1、二次函数性质的再研究与幂函数建议用时：45分钟一、选择题1已知幂函数f(x)(m23m3)xm1为偶函数，则m()A1B2C1或2D3A函数f(x)为幂函数，m23m31，即m23m20，解得m1或m2.当m1时，幂函数f(x)x2为偶函数，满足条件；当m2时，幂函数f(x)x3为奇函数，不满足条件，故选A.2已知幂函数f(x)的图像过点，则函数g(x)f(x)的最小值为()A1B2 C4D6A设幂函数f(x)x.f(x)的图像过点，2，解得2.函数f(x)x2，其中x0.函数g(x)f(x)x221，当且仅当x时， g(x)取得最小值1.3一次函数yaxb与二次函数yax2bxc在同一坐标系
2、中的图像大致是()ABCDC若a0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2bxc的图像开口向上，故可排除A；若a0，一次函数yaxb为减函数，二次函数yax2bxc的图像开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a0，b0，从而0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选C.4已知a，b，cR，函数f(x)ax2bxc，若f(0)f(4)f(1)，则()Aa0,4ab0Ba0,4ab0Ca0,2ab0Da0,2ab0A由f(0)f(4)，得f(x)ax2bxc图像的对称轴为x2，4ab0，又f(0)f(1)，f(4)f(1)，f(x)先减后增，于是a0，故选A.5设x0.20.
3、3，y0.30.2，z0.30.3，则x，y，z的大小关系为()AxzyByxzCyzxDzyxA由函数y0.3x在R上单调递减，可得yz.由函数yx0.3在(0，)上单调递增，可得xz.所以xzy.二、填空题6已知函数f(x)x22ax3，若yf(x)在区间4,6上是单调函数，则实数a的取值范围为_(，64，)由于函数f(x)的图像开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4,6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4.7已知二次函数yf(x)的顶点坐标为，且方程f(x)0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是_f(x)4x212x40设f(x)a249(a0)，方程a 2490的两
4、个实根分别为x1，x2，则|x1x2|147，所以a4，所以f(x)4x212x40.8已知函数f(x)a2x3ax2(a1)，若在区间1,1上f(x)8 恒成立，则a的最大值为_2令axt，因为a1，x1,1，所以ta，原函数化为g(t)t23t2，显然g(t)在上单调递增，所以f(x)8恒成立，即g(t)maxg(a)8恒成立，所以有a23a28，解得5a2，又a1，所以a的最大值为2.三、解答题9求函数f(x)x(xa)在x1,1上的最大值解函数f(x) 2的图像的对称轴为x，应分1，11，1，即a2，2a2和a2三种情形讨论(1)当a2时，由图可知f(x)在1,1上的最大值为f(1)1
5、a(a1)(2)当2a2时，由图可知f(x)在1,1上的最大值为f.(3)当a2时，由图可知f(x)在1,1上的最大值为f(1)a1. 图图图综上可知，f(x)max10已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式；(2)当x1,1时，函数yf(x)的图像恒在函数y2xm的图像的上方，求实数m的取值范围解(1)设f(x)ax2bx1(a0)，由f(x1)f(x)2x，得2axab2x.所以，2a2且ab0，解得a1，b1，因此f(x)的解析式为f(x)x2x1.(2)因为当x1,1时，yf(x)的图像恒在y2xm的图像上方，所以在1,1上，x2x12x
6、m恒成立，即x23x1m在区间1,1上恒成立所以令g(x)x23x12，因为g(x)在1,1上的最小值为g(1)1，所以m1.故实数m的取值范围为(，1)1若关于x的不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是()A(，2)B(2，)C(6，)D(，6)A不等式x24x2a0在区间(1,4)内有解等价于a(x24x2)max，令f(x)x24x2，x(1,4)，所以f(x)f(4)2，所以a2.2如图是二次函数yax2bxc图像的一部分，图像过点A(3,0)，对称轴为x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5ab.其中正确的是()ABCDB因为图像与x轴交于
7、两点，所以b24ac0，即b24ac，正确；对称轴为x1，即1,2ab0，错误；结合图像，当x1时，y0，即abc0，错误；由对称轴为x1知，b2a.又函数图像开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，正确3已知yf(x)是偶函数，当x0时，f(x)(x1)2，若当x时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值为_1当x0时，x0，f(x)f(x)(x1)2，因为x，所以f(x)minf(1)0，f(x)maxf(2)1，所以m1，n0，mn1.所以mn的最小值是1.4已知函数f(x)x2(2a1)x3.(1)当a2，x2,3时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在1,3上的最大值为1，求
8、实数a的值解(1)当a2时，f(x)x23x3，x2,3，对称轴为x2,3，f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，函数f(x)的值域为.(2)函数f(x)的对称轴为x.当1，即a时，f(x)maxf(3)6a3，6a31，即a，满足题意；当1，即a时，f(x)maxf(1)2a1，2a11，即a1，满足题意综上可知，a或1.1设f(x)与g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数yf(x)g(x)在xa，b上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在a，b上是“关联函数”，区间a，b称为“关联区间”若f(x)x23x4与g(x)2xm在0,3上是“关联函数”，则m的取值范围为_由题意知，yf(x)g(x)x25x4m在0,3上有两个不同的零点在同一直角坐标系下作出函数ym与yx25x4(x0,3)的图像如图所示，结合图像可知，当x2,3时，yx25x4，故当m时，函数ym与yx25x4(x0,3)的图像有两个交点2是否存在实数a2,1，使函数f(x)x22axa的定义域为1,1时，值域为2,2？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由解f(x)(xa)2aa2，当2a1时，f(x)在1,1上为增函数，由得a1(舍去)；当1a0时，由得a1；当0a1时，由得a不存在；综上可得，存在实数a满足题目条件，a1.