1、1.2充分条件与必要条件学 习 目 标核 心 素 养1理解充分条件、必要条件、充要条件的意义(重点、难点)2会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件(重点)3能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明(难点)1通过充分条件、必要条件概念的学习，培养学生的数学抽象素养2借助充分条件，必要条件的判断及应用，提升学生的逻辑推理素养1充分条件与必要条件命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题推出关系pqpq条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？(2)以下
2、五种表述形式：pq；p是q的充分条件；q的充分条件是p；q是p的必要条件；p的必要条件是q这五种表述形式等价吗？提示(1)相同，都是pq(2)等价2充要条件(1)一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件概括地说，如果pq，那么p与q互为充要条件(2)若pq，但qp，则称p是q的充分不必要条件(3)若qp，但pq，则称p是q的必要不充分条件(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件(5)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若AB，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分不必要条件若BA，则p是q的必要条件；若BA，则p是q的
3、必要不充分条件若AB，则p，q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示(1)正确若p是q的充要条件，则pq，即p等价于q(2)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论p的充要条件是q说明q是条件，p是结论1“x0”是“0”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C既不充分也不必要条件 D充要条件A当x0时，0成立；但当0时，得x20，则x0或x0，此时不能得到x02对于
4、任意的实数a，b，c，在下列命题中，真命题是()A“acbc”是“ab”的必要条件B“acbc”是“ab”的必要条件C“acbc”是“a0，y0，q：xy0；p：ab，q：acbc在中，pq，所以中p是q的充要条件，在中，qp，所以中p不是q的充要条件充分条件、必要条件、充要条件的判断【例1】指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)(1)在ABC中，p：AB，q：BCAC；(2)对于实数x，y，p：xy8，q：x2或y6；(3)p：(a2)(a3)0，q：a3；(4)p：ab，q：1思路探究：判断pq与qp
5、是否成立，当p、q是否定形式，可判断q是p的什么条件解(1)在ABC中，显然有ABBCAC，所以p是q的充分必要条件(2)因为x2且y6xy8，即qp，但pq，所以p是q的充分不必要条件(3)由(a2)(a3)0可以推出a2或a3，不一定有a3；由a3可以得出(a2)(a3)0因此，p是q的必要不充分条件(4)由于ab，当b0时，1；当b0时，1，故若ab，不一定有1；当a0，b0，1时，可以推出ab；当a0，b0，1时，可以推出ab因此p是q的既不充分也不必要条件充分条件与必要条件的判断方法(1)定义法(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题(3)逆否法：这是等价法的一种特
6、殊情况若pq，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；若pq，且q p，则p是q的必要不充分条件；若pq，则p与q互为充要条件；若p q，且q p，则p是q的既不充分也不必要条件1(1)设xR，则“”是“x31”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A由得x，解得0x1由x31得x1当0x1时能得到x1一定成立；当x1时，0x1不一定成立所以“”是“x31”的充分而不必要条件(2)设函数f(x)cos xbsin x(b为常数)，则“b0”是“f(x)为偶函数”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件Cf(x)cos
7、xbsin x为偶函数，对任意的xR，都有f(x)f(x)，即cos(x)bsin(x)cos xbsin x，2bsin x0由x的任意性，得b0故f(x)为偶函数b0必要性成立反过来，若b0，则f(x)cos x是偶函数充分性成立“b0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件故选C充要条件的探求与证明【例2】(1)“x24x0”的一个充分不必要条件为()A0x4B0x0 Dx4(2)求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0思路探究：(1)先解不等式x24x0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x24x0的解集的子集(2)充要条件的证明可用其定义，即条件结论且结论
8、条件如果每一步的推出都是等价的()，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“”写出证明(1)B由x24x0得0x4，则充分不必要条件是集合x|0x4的子集，故选B(2)证明：充分性(由ac0推证方程有一正根和一负根)，ac0，原方程一定有两不等实根，不妨设为x1，x2，则x1x20，原方程的两根异号，即一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根必要性(由方程有一正根和一负根推证ac0)，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根，不妨设为x1，x2，由根与系数的关系得x1x20，即ac0，满足原方程有两个不等实根综上可知，一元二次方程ax2bcc0有一正根和一负根的充要条件是ac01探求充要条件
9、一般有两种方法：(1)探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B)，再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明2充要条件的证明(1)证明p是q的充要条件，既要证明命题“pq”为真，又要证明“qp”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论
10、2(1)不等式x(x2)0成立的一个必要不充分条件是()Ax(0,2)Bx1，)Cx(0,1) Dx(1,3)B由x(x2)0得0x2，因为(0,2)1，)，所以“x1，)”是“不等式x(x2)0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为_思路探究： m|m9(或9，)由x28x200，得2x10，由x22x1m20(m0)，得1mx1m(m0)因为p是q的充分不必要条件，所以pq且qp即x|2x10是x|1mx1m，m0的真子集，所以或解得m9所以实数m的取值范围为m|m91本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围解由x28x20
11、0得2x10，由x22x1m20(m0)得1mx1m(m0)，因为p是q的必要不充分条件，所以qp，且pq则x|1mx1m，m0x|2x10，所以，解得0m3即m的取值范围是(0,32若本例题改为：已知Px|a4xa4，Qx|1x3，“xP”是“xQ”的必要条件，求实数a的取值范围解因为“xP”是“xQ”的必要条件，所以QP所以解得1a5，即a的取值范围是1,5利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围(1)化简p、q两命题；(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系；(3)利用集合间的关系建立不等式；(4)求解参数范围.1充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合
12、法2充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明在证明时要注意两种叙述方式的区别：p是q的充要条件，则由pq证的是充分性，由qp证的是必要性；p的充要条件是q，则由pq证的是必要性，由qp证的是充分性(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件1“|x|y|”是“xy”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件B若x1，y1，则|x|y|，但xy；若xy，则|x|y|，故选B2“x5”是“x24x50”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A由x24x50得x5或x1，则当x5时，x24x50成立，但x24x50时，x5不一定成立，故选A3下列条件中，是x24的必要不充分条件是()A2x2 B2x0C0x2 D1x3A由x24得2x2，必要不充分条件的x的范围真包含x|2x2，故选A4若“xm”是“(x1)(x2)0”的充分不必要条件，则m的取值范围是_(，1由(x1)(x2)0可得x2或x1，由已知条件，知x|xmx|x2或x1，m1