1、江苏省无锡市江阴市高级中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解出集合、，利用交集的定义可得出集合.【详解】，.故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，涉及一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2. 已知复数z满足iz2+i，则z的共轭复数是（）A. 12iB. 1+2iC. 12iD. 1+2i【答案】D【解析】【分析】两边同乘-i，化简即可得出答案【详解】iz2+i两边同乘-i得z=1-2i
2、,共轭复数为1+2i，选D.【点睛】的共轭复数为3. 设随机变量，若，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据正态分布及可知期望与方差.【详解】因为随机变量，且，所以由对称性知，由正态分布知方差.故选：A【点睛】本题主要考查了正态分布中，的含义，属于容易题.4. 从名教师和名学生中，选出人参加“我和我的祖国”快闪活动要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可.【详解】由题意可分成两类：（1
3、）一名教师和三名学生，共；（2）两名教师和两名学生，共；故不同的选派方案的种数是.故选：C【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可5. 在的展开式中，含的项的系数是（ ）A. 74B. 121C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数，【详解】因为在，所以含的项为：，所以含的项的系数是的系数是，故选：D【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题，6. 袋子中装有大小相同的八个小球，其中白球五个，分别编号1、2、3、4、5；红球三个，分别编号1、2、3，现从袋子中任取三个小球，它们的最
4、大编号为随机变量X，则P(X=3)等于 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】 第一种情况表示1个3， ,第二种情况表示2个3， ，所以 ，故选D.7. 如图，四面体中，两两垂直， ，点是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，面ABE,过B作BF，证明BF 面ACD, 为直线与平面所成角，BF即为到平面的距离，利用三角形等面积即可求解.【详解】由题知AB面BCD, ABCD,又BC=BD，点是的中点， BECD,且BE= 又，CD面ABE, 过B作BF于E，则CDBF,又AECD=E, BF 面ACD
5、, 为直线与平面所成角，BF即为到平面的距离.,解得BA=4 , ,利用 等面积知 .故选D.【点睛】本题考查线面角，点面距，过B作BF，证明BF 面ACD是关键.8. 设函数是定义在上的增函数，则实数取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出函数的图象，结合图象及题意分析可得所求范围【详解】画出函数的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数是在上的增函数，需满足，解得所以实数取值范围是故选D【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的
6、函数值的大小关系二、多选题 （本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值为（ ）A B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】将各项的值代入验证后可得正确的选项，注意用数学归纳法证明所得的结论.【详解】取，则，不成立；取，则，不成立；取，则，成立；取，则，成立；下证：当时，成立.当，则，成立；设当时，有成立，则当时，有，令，则，因为，故，因为，所以，所以当时，不等式也成立，由数学归纳法可知，对任意的都成立.故选：CD.【点睛】本题考查数
7、学归纳法，注意归纳的起点可以通过验证得到，还要注意用数学归纳法证明一般性结论是成立.10. 下列说法正确的是（ ）A. 命题“，”的否定是“，”B. 命题“，”的否定是“，”C. “”是“”必要而不充分条件D. “”是“关于方程有一正一负根”的充要条件【答案】BD【解析】【分析】A.根据全称命题的否定的书写规则来判断；B. 根据特称命题的否定的书写规则来判断；C.根据充分性和必要性的概念判断；D. 根据充分性和必要性的概念判断.【详解】解：A.命题“，”的否定是“，”，故错误；B.命题“，”的否定是“，”，正确；C.，不能推出，也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故错误；D.关于
8、方程有一正一负根，所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，正确，故选：BD.【点睛】本题考查全称命题，特称命题否定的写法，以及充分性，必要性的判断，是基础题.11. 已知为虚数单位，则下面命题正确的是（ ）A. 若复数，则B. 复数满足，在复平面内对应的点为，则C. 若复数，满足，则D. 复数的虚部是3【答案】ABC【解析】【分析】直接运算可判断A；由复数的几何意义和复数模的概念可判断B；由共轭复数的概念，运算后可判断C；由复数虚部的概念可判断D；即可得解.【详解】由，故A正确；由在复平面内对应的点为，则，即，则，故B正确；设复数，则，所以，故C正确；复数的虚部是-3，故D不正确.故选
9、：A、B、C【点睛】本题综合考查了复数的相关问题，属于基础题.12. （多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）A. 是偶函数B. 是奇函数C. 在上是增函数D. 的值域是【答案】BC【解析】【分析】举反例说明A错，用奇函数的定义证明B正确，用复合函数的单调性说明C正确，求出函数的值域，根据高斯函数的定义证明D错误【详解】根据题意知，函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；，是奇函数，B正确；由复合
10、函数的单调性知在上是增函数，C正确；，D错误故选BC【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查函数的值域，考查学生的创新意识由于涉及到新定义函数，有一定的难度三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知，取值如表：画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则_【答案】【解析】分析：计算，根据线性回归方程过样本中心点，代入方程求出m的值详解：计算=（0+1+3+5+6）=3，=（1+m+3m+5.6+7.4）=，这组数据的样本中心点是（3，），又y与x的线性回归方程=x+1过样本中心点，=13+1，解得m=.故填.点睛：本题考查了回归直线方程过样本中心点的应用问题，属于基
11、础题14. 已知函数，若，则实数的取值范围是_【答案】(1,3)【解析】【分析】确定函数为奇函数，增函数，化简得到，解得答案.【详解】，函数为奇函数，函数单调递增，即，即，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.15. 已知，且，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】由题意首先求得的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件.【详解】由可知，且：，因为对于任意，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条
12、件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误16. 汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，“赵爽弦图”如图所示，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成，现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有_种（用数字作答）.【答案】420【解析】【分析】根据题意设五个区域分别为，再分两步讨论和的情况，最后由分步计数原理计算即可.【详解】由题意，假设五个区域分别为，对于区域，三个区域两两相邻，共有种情况；对于区域，若与颜色相同，则有3种情况，若与颜色不同，则有2种情况，有2种情况，共有种
13、情况，所以共有种情况，则一共有种情况.故答案为：420【点睛】本题主要考查排列组合的应用和分步乘法计数原理的应用，属于基础题.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在的展开式中，前3项的系数成等差数列，（1）求的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中含的项的系数.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据前3项的系数成等差数列，利用等差数列的定义求得的值；（2）根据通项公式、二项式系数的性质求展开式中二项式系数最大的项；（3）在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得含的项的系数【详解】解：（1）因为
14、前3项的系数成等差数列，且前三项系数为，所以，即，所以（舍去）或.（2）因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，即.（3）通项公式：由，可得含的项的系数为.【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质18. 已知函数f（x）（k0） （1）若f（x）m的解集为x|x-3，或x-2，求不等式5mx2+kx+30的解集； （2）若存在x3，使得f（x）1成立，求k的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据不等式解集与对应方程根的关系：-3，-2是方程mx2-2kx+6km=0的根，即利用韦达定理得方程组，解方程组可得m,k的值，代入不等式5
15、mx2+kx+30再解一元二次不等式即可（2）不等式有解问题，一般转化为对应函数最值问题： ，再根据基本不等式求最值，即得k的取值范围试题解析：解：（1）不等式， 不等式mx2-2kx+6km0的解集为x|x-3，或x-2，-3，-2是方程mx2-2kx+6km=0的根， ，故有， 不等式5mx2+kx+30的解集为 （2） 存在x3，使得f（x）1成立，即存在x3，使得成立 令，则kg（x）min 令2x-6=t，则t（0，+）， 当且仅当即时等号成立 所以 故k（6，+）点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上
16、具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.19. 如图，直三棱柱中，分别为，的中点（1）证明：平面；（2）已知与平面所成的角为30，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）取中点，连接、，根据题目条件，利用线面垂直的判定定理，得出平面，由于为中点，可证出四边形为平行四边形，得出，从而可证出平面；（2）设，根据（1）可知，平面，则到平面距离，设到面距离为，根据三棱锥等体积法有，得，得，因为与平面所成的角为30，可求出，结合
17、线面垂直的判定定理证出平面，进而得出为二面角的平面角，只需求出，即可求出二面角的余弦值【详解】解：（1）取中点，连接、，平面，平面，而平面，平面，平面，为中点，四边形为平行四边形，平面（2）设，则，到平面距离，设到面距离为，由，得，即，得，因为与平面所成的角为30，所以，而在直角三角形中，所以，解得因为平面，平面，所以，又平面，平面，所以，所以平面，平面，平面所以为二面角的平面角，而，可得四边形是正方形，所以，则，所以二面角的余弦值为【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，以及利用几何法求二面角余弦值，涉及平行四边形的证明、等体积法求距离、棱锥的体积，线面角的应用等知识点，考查推理证明能力和计算能
18、力.20. 交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过的有30人，不超过的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过的有5人，不超过的有15人.（1）完成下面的列联表，并据此判断是否有的把握认为，家庭轿车平均车速超过与驾驶员的性别有关；平均车速超过的人数平均车速不超过的人数合计男性驾驶员女性驾驶员合计（2）根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过的人数为，假定抽取的结果相互独立，求的分布列和数学期望.参考公式：其中临界值表：0.0500.0250.0100.005
19、0.0013.8415.0246.635787910.828【答案】（1）填表见解析；有的把握认为，平均车速超过与性别有关（2）详见解析【解析】【分析】（1）根据题目所给数据填写列联表，计算出的值，由此判断出有的把握认为，平均车速超过与性别有关.（2）利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望.【详解】（1）平均车速超过的人数平均车速不超过的人数合计男性驾驶员301040女性驾驶员51520合计352560因为，所以有的把握认为，平均车速超过与性别有关.（2）服从，即，.所以的分布列如下0123的期望【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验，考查二项分布分布列和数学期望，属于中档题.21. 已知为
20、给定的正整数，设，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）利用二项式定理可求出和的值；（2）利用组合数公式得出，可得出，然后利用二项式定理即可求得答案.【详解】（1）因为，所以，；（2）当时，又因为， 当时，； 当时，当时，也符合.所以的值为.【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，同时也考查了利用二项式定理化简求值，解题的关键就是二项展开式通项和二项式定理的逆用，考查计算能力，属于中等题.22. 已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：(1)首先确定函数的定义域，之后对函数求导，之
21、后对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，从而求得函数对应的单调区间；(2)根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果.详解：（1）的定义域为，.（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.点睛：该题考查的是应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件，在解题的过程中，需要明确导数的符号对单调性的决定性作用，再者就是要先保证函数的生存权，先确定函数的定义域，要对参数进行讨论，还有就是在做题的时候，要时刻关注第一问对第二问的影响，再者就是通过构造新函数来解决问题的思路要明确.