1、63. 已知为正的常数,函数.(I)若,求函数的单调递增区间;(II)设,求在区间上的最小值.(为自然对数的底数)63.()时, , 可得单调增区间是 (), 当时,则,得; 当时,单调递增,; 当时,在上减,上增, 64. 已知函数(1)若是函数的极值点,求的值;(2)求函数的最大值.【答案】解:(1) 是极值点, 代入得,解得 (2) 记, () 则在上单调递增,上单调递减 () 则在上单调递增,单调递减- 综上,在上单调递增,上单调递减 65. 已知函数,.()若,求函数在区间上的最值;()若恒成立,求的取值范围.注:是自然对数的底数,约等于.【答案】解:() 若,则. 当时, , 所以
2、函数在上单调递增; 当时, . 所以函数在区间上单调递减, 所以在区间上有最小值,又因为, ,而, 所以在区间上有最大值 () 函数的定义域为. 由,得. (*) ()当时, 不等式(*)恒成立,所以; ()当时, 当时,由得,即, 现令, 则, 因为,所以,故在上单调递增, 从而的最小值为,因为恒成立等价于, 所以; 当时,的最小值为,而,显然不满足题意 综上可得,满足条件的的取值范围是 66. 已知函数()()讨论的单调性;()当时,设,若存在,使, 求实数的取值范围.为自然对数的底数,66.解:(), 令 当时,的减区间为,增区间为(. 当时, 所以当时,在区间上单调递减 当时, , 当
3、时,单调递减, 当时,单调递增, 当时,单调递减, 所以当时,的减区间为,增区间为(. 当时,的减区间为. 当时,的减区间为, 增区间为 ()由()可知在上的最大值为, 令,得 时,单调递减, 时,单调递增, 所以在上的最小值为, 由题意可知,解得 所以 67. 已知函数.()当时,求在点处的切线方程;()若对于任意的,恒有成立,求的取值范围.【答案】()当时, 在点处的切线方程为:. () 令,则 在上 ,当时, 存在,使,且在上 ,在上 ,即 对于任意的,恒有成立 令,而,当时, 存在,使 在上 , 在上 . 68. 已知函数(x0,实数a为常数)()a=4时,求函数在上的最小值;()设,
4、求证:不等式:对于任意不相等的,都成立【答案】()时, , 即在上单调递减,在单调递增 在区间上,当有最小值 ()当 =, 在单调递减,不妨设,则当时, 故不等式等价于 令函数,则 = 再令,对称轴, ,从而当时恒成立, 即当时恒成立,所以在为增函数, 所以 从而对于任意的,都有不等式 69. 已知函数,(),()若函数在点处的切线与函数的图像相切,求的值;()若,且当时,恒有,求的最大值.(参考数据:,)69.()由已知得 ,且,从而得. 函数在点处的切线方程为,即; 于是,据题设,可令直线与函数的图像相切于点, 从而,可得,又, 因此有 ,. 由,可得,所以,解得或 ()当时,恒成立, 等价于,当时,恒成立. 设(),则, 且可得 ();记(), 则 ,所以在上单调递增. 又,所以, 在存在唯一的实数根,使得; 因此,当时,即得,则在上递减, 当时,即得,则在上递增; 所以,当时, 又由,可得, 因此,得, 而 ,所以,又, 而, 所以,因此, 又,所以 70. 已知是正实数,设函数.()设,求的单调区间;()若存在,使且成立,求的取值范围.【答案】 (iii)当,即时, 单调递减. 当时恒成立 综上所述, 的最大值在处,为7 的取值范围为,即的取值范围是
