1、第6讲 双曲线第八章平面解析几何1双曲线的定义条 件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的 轨迹为 双曲线 _ 为双曲线的焦点|MF1|MF2|2a _ 为双曲线的焦距 2a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为6，则双曲线 C 的离心率为()A2 或 3B.2 33C2 或2 33D2B解析：由题意知双曲线 C：x2a2y2b21 的渐近线方程为 ybax，所以batan6 33，所以 a 3b，c a2b22b，故双曲线 C 的离心率 eca 2b3b2 33.4(2015高考北京卷)已知(2，0)是双曲线 x2y2b21(b0)的一个焦点，则 b_3解析：由题意得
2、，双曲线的焦点在 x 轴上，且 c2.根据双曲线的标准方程，可知 a21.又 c2a2b2，所以 b23.又b0，所以 b 3.解析：设双曲线的方程为：x2a2y2a21(a0)，把点 A(3，1)代入，得 a28，故所求方程为x28 y281.5(选修 2-1 P62 习题 2.3A 组 T6 改编)经过点 A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_x28 y281考点一 双曲线的定义(1)设双曲线 x2y281 的两个焦点为 F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|PF2|34，则PF1F2的面积等于()A10 3 B8 3C8 5D16 5C(2)(2016云南省第一次统
3、一检测)已知 F1、F2是双曲线 M：y24x2m21 的焦点，y2 55 x 是双曲线 M 的一条渐近线，离心率等于34的椭圆 E 与双曲线 M 的焦点相同，P 是椭圆 E 与双曲线 M 的一个公共点，则|PF1|PF2|_12解析(1)依题意|F1F2|6，|PF2|PF1|2，因为|PF1|PF2|34，所以|PF1|6，|PF2|8，所以等腰三角形 PF1F2的面积 S12862 8228 5.(2)由题意易得，双曲线的方程为y24x25 1，椭圆的方程为x27y2161，不妨设|PF1|PF2|，从而可知|PF1|PF2|8，|PF1|PF2|4|PF1|6，|PF2|2|PF1|P
4、F2|12.若本例(1)中“|PF1|PF2|34”变为“PF1PF2”，其他条件不变，如何求解解：设|PF1|m，|PF2|n，则m2n236，m2n22mn4，解得 mn16，所以 SPF1F212mn8.(1)在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支若是双曲线的一支，则需确定是哪一支(2)在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义是经常使用的知识点另外，还经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|PF2|的联系 1.(1)已知ABP 的顶点 A，B分别为双曲线x216y291 的左，右焦点，顶点 P 在双曲线上，则|
5、sin Asin B|sin P的值等于()A.45 B.74C.54D.7(2)(2016孝感质检)ABC 的顶点 A(5，0)，B(5，0)，ABC 的内切圆圆心在直线 x3 上，则顶点 C 的轨迹方程是_Ax29 y2161(x3)解 析：(1)在ABP 中，由 正弦定 理知|sin Asin B|sin P|PB|PA|AB|2a2c 81045.(2)如图，ABC 与内切圆的切点分别为 G，E，F.|AG|AE|8，|BF|BG|2，|CE|CF|，所以|CA|CB|826.根据双曲线定义，所求轨迹是以 A，B 为焦点，实轴长为 6的双曲线的右支，方程为x29y2161(x3)考点二
6、 求双曲线的标准方程(1)(2016东北三校联合模拟)与椭圆 C：y216x2121共焦点且过点(1，3)的双曲线的标准方程为()Ax2y231 By2x2121C.y22x221 D.y23x21C(2)(2015高考天津卷)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点为 F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为()A.x29y2131 B.x213y291C.x23y21 Dx2y231D解析(1)椭圆y216x2121 的焦点坐标为(0，2)，(0，2)，设双曲线的标准方程为y2mx2n1(m0，n0)，则3m1n1，mn4，解得 mn2.所以双曲
7、线的标准方程为y22x22 1.(2)由双曲线的渐近线 ybax 与圆(x2)2y23 相切可知|ba2|1 ba2 3，c2，a2b2c2，解得a1，b 3.故所求双曲线的方程为 x2y231.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数 a、b、c 的方程并求出 a、b、c 的值与双曲线x2a2y2b21，(a0，b0)有相同渐 近线时可设所 求双曲线方程 为 x2a2y2b2(0，a0，b0)(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出 a 的值，由定点位置确定 c 的值.2.分别求出适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为 1
8、2，离心率为54；(2)焦距为 26，且经过点 M(0，12)解：(1)设双曲线的标准方程为x2a2y2b21 或y2a2x2b21(a0，b0)由题意知，2b12，eca54，所以 b6，c10，a8.所以双曲线的标准方程为x264y2361 或y264x2361.(2)因为双曲线经过点 M(0，12)，所以 M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a12.又 2c26，所以 c13.所以 b2c2a225.所以双曲线的标准方程为 y2144x2251.考点三 双曲线的几何性质(高频考点)双曲线的几何性质及应用，是高考命题的热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，
9、多为容易题或中档题 高考对双曲线的几何性质的考查主要有以下四个命题角度：(1)求双曲线的离心率(或范围)；(2)求双曲线的渐近线方程；(3)求双曲线的焦点(距)、实、虚轴长(4)由双曲线的性质求方程(1)(2014高考广东卷)若实数 k 满足 0k5，则曲线x216 y25k1 与曲线 x216ky251 的()A实半轴长相等B虚半轴长相等C离心率相等D焦距相等(2)(2015高考全国卷)已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则E 的离心率为()A.5B2C.3D.2DD解析(1)因为 0k0，b0)的焦距为 10，点 P(2，1
10、)在 C 的渐近线上，则 C 的方程为()A.x220y251 B.x25 y2201C.x280y2201 D.x220y2801A(2)(2016烟台质检)已知点 P 在双曲线x2a2y2b21(a0，b0)上，F1，F2 分别是双曲线的左、右焦点，F1PF290，且F1PF2 的三条边长之比为 345，则双曲线的渐近线方程是()Ay2 3xBy4xCy2 5xDy2 6xD解析：(1)因为x2a2y2b21 的焦距为 10，所以 c5 a2b2，又双曲线渐近线方程为 ybax，且 P(2，1)在渐近线上，所以2ba 1，即 a2b，由解得 a2 5，b 5，所以双曲线的方程为x220y2
11、51.(2)设F1PF2 的三条边长为|PF1|3m，|PF2|4m，|F1F2|5m，m0，则 2a|PF2|PF1|m，2c|F1F2|5m，所以 b 6m，所以ba 6m12m2 6，所以双曲线的渐近线方程是 y2 6x.考点四 与双曲线有关的综合问题(2016铜陵模拟)若双曲线 E：x2a2y21(a0)的离心率等于 2，直线 ykx1 与双曲线 E 的右支交于 A，B两点(1)求 k 的取值范围；(2)若|AB|6 3，求 k 的值解(1)由ca 2，a2c21，得a21，c22，故双曲线 E 的方程为 x2y21.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由ykx1，x2y21，得(
12、1k2)x22kx20.因为直线与双曲线右支交于 A，B 两点，故k1，（2k）24（1k2）（2）0，即k1，2k 2，所以 1k 2.(2)由得 x1x2 2kk21，x1x22k21，所以|AB|1k2（x1x2）24x1x22（1k2）（2k2）（k21）26 3，整理得 28k455k2250，所以 k257或 k254.又 1k 2，所以 k 52.研究直线与双曲线位置关系问题的方法将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于 x 或 y 的一元二次方程当二次项系数等于 0 时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0 时，用判别式 来判定.4.已知中
13、心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2，0)，实轴长为 2 3.(1)求双曲线 C 的方程；(2)若直线 l：ykx 2与双曲线 C 左支交于 A，B 两点，求 k 的取值范围解：(1)设双曲线 C 的方程为x2a2y2b21(a0，b0)由已知得，a 3，c2，再由 a2b2c2，得 b21，所以双曲线 C 的方程为x23 y21.(2)设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，将 ykx 2代入x23 y21，得(13k2)x26 2kx90.由题意知13k20，36（1k2）0，xAxB 6 2k13k20，解得 33 k1.所以当 33 k1 时，直线 l 与双曲线左支有两个交点方法思想方
14、程思想在求离心率中的应用(2016沈阳四校联考)设双曲线x2a2y2b21(0ab)的半焦距为 c，直线 l 过(a，0)、(0，b)两点已知原点到直线l 的距离为 34 c，则双曲线的离心率为_2解析 由已知，得直线 l 的方程为 aybxab0，因为原点到直线 l 的距离为 34 c，所以aba2b2 34 c，又 c2a2b2，所以 4ab 3c2，两边平方，得 16a2b23c4，即 16a2(c2a2)3c4，两边同除以 a4，并整理，得 3e416e2160，所以 e24 或 e243.由 0a2，所以 e24.故 e2.(1)本题利用方程思想，将已知条件转化为关于 a，c 的方程
15、，然后求出离心率 e.(2)求解椭圆、双曲线的离心率或离心率的取值范围的方法通常是根据条件列出关于 a，c 的齐次方程或不等式，然后再转化成关于 e 的方程或不等式求解 已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)，过其左焦点F 作 x 轴的垂线，交双曲线于 A，B 两点，若双曲线的右顶点在以 AB 为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是()A(2，)B(1，2)C.32，D.1，32A解析：由双曲线的性质可得|AF|b2a，即以 AB 为直径的圆的半径为b2a，而右顶点与左焦点的距离为 ac，由题意可知b2a ac，整理得 c22a2ac0，两边同除以 a2，则 e2e20，解得 e2 或 e2.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放