1、1.4全称量词与存在量词学 习 目 标核 心 素 养1理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义2掌握全称命题与特称命题真假性的判定(重点、难点)3能正确地对含有一个量词的命题进行否定(重点、易混点)1通过全称量词、存在量词以及全称命题、特称命题相关概念的学习，培养学生数学抽象核心素养2借助相关命题的真假判断及由命题的真假求参数，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养1全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示(2)含有全称量词的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，表示，变量x的取值范围用M表示，
2、那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为xM，p(x)2存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“x0M，p(x0)”思考：(1)“一元二次方程ax22x10有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式(2)“不等式(m1)x2(m1)x3(m1)0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式提示(1)是特称命题，可改写为“存在x0R，使ax2x010”(2)是全称命题，可改写成：
3、“xR，(m1)x2(m1)x3(m1)0全称命题和特称命题的概念及真假判断【例1】指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假(1)xN,2x1是奇数；(2)存在一个x0R，使0；(3)能被5整除的整数末位数是0；(4)有一个角，使sin 1解(1)是全称命题，因为xN,2x1都是奇数，所以该命题是真命题(2)是特称命题因为不存在x0R，使0成立，所以该命题是假命题(3)是全称命题因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题(4)是特称命题，因为R，sin 1,1，所以该命题是假命题1判断命题是全称命题还是特称命题的方法(1)分析命题中是否含有量词；(2)分析量词是全称量词
4、还是存在量词；(3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断2全称命题与特称命题真假的判断方法(1)要判定全称命题“xM，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题(2)要判定特称命题“x0M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题1(1)判断下列命题是全称命题还是特称命题？凸多边形的外角和等于360；有的向量方向不定；对任意角，都有sin2cos21；有些素数的和仍是素数；若一个四
5、边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直(2)判断下列命题的真假：p：任意等比数列的公比不能等于0；q：存在等差数列，其前n项和Snn22n1；r：xR，sin xcos x1；s：x0R，x2x030，所以不存在x0R，使x2x030，故命题为假命题含有一个量词的命题的否定【例2】(1)命题“xR，x2x”的否定是()AxR，x2xBxR，x2xCxR，x2xDxR，x2x(2)写出下列命题的否定，并判断其真假：p：xR，x2x0；p：所有的正方形都是菱形；p：至少有一个实数x0，使x10思路探究：先判定命题是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式加以否定(1)D原命题的否定为xR，x2x，
6、故选D(2)解：p：x0R，xx00，假命题因为xR，x2x0恒成立p：至少存在一个正方形不是菱形，假命题p：xR，x310，假命题因为x1时，x310对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法(1)确定类型：是特称命题还是全称命题.(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词.(3)否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等.提醒：无量词的全称命题要先补回量词再否定.2(1)命题“x0(0，)，ln x0x01”的否定是()Ax(0，)，ln xx1Bx(0，)，ln xx1Cx0(0，)，ln x0x01Dx0(0
7、，)，ln x0x01A特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是x(0，)，ln xx1(2)写出下列命题的否定，并判断其真假p：不论m取何实数，方程x2xm0必有实数根；q: 存在一个实数x0，使得xx010；r：等圆的面积相等，周长相等；s：对任意角，都有sin2cos21解这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2xm0有实数根”，其否定形式是p：“存在实数m，使得x2xm0没有实数根”注意到当14m0时，即m时，一元二次方程没有实数根，所以p是真命题这一命题的否定形式是q：“对所有的实数x，都有x2x10”，利用配方法可以证得q是真命题这一命题的否定形式是r：“存在一对等圆，其
8、面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知r是假命题这一命题的否定形式是s：“存在R，sin2cos21”，由于命题s是真命题，所以s是假命题由全称(特称)命题的真假确定参数的范围探究问题1若含参数的命题p是假命题，如何求参数的取值范围？提示先求p，再求参数的取值范围2全称命题和特称命题与恒成立问题和存在性问题有怎样的对应关系？提示全称命题与恒成立问题对应，特称命题与存在性问题对应【例3】(1)若命题p“xR,2x23ax90”为假命题，则实数a的取值范围是_(2)已知命题“对于任意xR，x2ax10”是假命题，求实数a的取值范围思路探究：(1)先求p，再求参数的取值范围(2)首先利用命题的否
9、定与原命题的真假不同，写出该命题的否定，再计算a的取值范围(1)2，2p：xR,2x23ax90为真命题则9a2720，解得2a2(2)解：因为全称命题“对于任意xR，x2ax10”的否定形式为：“存在x0R，xax010，解得a2所以实数a的取值范围是(，2)(2，)1本例(2)中把条件“任意xR”改为“x0”，则实数a的取值范围是_(，2)由题意新命题的否定为“存在x00，xax010”为真因为f(x)x2ax1是开口向上的抛物线且过(0,1)点，借助二次函数的图象易知解得af(x)(或af(x)max(或af(x0)(或af(x)min(或a0”的否定是_x0R,3x2x010原命题为全称命题，其否定为特称命题，所以命题的否定为x0R,3x2x010