1、甘肃省平凉市静宁县第一中学2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一选择题(共12小题).1. 已知全集，集合，图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可知，阴影部分所表示的元素属于，不属于，结合所给的集合求解即可确定阴影部分所表示的集合.【详解】由已知中阴影部分在集合中，而不在集合中，故阴影部分所表示的元素属于，不属于（属于的补集），即.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，Venn图及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 已知，是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若
2、，, ，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】根据面面平行、线面平行的判定逐项分析即可.【详解】选项A中，两平面也可能相交；选项B中，中两平面可能相交；选项C中可能在内【点睛】本题主要考查了两个平面平行的判定，线面平行的判定，属于中档题.3. 当点P在圆上变动时，它与定点Q(3，0)相连，线段PQ的中点M的轨迹方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设线段PQ的中点M设为(x，y)，用表示出点坐标，代入已知圆方程即得所求轨迹方程【详解】解：线段PQ的中点M设为(x，y)，点P与定点Q(3，0)相连，则P(2x3，2y)，点P在圆x2+y2=1上变动时，线段P
3、Q的中点M的轨迹方程是(2x3)2+4y2=1.故选：B.4. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：该几何体是正方体在两个角各挖去四分之一个圆柱，因此故选B考点：三视图，体积5. 三个数a=0.312，b=log20.31，c=20.31之间的大小关系为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出【详解】解：00.3120.310=1，log20.31log21=0，20.3120=1， bac 故选：C【点睛】熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解题的关键6. 已知函数若g
4、（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. 1，0）B. 0，+）C. 1，+）D. 1，+）【答案】C【解析】【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.点睛：该题
5、考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.7. 圆与圆的公共弦长为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】两圆方程作差可求得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可求得结果.【详解】由得：，即公共弦所在直线方程为：.圆方程可整理为，则圆心，半径，圆心到的距离，公共弦长为.故选：.【点睛】本题考查两圆相交公共弦长的求解，涉及到垂径定理的应用；关键是明确两圆相交的公共弦所在直线方程
6、可通过两圆方程直接作差求得.8. 将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m+n=（ ）A. B. 10C. D. 5【答案】A【解析】分析】由题意求出点(0，2)与点(4，0)所确定是垂直平分线l的方程，再由点(7，3)与点(m，n)关于l对称，列式求解出m、n，即可求出m+n【详解】解：若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，则坐标纸折叠一次的折痕是点(0，2)与点(4，0)连线的垂直平分线，点(0，2)与点(4，0)中点为(2，1)，两点连线的斜率为k=，其垂直平分线的斜率为2，则其垂直平分线方程为：y1=2(x2)
7、，即y=2x3，它也是点(7，3)与点(m，n)连线的垂直平分线，则，解得.m+n=.故选：A.【点睛】对称问题：（1）点A、B关于点O对称，是中心对称，用中点坐标公式（2）点A、B关于直线l对称，则l是线段AB的垂直平分线，可以利用垂直和平分分别列方程： 和在直线l上.9. 设函数，则函数的图像可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，然后再利用特殊值判断.【详解】由，即，解得，所以函数的定义域为，关于原点对称，又，所以是偶函数，故排除AC，又，故排除B故选：D【点睛】本题主要考查函数图象的识别以及函数性质的应用，属于基础题.10. 从直线
8、xy30上的点向圆x2y24x4y70引切线，则切线长的最小值为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】设直线上的点为，已知圆的圆心和半径分别为，则切线长为，故当时，应选答案B点睛：本题求解时先设直线上动点，运用勾股定理建立圆的切线长的函数关系，再运用二次函数的图像与性质求出其最小值，从而使得问题获解本题的求解过程综合运用了函数思想与等价转化与化归的数学思想11. 把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：ACBD；ADC是正三角形；AB与CD成60角；AB与平面BCD成60角.则其中正确结论的个数是（ ）A 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分
9、析】取的中点，则，根据线面垂直的判定及性质可判断的真假；求出长后，可以判断的真假；求出与平面所成的角可判断的真假；建立空间坐标系，利用向量法，求出与所成的角，可以判断的真假；进而得到答案【详解】解：取BD的中点E，则AEBD，CEBD，面BD面AEC，面BDAC，故正确.设正方形边长为a，则.AC=a.ADC为等边三角形，故正确.ABD为AB与面BCD所成的角为45，以E为坐标原点，ECEDEA分别为x，y，z轴建立直角坐标系，则.，故正确.ABD为AB与面BCD所成的角为45，故不正确.故选：C.12. 已知函数，若，则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作
10、出函数的图像，和函数的图像，结合图像可知直线介于与轴之间，利用导数求出直线的斜率，数形结合即可求解.【详解】由题意可作出函数的图像，和函数的图像. 由图像可知：函数的图像是过原点的直线，当直线介于与轴之间符合题意，直线为曲线的切线，且此时函数在第二象限的部分的解析式为，求其导数可得，因为，故，故直线的斜率为，故只需直线的斜率.故选：D【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.二填空题(共4小题).13. 已知直线与平行，则的值是_【答案】或【解析】【分析】由两直线平行得出，解出的值，然后代入两直线方程进行验证.【详解】直线与平行，整理得，解得或.当时，直
11、线，两直线平行；当时，直线，两直线平行.因此，或.故答案为或.【点睛】本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证，考查运算求解能力，属于基础题.14. 已知直线与直线的交点位于第四象限，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】联立直线方程，求出交点坐标，根据交点位置，列出不等式，求解，即可得出结果.【详解】因为直线与直线有交点，所以，由得，即交点坐标为，又交点位于第四象限，所以有，解得.故答案为【点睛】本题主要考查由直线交点位置求参数的问题，求两直线的交点坐标，只需联立直线方程求解即可，属于常考题型.15. 已知正三棱锥ABCD的四个顶点在同一个球面上，AB
12、=AC=AD=4，CD=6，则该三棱锥的外接球的表面积为_.【答案】64【解析】【分析】取三角形BCD的中心为G，连接AG，易知三棱锥的外接球的球心O在AG的延长线上，设三棱锥的外接球的半径为R，然后在中，由求解.【详解】如图所示：取三角形BCD的中心为G，连接AG，则AG底面BCD，可知三棱锥的外接球的球心O在AG的延长线上，因为底面三角形的边长为6，所以BG=，设三棱锥的外接球的半径为R，在中，解得R=4.该三棱锥的外接球的表面积为4R2=64.故答案为：64.16. 下列说法：函数的单调增区间是；若函数定义域为R且满足，则它图象关于轴对称；函数的值域为；函数的图象和直线的公共点个数是，则
13、的值可能是；若函数在上有零点，则实数的取值范围是.其中正确的序号是_.【答案】【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断的正误，根据函数的图象变换可判断正误，根据函数的单调性和奇偶性可判断的正误.【详解】对于，令，则或，在上，为减函数，在上，为增函数，而为减函数，故函数的单调增区间是，故错误.对于，若函数定义域为R且满足，则它的图象关于直线轴对称，故错误.对于，函数，故为上的奇函数，当时，因为，故，故当时，由函数的奇偶性可知的值域为，故正确.对于，函数的图象如图所示：当时，图象和直线的公共点个数为0，当时，图象和直线的公共点个数为2，当时，图象和直线的公共点个数为4，当时，图象和直线的公共点个数
14、为3，当时，图象和直线的公共点个数为2，故正确.对于，函数在上有零点，故在有零点，又由双勾函数的性质可得在上为减函数，在为增函数，故的值域为，所以即，故正确故答案为：.【点睛】方法点睛：（1）复合函数单调性需根据“同增异减”的原则来判断，注意先考虑函数的定义域.（2）研究函数的性质，一般是先研究函数的定义域，再研究函数的奇偶性，再研究函数单调性以及值域.（3）含参数的方程有解问题，可利用参变分离法，把范围问题转化为新函数的值域问题.三解答题(共6小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)17. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中
15、的含药量与时间成正比，药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数）.如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量与时间之间的函数关系式为_；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少时间学生才能回到教室？【答案】（1）；（2）0.6【解析】【分析】（1）当时，可设，把点代入直线方程求得，得到直线方程；当时，把点代入求得，曲线方程可得最后综合可得答案（2）根据题意可知，把（1）中求得的函数关系式，代入即可求得的范围【详解】解：（1）观察图象，当时是直线，当时，图象过，含药量（毫克）与时间（小时
16、）之间的函数关系式为：（2）由题意可得，因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，所以只有当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时学生方可进入教室，即，解得，由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室【点睛】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力，属于基础题18. 已知a0，a1且loga3loga2，若函数f(x)=logax在区间a，2a上的最大值与最小值之差为1.（1）求a的值；（2）解不等式；（3）求函数g(x)=|logax1|的单调区间.【答案】（1）2；（2）；（3）减函数为(0，2)，增区间为(2，+).【解析
17、】【分析】（1）根据对数函数的性质求出的范围，根据函数的单调性得到，求出的值即可；（2）根据函数的单调性得到关于的不等式组，解出即可；（3）将函数写成分段函数，即可求出函数的单调区间即可【详解】解：（1），又在，上为增函数，（2）依题意可知解得，所求不等式的解集为（3），当且仅当时，则函数在上为减函数，在上为增函数，的减函数为，增区间为19. 已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在直线方程为，求：（1）直线方程（2）顶点的坐标（3）直线的方程【答案】（1）（2）（3）【解析】【详解】试题分析：（1）由,设方程为，将点的坐标代入，即可求解直线方程；（2）联立所在的直线方程与所在直线
18、方程，即可求得点坐标；（3）设，得中点点坐标满足所在的直线方程为，代入方程组，求解点，进而得到直线的方程.试题解析：（1）,设方程为：，将点坐标代入得，所以直线.（2）联立所在的直线方程与所在直线方程，,得点坐标.（3）设，则中点坐标为点坐标满足所在的直线方程为所在直线方程，代入得方程组，故点坐标为，根据两点式，得直线方程为：.考点：直线方程的求解.20. 在四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，SBC，SDC为正三角形，E为侧棱SC上一点.（1）当E为侧棱SC的中点时，求证：平面BDE；（2）求证：平面BDE平面SAC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）要证
19、明平面，只需证明平行于平面内的一条直线即可，而为中点，所以连接、交于点由条件知道为中点，从而为三角形的中位线，从而得到，即可得证；（2）由，为正三角形，可以得到为等腰三角形，为底边中点，易得，又由条件知道，从而可以证明平面，从而得证【详解】证明：（1）设与的交点为，因为四边形是菱形，所以为的中点，又为的中点，所以，为三角形的中位线，所以，又面，面，所以平面；（2）连接，因为四边形是菱形，所以，且是的中点，所以，又，为正三角形，所以，故，所以又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面21. 如图，在四棱锥中，底面是矩形.已知，.（1）求点到面的距离；（2）求二面角的正切值.【答案】（1）；（2）.
20、【解析】【分析】（1）推导出，设点到平面的高为，由，能求出点到面的距离（2）推导出，得到平面，推导出，从而平面，由此能证明为二面角的平面角求出，由此能求出的正切值【详解】解：（1），故，则，平面，设点到平面的高为，由得即，.（2）如图所示，取中点，连接，作垂直于，连接，在中，由（1）知平面，平面，而，平面，平面，平面，又，又，平面，为二面角的平面角，在中，即二面角的正切值为.【点睛】本题考查点到平面的距离、二面角的正切值的求法，考查二面角的平面角的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题22. 已知点P1（-+1,0）,P2（+1,0）,P3（1,1
21、）均在圆C上.（1）求圆C的方程;（2）若直线3x-y+1=0与圆C相交于A,B两点,求线段AB的长;（3）设过点（-1,0）的直线l与圆C相交于M,N两点,试问:是否存在直线l,使得以MN为直径的圆经过原点O?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.【答案】（1）（x-1）2+（y+2）2=9；（2）；（3）x=-1和y=x+1.【解析】【分析】（1）依据题意可得圆心的横坐标，然后假设圆的方程(x-1)2+(y-b)2=r2，然后代点进行计算可得结果.（2）计算圆心到直线的距离，然后利用弦长公式计算可得结果.（3）按斜率是否存在，假设直线的方程并与圆的方程进行联立，然后使用韦达定理，
22、根据kOMkON=-1，计算即可.【详解】解:（1）点P1(-+1,0),P2(+1,0),P3(1,1)均在圆C上,圆心C的横坐标为1,设圆C的方程为(x-1)2+(y-b)2=r2,则解得圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=9.（2）圆C的圆心坐标为(1,-2),半径为3,圆心到直线3x-y+1=0距离为d=.直线3x-y+1=0被圆C截得的弦AB的长为2.（3）存在直线l满足题意.理由如下,设M(x1,y1),N(x2,y2),由题意,知OMON,且OM,ON 的斜率均存在,当直线l的斜率不存在时,可得直线l的方程为x=-1,则M(-1,-2),N(-1,-2),满足x1x2+y1y
23、2=0,直线l:x=-1满足条件;当直线l 的斜率存在时,可设直线l 的方程为y=k(x+1),代入(x-1)2+(y+2)2=9,得(1+k2)x2+(2k2+4k-2)x+k2+4k-4=0,则x1+x2=-,x1x2=,kOMkON=-1,则=-1,即x1x2+y1y2=0.由x1x2+y1y2=0,得x1x2+k2(x1+1)(x2+1)=0,即(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=0,(1+k2)-k2+k2=0,解得k=1,直线l的方程为y=x+1.综上可知,存在满足条件的直线l:x=-1和l:y=x+1.【点睛】本题考查圆的应用，掌握圆中的弦长公式以及直线与圆联立，通常将方程进行联立并使用韦达定理，第（3）问中关键在于kOMkON=-1，属中档题.
