求与的夹角的余弦值【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；对应思想；向量法；平面向量及应用【分析】（1）根据向量的垂直的条件得到关于x的方程，解得即可，（2）先根据向量的数量积求出x的值，再根据向量的夹角公式即可求出【解答】解：（1）=（3，4），=（x+1，2x），（+）（），（+）（）=22=32+42（x+1）24x2=0
22、，x=或x=2，（2）=14，3（x+1）+42x=14，x=1，=（2，2），|=2，|=5，cos，=【点评】本题考查了向量垂直的条件以及向量的夹角公式，属于基础题18已知，（）求cosA的值；（）求函数的值域【考点】角的变换、收缩变换；三角函数的化简求值；两角和与差的余弦函数【专题】计算题【分析】（）先利用同角三角函数基本关系式求，注意对角的范围的判断，再利用两角差的余弦公式将cosA变换为，代入计算即可（）先将所求函数变换为复合函数f（x）=12sin2x+2sinx，再利用三角函数的有界性及配方法求此复合函数的值域即可【解答】解：（）因为，且，所以，因为=所以 （）由（）可得所以=1
23、2sin2x+2sinx=，xR因为sinx1，1，所以，当时，f（x）取最大值；当sinx=1时，f（x）取最小值3所以函数f（x）的值域为【点评】本题考察了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦公式，通过角变换求三角函数值的技巧，复合函数求值域的方法19若函数f（x）的定义域为（4，4），函数f（2x）的定义域为集合A，集合B=x|x2x+aa20，其中a0（1）若AB=B，求a的取值范围；（2）若AB=B，求a的取值范围【考点】集合的包含关系判断及应用；函数的定义域及其求法【专题】计算题；集合思想；综合法；函数的性质及应用【分析】通过f（x）的定义域为（4，4）可知A=（2，2），通过解解
24、不等式x2x+aa20可知B=（a，1a）；（1）通过AB=B可知AB，进而解不等式组a2、21a即得结论；（2）通过AB=B可知AB，进而解不等式组2a、1a2即得结论【解答】解：f（x）的定义域为（4，4），函数f（2x）的定义域集合A=（2，2），解不等式x2x+aa20，即（xa）x（1a）0，又a0，得ax1a，B=（a，1a）；（1）AB=B，AB，即a2，且21a，整理得：a2；（2）AB=B，AB，即2a，1a2，解得：a1【点评】本题考查集合包含关系的判断与应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题20已知函数f（x）=log4（4x+1）+mx为偶函数，g（x）
25、=为奇函数（1）求mn的值；（2）设h（x）=f（x）+，若g（x）h（log4（2a+1）对任意x1恒成立，求实数a的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质【专题】函数思想；方程思想；转化法；函数的性质及应用【分析】（1）由g（x）为定义在R上的奇函数，得g（0）=0，解得n=1；再根据偶函数满足f（x）=f（x），比较系数可得m=，由此即可得到mn的值（2）由（1）得h（x）=log4（4x+1），易得hlog4（2a+1）=log4（2a+2）而定义在R上的增函数g（x）在x1时的最小值为g（1）=，从而不等式转化成log4（2a+2），由此再结合真数必须大于0，不难解出实数a
26、的取值范围【解答】解：（1）由于g（x）为奇函数，且定义域为R，g（0）=0，即，（3分），f（x）是偶函数，f（x）=f（x），得mx=（m+1）x恒成立，故，综上所述，可得mn=；（4分）（2），hlog4（2a+1）=log4（2a+2），（2分）又在区间1，+）上是增函数，当x1时，（3分）由题意，得，因此，实数a的取值范围是：（3分）【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及不等式恒成立，根据函数奇偶性的性质建立方程关系求出m，n的值，将不等式进行化简，然后根据不等式恒成立将不等式进行转化是解决本题的关键21已知函数f（x）=Asin（x+）+1，（A0，0），振幅为1，图象两个相邻最
27、高点间距离为，图象的一条对称轴方程为，若将f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移一个单位得到函数g（x）图象（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在ABC中，若，试判断ABC的形状【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换；正弦函数的图象【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】（1）根据振幅求A，由周期求，根据图象的对称轴方程求出，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的增区间（2）先由y=Asin（x+）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用三角恒等变换判断三角形的形状【解答】解：（1）由题意可得A=1， =，=2，再根据图象的一条对称轴方程为，可得2+
28、=k+，kZ，即=k+，=，f（x）=sin（2x+）+1令2k2x+2k+，可得kxk+，故函数f（x）的增区间为k，k+，kZ（2）将f（x）的图象向右平移个单位，可得y=sin2（x）+1=sin2x+1的图象；再向下平移一个单位得到函数g（x）=sin2x的图象在ABC中，若，则sinBsinC=，即2sinBsinC=1cos（B+C）=1cosBcosC+sinBsinC，化简可得 cos（BC）=1再结合BC（，），可得B=C，故ABC为等腰三角形【点评】本题主要考查由由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，正弦函数的增区间，y=Asin（x+）的图象变换规律，三角恒等变换
29、，属于中档题22设a为正实数，记函数f（x）=a的最大值为g（a）（1）设t=+，试把f（x）表示为t的函数m（t）；（2）求g（a）；（3）问是否存在大于的正实数a满足g（a）=g（）？若存在，求出所有满足条件的a值；若不存在，说明理由【考点】函数与方程的综合运用；函数最值的应用【专题】综合题；函数的性质及应用【分析】（1）由t=+平方得=t21，从而将函数f（x）换元为m（t），而m（t）的定义域即t=+的值域，平方后求其值域即可；（2）由（1）知，通过讨论对称轴的位置可得最大值关于a的函数g（a）；（3）假设存在大于的正实数a满足g（a）=g（），分类讨论，即可得出结论【解答】解：（1）
30、由题意得，1x1，函数f（x）的定义域为1，1t=+，由x1，1得，t22，4，所以t的取值范围是，2又=t21，m（t）=at2ta，t，2；（2）由题意知g（a）即为函数m（t）=at2ta，t，2的最大值注意到直线t=是抛物线m（t）=at2ta的对称轴，分以下几种情况讨论：，即a知m（t）=at2ta在，2上单调递增，g（a）=m（2）=a2当2时，a，g（a）=m（）=a当2，即0a时，g（a）=m（）=g（a）=；（3）由（2）可得g（）=假设存在大于的正实数a满足g（a）=g（），则a2时，a2=，方程无解；a2时，a2=，a=22，不符合综上所述，不存在大于的正实数a满足g（a）=g（）【点评】本题考查了求函数定义域的方法以及利用换元法求函数值域的方法，解题时要注意换元后函数的定义域的变化