1、数学 第二部分 高考热点 分层突破 专题一 三角函数与解三角形第1讲 三角函数的图象与性质02研考点考向破重点难点03练典型习题 提数学素养 01做高考真题明命题趋向做真题题型一 三角函数图象及其变换1(2017高考全国卷)已知曲线 C1：ycos x，C2：ysin2x23，则下面结论正确的是()A把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2B把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2C把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右
2、平移6个单位长度，得到曲线 C2D把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2解析：选 D.易知 C1：ycos xsinx2，把曲线 C1 上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数 ysin2x2 的图象，再把所得函数的图象向左平移 12个单位长度，可得函数 ysin2x 12 2sin2x23 的图象，即曲线 C2，故选 D.答案：232(2016高考全国卷)函数 ysin x 3cos x 的图象可由函数 ysin x 3cos x 的图象至少向右平移_个单位长度得到解析：函数 ysin x 3cos x2
3、sinx3 的图象可由函数 ysin x 3cos x2sinx3 的图象至少向右平移23 个单位长度得到题型二 三角函数的性质1(2019高考全国卷)下列函数中，以2为周期且在区间4，2 单调递增的是()Af(x)|cos 2x|Bf(x)|sin 2x|Cf(x)cos|x|Df(x)sin|x|解析：选 A.A 中，函数 f(x)|cos 2x|的周期为2，当 x4，2 时，2x2，函数 f(x)单调递增，故 A 正确；B 中，函数 f(x)|sin 2x|的周期为2，当 x4，2 时，2x2，函数 f(x)单调递减，故 B 不正确；C 中，函数 f(x)cos|x|cos x 的周期为
4、 2，故 C 不正确；D 中，f(x)sin|x|sin x，x0，sin x，x0，由正弦函数图象知，在 x0 和 x0 时，f(x)均以 2 为周期，但在整个定义域上 f(x)不是周期函数，故 D 不正确故选 A.2(2019高考全国卷)关于函数 f(x)sin|x|sin x|有下述四个结论：f(x)是偶函数；f(x)在区间2，单调递增；f(x)在，有 4 个零点；f(x)的最大值为 2.其中所有正确结论的编号是()ABCD解析：选 C.通解：f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，所以 f(x)为偶函数，故正确；当2x 时，f(x)sin xsin x2si
5、n x，所以 f(x)在2，单调递减，故不正确；f(x)在，的图象如图所示，由图可知函数 f(x)在，只有 3 个零点，故不正确；因为 ysin|x|与 y|sin x|的最大值都为 1 且可以同时取到，所以 f(x)可以取到最大值 2，故正确综上，正确结论的编号是.故选 C.优解：因为 f(x)sin|x|sin(x)|sin|x|sin x|f(x)，所以 f(x)为偶函数，故正确，排除 B；当2x 时，f(x)sin xsin x2sin x，所以 f(x)在2，单调递减，故不正确，排除 A；因为 ysin|x|与 y|sin x|的最大值都为 1 且可以同时取到，所以 f(x)的最大值
6、为 2，故正确故选 C.3(2018高考全国卷)若 f(x)cos xsin x 在a，a是减函数，则 a 的最大值是()A4B2C34D解析：选 A.法一：f(x)cos xsin x 2cosx4，且函数 ycos x 在区间0，上单调递减，则由 0 x4，得4x34.因为 f(x)在a，a上是减函数，所以a4，a34，解得 a4，所以 0a4，所以 a 的最大值是4，故选 A.法二：因为 f(x)cos xsin x，所以 f(x)sin xcos x，则由题意，知 f(x)sin xcos x0 在a，a上恒成立，即 sin xcos x0，即 2sinx4 0 在a，a上恒成立，结合
7、函数 y 2sinx4 的图象可知有a40，a4，解得 a4，所以 0a4，所以 a 的最大值是4，故选 A.4(2017高考全国卷)设函数 f(x)cos(x3)，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2Byf(x)的图象关于直线 x83 对称Cf(x)的一个零点为 x6Df(x)在(2，)单调递减解析：选 D.根据函数解析式可知函数 f(x)的最小正周期为 2，所以函数的一个周期为2，A 正确；当 x83 时，x33，所以 cosx3 1，所以 B 正确；f(x)cosx3 cosx43，当 x6时，x43 32，所以 f(x)0，所以 C 正确；函数 f(x)cosx3 在2，23
8、 上单调递减，在23，上单调递增，故 D 不正确所以选 D.5(2016高考全国卷)已知函数 f(x)sin(x)0，2，x4为 f(x)的零点，x4为 yf(x)图象的对称轴，且 f(x)在18，536 单调，则 的最大值为()A11B9C7D5解析：选 B.因为 x4为函数 f(x)的零点，x4为 yf(x)图象的对称轴，所以2kT2 T4(kZ，T 为周期)，得 T 22k1(kZ)又 f(x)在18，536 单调，所以 T6，k112，又当 k5 时，11，4，f(x)在18，536 不单调；当 k4 时，9，4，f(x)在18，536 单调，满足题意，故 9，即 的最大值为 9.答案
9、：16(2017高考全国卷)函数 f(x)sin2x 3cos x34x0，2 的最大值是_解析：依题意，f(x)sin2x 3cos x34cos2x 3cos x14cos x 3221，因为 x0，2，所以 cos x0，1，因此当 cos x 32 时，f(x)max1.山东省学习指导意见1任意角的三角函数(1)了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化(2)理解任意角三角函数(正弦、余弦和正切)的定义(3)会用诱导公式2，的正弦、余弦与正切，理解同角三角函数的基本关系式2三角函数的图象和性质(1)能画出 ysin x、ycos x、ytan x 的图象(2)理解正弦函数、余弦函
10、数、正切函数的性质(如单调性、最大和最小值、图象与 x 轴交点等)，了解三角函数的周期性(3)了解 yAsin(x)的实际意义；能画出 yAsin(x)的图象知道参数 A、对函数图象变化的影响(4)会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型解析：选 C.因为角 的终边经过点 P(4，y)，sin 350，0，|2)的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式为()Af(x)sinx512Bf(x)cos2x3Cf(x)cos2x3Df(x)sin2x712【解析】法一：根据函数 g(x)的图象可知 A1，12T362，T2，2，所以 g(x)sin(2x)，
11、所以 g3 sin23 0，所以23 k，kZ，3k，kZ，又因为|0，0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图(1)最值定 A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为 M，最小值为 m，则 MAB，mAB，解得 BMm2，AMm2.(2)T 定：由周期的求解公式 T2，可得 2T.记住三角函数的周期 T 的相关结论：两个相邻对称中心之间的距离等于T2.两条相邻对称轴之间的距离等于T2.对称中心与相邻对称轴的距离等于T4.(3)点坐标定：一般运用代入法求解 值，在求解过程中，可以代入图象上的一个已知点(此时 A，B 已知)，也可代入图象与直
12、线 yB 的交点(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)注意在确定 值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”，利用“中心点”时要注意其所在单调区间的单调性，避免产生增解 命题角度二 图象变换(1)(一题多解)(2019广州市调研测试)将函数 yf(x)的图象向左平移3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍得到 ysin3x16 的图象，则f(x)()Asin32x16 Bsin6x16Csin32x13Dsin6x13(2)若 0，函数 ycosx3 的图象向右平移3个单位长度后与函数 ysin x 的图象重合，则 的最小值
13、为()A112B52C12D32【解析】(1)法一：由题设知，f12x3 sin3x16.设12x3t，则 x2t23，所以 f(t)sin32t23 16 sin6t16.故 f(x)sin6x16.故选 B.法二：由题设知，先将函数 ysin3x16 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，再将所得图象向右平移3个单位长度即得函数 f(x)的图象，故 f(x)sin32x3 16sin6x16.故选 B.(2)函数 ycosx3 的图象向右平移3个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为 ycosx3 3 cosx3 3，其图象与函数 ysin xcosx22k，kZ 的图象重合，所以22k
14、3 3，kZ，所以 6k52，kZ，又 0，所以 的最小值为52，故选 B.【答案】(1)B(2)B三角函数图象的变换规律由函数 ysin x 的图象变换得到 yAsin(x)(A0，0)的图象的两种方法提醒(1)函数图象的平移法则是“左加右减、上加下减”，但是左右平移变换只是针对 x 作的变换(2)函数 f(x)sin(x)的图象向左(右)平移 k 个单位长度后，其图象对应的函数解析式为 g(x)sin(xk)，而不是 g(x)sin(xk)命题角度三 三角函数图象的应用(1)(多选)(2019湖南省湘东六校联考)已知函数 f(x)|sin x|cos x|，则下列说法正确的是()Af(x)
15、的图象关于直线 x2对称Bf(x)的最小正周期为2C(，0)是 f(x)图象的一个对称中心Df(x)在区间4，2 上单调递减(2)已知函数 f(x)4sinx3 cos x 3，若函数 g(x)f(x)m 在0，2 上有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围为_【解析】(1)f(x)|sin x|cos x|12|sin 2x|，作出函数 f(x)的图象如图所示，由图知函数 f(x)的图象关于直线 x2对称，f(x)的最小正周期为2，f(x)在区间4，2 上单调递减，f(x)的图象无对称中心，故 C 不正确(2)方程 g(x)0 同解于 f(x)m，在平面直角坐标系中画出函数 f(x)2sin
16、2x3 在0，2 上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当 m 3，2)时，方程 f(x)m 有两个不同的解【答案】(1)ABD(2)3，2)巧用图象解决三角方程或不等式问题解决与三角函数相关的方程以及不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数的图象的特征确定方程的解或不等式的解集准确作出对应函数的图象是解决问题的关键，尤其是作出函数在指定区间上的图象，需要准确把握函数图象的端点值以及最值 对点训练1(2019高考天津卷)已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|)是奇函数，且 f(x)的最小正周期为，将 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)
17、，所得图象对应的函数为 g(x)若 g4 2，则 f38()A2B 2C 2D2解析：选 C.由 f(x)为奇函数可得 k(kZ)，又|0，0，00)和g(x)3cos(2x)1|0)在区间4，23 上单调递增，则 的取值范围为()A0，83 B0，12C12，83D38，2【解析】(1)通解：因为函数 f(x)2sinx6(0)和函数 g(x)3cos(2x)1(|2)的图象的对称轴完全相同，所以两个函数的周期一定相同，所以 2，所以 f(x)2sin2x6，由 2x6k2(kZ)，得函数 f(x)图象的对称轴方程为 xk2 3(kZ)，所以 cosk23 1(kZ)，所以对任意 kZ 均存
18、在 mZ，使得 k23m.因为|2，所以623 0)和函数 g(x)3cos(2x)1|0，所以838k0123k0，kZ，所以 k0，则 00)的形式，再对比 ysin x 的性质，即把 x 看成一个整体处理，但是一定要注意 0，否则易出错；其次一定要结合图象进行分析 对点训练1(一题多解)(2019武昌区调研考试)已知函数 f(x)3sin xcos x(0)的最小正周期为 2，则 f(x)的单调递增区间是()A2k6，2k6(kZ)B2k3，2k23(kZ)C2k23，2k3(kZ)D2k6，2k56(kZ)解析：选 B.法一：因为 f(x)232 sin x12cos x 2sinx6
19、，f(x)的最小正周期为 2，所以 221，所以 f(x)2sinx6，由 2k2x62k2(kZ)，得 2k3x2k23(kZ)所以 f(x)的单调递增区间为2k3，2k23(kZ)故选 B.法二：因为 f(x)232 sin x12cos x2cosx3，f(x)的最小正周期为 2，所以 221，所以 f(x)2cosx3，由 2kx32k(kZ)，得 2k3x2k23(kZ)，所以 f(x)的单调递增区间为2k3，2k23(kZ)，故选 B.2(2019南昌模拟)已知函数 f(x)2sin(x)(01，|2)的图象经过点(0，1)，且关于直线 x23 对称，则下列结论正确的是()Af(x
20、)在12，23 上是减函数B若 xx0 是 f(x)图象的对称轴，则一定有 f(x0)0Cf(x)1 的解集是2k，2k3，kZDf(x)图象的一个对称中心是3，0解析：选 D.由 f(x)2sin(x)的图象经过点(0，1)，得 sin 12，又|2，所以 6，则 f(x)2sinx6.因为 f(x)的图象关于直线 x23 对称，所以存在 mZ 使得23 6m2，得 3m2 12(mZ)，又 01，所以 12，则 f(x)2sin12x6.令2n212x62n32，nZ，得 4n23 x4n83，nZ，故 A 错误；若 xx0 是 f(x)图象的对称轴，则 f(x)在 xx0 处取得极值，所
21、以一定有 f(x0)0，故 B 错误；由 f(x)1 得 4kx4k43，kZ，故 C 错误；因为 f3 0，所以3，0是其图象的一个对称中心，故 D 正确选 D.3(多选)已知函数 f(x)tan12x6，则下列说法错误的是()Af(x)的周期是2Bf(x)的值域是y|yR，且 y0C直线 x53 是函数 f(x)图象的一条对称轴Df(x)的单调递减区间是2k23，2k3，kZ解析：选 ABC.函数 f(x)tan12x6 的周期 T122，故 A 错误；函数 f(x)tan12x6 的值域为0，)，故 B 错误；当 x53 时，12x623 k2，kZ，即直线 x53 不是 f(x)图象的
22、对称轴，故 C 错误；令 k212x6k，kZ，解得 2k23 0，0)的图象上相邻两个最高点的距离为 6，P32，2 是该函数图象上的一个最低点，则该函数图象的一个对称中心是()A(1，0)B(2，0)C(3，0)D(4，0)解析：选 C.由题意可得函数 f(x)的最小正周期 T6，则 2T 26 3.结合点 P 的坐标可得 A2，且3322k2(kZ)，得 2k(kZ)，所以 f(x)2sin3x2k 2sin3x(kZ)令3xk(kZ)，得 x3k(kZ)，取 k1 可得该函数图象的一个对称中心是(3，0)三角函数的值域与最值问题典型例题(1)已知将函数 f(x)2sinx6 cos x
23、12的图象向左平移512个单位长度后得到函数 yg(x)的图象，则 g(x)在3，3 上的值域为()A12，1 B1，12C 32，1D12，32(2)(2019高考全国卷)函数 f(x)sin2x32 3cos x 的最小值为_【解析】(1)因为 f(x)2cos xsin xcos6cos xsin 6 12 3sin xcos xcos2x1232 sin 2x12cos 2xsin2x6，所以 g(x)sin2x512 6 sin2x23.因为3x3，所以 02x23 43，则 32 sin2x23 1，故 32 g(x)1.故选 C.(2)因为 f(x)sin2x32 3cos xc
24、os 2x3cos x2cos2x3cos x1，令 tcos x，则 t1，1，所以 f(x)2t23t1.又函数 f(x)图象的对称轴 t341，1，且开口向下，所以当 t1 时，f(x)有最小值4.【答案】(1)C(2)4有关三角函数的值域与最值问题的解题策略(1)形如 yasin xbcos xc 的三角函数，要根据三角恒等变换把函数化为 yAsin(x)k 的形式，再借助三角函数的图象与性质确定值域与最值(2)形如 yasin2xbsin xc 的三角函数，转化为二次函数去求解(3)形如 yasin xcos xb(sin xcos x)c 的三角函数，可先设 tsin xcos x
25、，再转化为关于 t 的二次函数去求解对点训练1(2019济南市模拟考试)若函数 f(x)sinx6(0)在0，上的值域为12，1，则 的最小值为()A23B34C43D32解析：选 A.因为 0 x，0，所以6x66.又 f(x)的值域为12，1，所以 62，所以 23，故选 A.2函数 f(x)2sin2x4 2sin4x cos4x 在区间2，34 上的最小值为_解析：由题意得，f(x)1cos2x2 sin22x 1sin 2xcos 2x12sin2x4.因为2x34，所以54 2x474，所以1sin2x4 22，所以 1 21 2sin2x4 0，所以函数 f(x)在2，34 上的最小值为 1 2.答案：1 2请做：练典型习题 提数学素养 word部分：点击进入链接 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放