1、函数奇偶性的应用(习题课)A级基础巩固1已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)恒成立，且f(1)1，则f(3)f(4)f(5)的值为()A1B1C2 D0解析：选Df(x)是R上的奇函数，f(1)1，f(1)f(1)1，f(0)0.依题意得f(3)f(14)f(1)1，f(4)f(04)f(0)0，f(5)f(14)f(1)1.因此，f(3)f(4)f(5)1010，故选D.2已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A由题意得|2x1|，即2x1，即2x，解得x，故选A.3若奇函数f(x)在区间2，5上的最小值
2、是6，那么f(x)在区间5，2上有()A最小值6 B最小值6C最大值6 D最大值6解析：选C因为奇函数f(x)在2，5上有最小值6，所以可设a2，5，有f(a)6.由奇函数的性质，f(x)在5，2上必有最大值，且最大值为f(a)f(a)6.4(多选)已知定义在区间7，7上的一个偶函数，它在0，7上的图象如图，则下列说法正确的有()A这个函数有两个单调递增区间B这个函数有三个单调递减区间C这个函数在其定义域内有最大值7D这个函数在其定义域内有最小值7解析：选BC根据偶函数在0，7上的图象及其对称性，作出其在7，7上的图象，如图所示由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义
3、域内有最大值7，最小值不是7，故选B、C.5(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A|f(x)|g(x)是奇函数Bf(x)|g(x)|是奇函数Cf(x)|g(x)|是偶函数D|f(x)|g(x)是偶函数解析：选BDA中，令h(x)|f(x)|g(x)，则h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，A中函数是偶函数，A错误；B中，令h(x)f(x)|g(x)|，则h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|h(x)，B中函数是奇函数，B正确；C中，由f(x)是奇函数，可得f(x)f(x)
4、，由g(x)是偶函数，可得g(x)g(x)，由f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|知C错误；D中，由|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，知D正确故选B、D.6已知函数f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)_解析：当x0时，x0，f(x)x1，又f(x)为偶函数，f(x)x1.答案：x17若函数f(x)为奇函数，则fg(1)_解析：根据题意，当x0时，f(x)g(x)，又f(x)为奇函数，g(1)f(1)f(1)(1221)3，则fg(1)f(3)f(3)(3223)15.答案：158若f(x)(m1)x26mx2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(2)从小到大的排
5、列是_解析：f(x)是偶函数，f(x)f(x)恒成立，即(m1)x26mx2(m1)x26mx2恒成立，m0，即f(x)x22.f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在0，)上单调递减，f(2)f(1)f(0)，又f(x)x22为偶函数，f(2)f(2)即f(2)f(1)f(0)答案：f(2)f(1)0时，f(x)x24x3.(1)求ff(1)的值；(2)求函数f(x)的解析式解：(1)f(x)为定义在R上的奇函数，f(0)0.又当x0时，f(x)x24x3，f(1)f(1)0，ff(1)0.(2)由(1)可知，当x0时，f(x)0；当x0，则f(x)f(x)(x)24(x)3x24x3.综上
6、，f(x)10已知二次函数f(x)x2bxc满足f(1)f(3)3.(1)求b，c的值；(2)若函数g(x)是奇函数，当x0时，g(x)f(x)直接写出g(x)的单调递减区间为_；若g(a)a，求a的取值范围解：(1)由f(1)f(3)3，得解得(2)2，2由(1)知f(x)x24x，则当x0时，g(x)x24x；当x0，则g(x)(x)24(x)x24x，因为g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)x24x.若g(a)a，则或解得a5或5a0.综上，a的取值范围为(5，0)(5，)B级综合运用11设f(x)为偶函数，且在区间(，0)上单调递增，f(2)0，则xf(x)0的解集为()A(1，0)
7、(2，) B(，2)(0，2)C(2，0)(2，) D(2，0)(0，2)解析：选C根据题意，偶函数f(x)在(，0)上单调递增，且f(2)0，则函数f(x)在(0，)上单调递减，且f(2)f(2)0，作出函数f(x)的草图如图所示，又由xf(x)0，可得或由图可得2x2，即不等式的解集为(2，0)(2，)故选C.12已知函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数，且f(x)g(x)x22，则f(2)()A B.C3 D.解析：选Af(x)g(x)x22，f(x)g(x)(x)22x22，又函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数，f(x)f(x)，g(x)g(x)，f(
8、x)g(x)f(x)g(x)x22，联立消去g(x)，得f(x)，f(2).故选A.13函数f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是_解析：f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(，)单调递减，1x21，1x3.答案：x|1x314设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，bR，当ab0时，都有0.(1)若ab，试比较f(a)与f(b)的大小关系；(2)若f(1m)f(32m)0，求实数m的取值范围解：(1)因为ab，所以ab0，由题意得0，所以f(a)f(b
9、)0.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(b)f(b)，所以f(a)f(b)0，即f(a)f(b)(2)由(1)知f(x)为R上的增函数，因为f(1m)f(32m)0，所以f(1m)f(32m)，即f(1m)f(2m3)，所以1m2m3，所以m4.所以实数m的取值范围为(，4C级拓展探究15(2021安徽师大附中高一月考)已知函数f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，且f.(1)求函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(1，1)上是增函数；(3)解关于实数t的不等式f(t1)f(t)0.解：(1)因为函数f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，所以f(0)0，得b0.又知f，所以，解得a1，所以f(x).(2)证明：x1，x2(1，1)，且x1x2，则f(x2)f(x1)，由于1x1x21，所以1x1x20，所以0，即f(x2)f(x1)0，所以f(x)在(1，1)上是增函数(3)因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(t1)f(t)0等价于f(t1)f(t)f(t)，即f(t1)f(t)，又由(2)知f(x)在(1，1)上是增函数，所以解得0t，即原不等式的解集为.6