1、第4讲 随机事件的概率第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布1事件的分类确定事件 必然 事件 在条件S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件 不可能 事件 在条件S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件 随机事件 在条件S下，_的事件叫做相对于条件S的随机事件 可能发生也可能不发生2.概率与频率(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)_为事件 A 出现的频率(2)对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着 试 验 次 数
2、 的 增 加 稳 定 于 概 率 P(A)，因 此 可 以 用_来估计概率 P(A)nAn频率fn(A)3事件的关系与运算 定 义 符号表示 包含 关系 如果事件A_，则事件B_，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)_(或_)相等 关系 若BA且_，那么称事件A与事件B相等 _ 并事件(和事件)若某事件发生_，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)_(或AB)发生一定发生BAABABAB当且仅当事件A发生或事件B发生AB定 义 符号表示 交事件(积事件)若某事件发生_，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)_(或_)互斥 事件 若AB为_事件，那么称事件A与事件B互
3、斥 AB 对立 事件 若AB为_事件，AB为_，那么称事件A与事件B互为对立事件 AB 且AB 当且仅当事件A发生且事件B发生ABAB不可能不可能必然事件4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：_(2)必然事件的概率：P(A)_(3)不可能事件的概率：P(A)_(4)概率的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)_(5)对立事件的概率若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 AB 为必然事件P(AB)_，P(A)_0P(A)110P(A)P(B)11P(B)1辨明两个易误点(1)易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数(2)对立事件是互斥事件，是互斥中
4、的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件2集合方法判断互斥事件与对立事件(1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥(2)事件 A 的对立事件 A 所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集1一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A至多有一次中靶 B两次都中靶C只有一次中靶D两次都不中靶D解析：事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况，由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥2从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于 160 cm 的概率为 0.2，该同学的
5、身高在160，175(单位：cm)内的概率为 0.5，那么该同学的身高超过 175 cm 的概率为()A0.2 B0.3C0.7 D0.8解析：因为必然事件发生的概率是 1，所以该同学的身高超过 175 cm 的概率为 10.20.50.3，故选 B.B3甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么()A甲是乙的充分但不必要条件B甲是乙的必要但不充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件B解析：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立4(必修 3 P123 习题 3.1A 组 T1 改编)若 A，B 为互斥事件，则 P(A)P(B)_1(填“”、
6、“”、“”、“”)解析：因为 P(A)152，P(B)1352，且 A 与 B 是互斥事件所以 P(AB)P(A)P(B)15213521452 726.5从一副不包括大小王的混合后的扑克牌(52 张)中，随机抽取 1 张，事件 A 为“抽得红桃 K”，事件 B 为“抽得黑桃”，则概率 P(AB)_(结果用最简分数表示)726考点一 随机事件的关系 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷 1 次，设事件 A 表示向上的一面出现奇数点，事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3，事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4，则()AA 与 B 是互
7、斥而非对立事件BA 与 B 是对立事件CB 与 C 是互斥而非对立事件DB 与 C 是对立事件D解析AB出现点数 1 或 3，事件 A，B 不互斥更不对立；BC，BC，故事件 B，C 是对立事件事件间关系的判断方法对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系.1.某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件 A 为“只订甲报纸”，事件 B 为“至少订一种报纸”，事件 C 为“至多订一种报纸”，事件 D 为“一种报纸也不订”判断下列每对事件是不是
8、互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件(1)A 与 C；(2)B 与 D；(3)B 与 C；(4)C 与 D.解：(1)由于事件 C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件 A 与事件 C 有可能同时发生，故 A 与 C 不是互斥事件(2)事件 B“至少订一种报纸”与事件 D“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故 B 与 D 是互斥事件由于事件 B 不发生可导致事件 D 一定发生，且事件 D 不发生会导致事件 B 一定发生，故 B 与 D 还是对立事件(3)事件 B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”“只订乙报纸”“订甲、乙两种报纸”，事件 C“至多订一种报纸”中有这些
9、可能：“一种报纸也不订”“只订甲报纸”“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B 与 C 不是互斥事件(4)由(3)的分析，事件 D“一种报纸也不订”是事件 C 的一种可能，即事件 C 与事件 D 有可能同时发生，故 C 与 D 不是互斥事件考点二 随机事件的频率与概率(2015高考陕西卷)随机抽取一个年份，对西安市该年 4 月份的天气情况进行统计，结果如下：日期12345678910天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴日期11121314151617181920天气阴晴晴晴晴晴阴雨阴阴日期21222324252627282930天气晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨(1)在 4 月份任取一天，估计西安市在该天不
10、下雨的概率；(2)西安市某学校拟从 4月份的一个晴天开始举行连续 2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率解(1)在容量为 30 的样本中，不下雨的天数是 26，以频率估计概率，4 月份任选一天，西安市不下雨的概率为26301315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1 日与 2 日，2日与 3 日等)这样，在 4 月份中，前一天为晴天的互邻日期对有 16 个，其中后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次日不下雨的频率为78.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.(1)概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随
11、机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值(2)随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率 2.某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如表所示：射击次数 n102050100200500击中 10环次数m8194493178453击中 10 环频率mn(1)计算表中击中 10 环的各个频率；(2)这位射击运动员射击一次，击中 10 环的概率为多少？0.8 0.95 0.88 0.930.890.906解：(1)击中 10 环的频率依次为 0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.
12、906.(2)这位射击运动员射击一次，击中 10 环的概率约为 0.90.考点三 互斥事件、对立事件的概率(高频考点)随机事件的概率注重对互斥事件和对立事件的概率的考查，以选择题、填空题为主，难度不大，属于低档题目 高考对该部分内容的考查主要有以下两个命题角度：(1)根据互斥事件求概率；(2)利用对立事件求概率(经典考题)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如表所示一次购物量1 至4 件5 至8 件9 至12 件13 至16 件17 件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这 100 位
13、顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.(1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率(将频率视为概率)解(1)由已知得 25y1055，x3045，所以 x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1151.5302252.5203101001.9(分钟)(2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”，A1，A2，A3分别表示事
14、件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”将频率视为概率得 P(A1)15100 320，P(A2)30100 310，P(A3)2510014.因为 AA1A2A3，且 A1，A2，A3是互斥事件，所以 P(A)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)320 31014 710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 710.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法(1)直接求法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算(2)间接求法：先求此事件的对
15、立事件的概率，再用公式 P(A)1P(A)，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便.3.(1)(2016太原模拟)抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，设事件 A 为出现奇数点，事件 B 为出现 2 点，已知 P(A)12，P(B)16，则出现奇数点或 2 点的概率是_(2)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345 人及 5 人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：至多 2 人排队等候的概率；至少 3 人排队等候的概率23解：(1)由题意知抛掷一颗骰子出现奇数点和出现 2 点是互斥事件，因为 P(A)12，P
16、(B)16，所以根据互斥事件的概率公式得到出现奇数点或 2 点的概率 PP(A)P(B)121623，故填23.(2)记“无人排队等候”为事件 A，“1人排队等候”为事件 B，“2 人排队等候”为事件 C，“3 人排队等候”为事件 D，“4人排队等候”为事件 E，“5 人及 5 人以上排队等候”为事件F，则事件 A、B、C、D、E、F 彼此互斥记“至多 2 人排队等候”为事件 G，则 GABC，所以 P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.法一：记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则 HDEF，所以 P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.法二：记“至少 3 人排队等候”为事件 H，则其对立事件为事件 G，所以 P(H)1P(G)0.44.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放