1、圆的方程建议用时：45分钟一、选择题1已知方程x2y2kx2yk20所表示的圆有最大的面积，则取最大面积时，该圆的圆心的坐标为()A(1,1)B(1,0)C(1，1)D(0，1)D由x2y2kx2yk20知所表示圆的半径r，要使圆的面积最大，须使半径最大，所以当k0时，rmax1，此时圆的方程为x2y22y0，即x2(y1)21，所以圆心为(0，1)2以(a,1)为圆心，且与两条直线2xy40,2xy60同时相切的圆的标准方程为()A(x1)2(y1)25B(x1)2(y1)25C(x1)2y25Dx2(y1)25A由题意得，点(a,1)到两条直线的距离相等，且为圆的半径r.，解得a1.r，所
2、求圆的标准方程为(x1)2(y1)25.3设P(x，y)是曲线x2(y4)24上任意一点，则的最大值为()A.2BC5D6A的几何意义为点P(x，y)与点A(1,1)之间的距离易知点A(1,1)在圆x2(y4)24的外部，由数形结合可知的最大值为22.故选A.4动点A在圆x2y21上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是()A(x3)2y24B(x3)2y24C(2x3)24y21D2y2C设中点M(x，y)，则动点A(2x3,2y)点A在圆x2y21上，(2x3)2(2y)21，即(2x3)24y21.故选C.5过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点
3、，则|MN|()A2B8C4D10C设圆的方程为x2y2DxEyF0，则解得圆的方程为x2y22x4y200.令x0，得y22或y22，M(0，22)，N(0，22)或M(0，22)，N(0，22)，|MN|4，故选C.二、填空题6设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线x3上的动点，则|PQ|的最小值为_4如图所示，圆心M(3，1)与直线x3的最短距离为|MQ|3(3)6，又圆的半径为2，故所求最短距离为624.7圆(x1)2(y2)21关于直线yx对称的圆的方程为_(x2)2(y1)21设对称圆的方程为(xa)2(yb)21，圆心(1,2)关于直线yx的对称点为(2,1)，故对称圆
4、的方程为(x2)2(y1)21.8圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(1,1)，B(1,3)，若M(m，)在圆C内，则m的范围为_(0,4)设圆心为C(a,0)，由|CA|CB|得(a1)212(a1)232.所以a2.半径r|CA|.故圆C的方程为(x2)2y210.由题意知(m2)2()210，解得0m4.三、解答题9已知M(x，y)为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值解(1)由圆C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圆心C的坐标为(2,7)，半径r2.又|QC|4，|MQ|max426，|
5、MQ|min422.(2)可知表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由直线MQ与圆C有交点，所以2，可得2k2，的最大值为2，最小值为2.10.如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD长分别为6和2，高为3.(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；(2)若线段MN的端点N的坐标为(5,2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程解(1)由已知可知A(3,0)，B(3,0)，C(，3)，D(，3)，设圆心E(0，b)，由|EB|EC|可知(03)2(b0)2(0)2(b3)2，解得b1.所以r2(03)2(10)210.所以圆的方程为x2(y1)210.
6、(2)设P(x，y)，由点P是MN中点，得M(2x5,2y2)将M点代入圆的方程得(2x5)2(2y3)210，即22.1(2018全国卷)直线xy20分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y22上，则ABP面积的取值范围是()A2,6B4,8C，3D2，3A圆心(2,0)到直线的距离d2，所以点P到直线的距离d1，3根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(2,0)，B(0，2)，所以|AB|2，所以ABP的面积S|AB|d1d1.因为d1，3，所以S2,6，即ABP面积的取值范围是2,62若直线ax2by20(a0，b0)始终平分圆x2y24x2y80的周长，则的最小值为()
7、A1B5C4D32D由题意知圆心C(2,1)在直线ax2by20上，2a2b20，整理得ab1，(ab)33232，当且仅当，即b2，a1时，等号成立的最小值为32.3已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x2y0的距离为，且圆C被x轴分成的两段弧长之比为31，则圆C的方程为_(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2，则点C到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|.由题意可知或故所求圆C的方程为(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22.4已知以点P为圆心的圆经过点A(1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|
8、4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程解(1)由题意知，直线AB的斜率k1，中点坐标为(1,2)则直线CD的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得ab30.又因为直径|CD|4，所以|PA|2，所以(a1)2b240.由解得 或 所以圆心P(3,6)或P(5，2)所以圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.1(2019厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2(y3)21上的动点，定点A(2,0)，B(2,0)，则的最大值为_12由题意，知(2x，y)，(2x，y)，所以x2y24，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x
9、2(y3)21，故x2(y3)21，所以(y3)21y246y12.易知2y4，所以，当y4时，的值最大，最大值为641212.2. 在平面直角坐标系xOy中，曲线：yx2mx2m(mR)与x轴交于不同的两点A，B，曲线与y轴交于点C.(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点解由曲线：yx2mx2m(mR)，令y0，得x2mx2m0.设A(x1,0)，B(x2,0)，可得m28m0，则m0或m8，x1x2m，x1x22m.令x0，得y2m，即C(0,2m)(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则0，得x1x24m20，即2m4m20，所以m0(舍去)或m.此时C(0，1)，AB的中点M即圆心，半径r|CM|，故所求圆的方程为2y2.(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2y2mxEy2m0，将点C(0,2m)代入可得E12m，所以过A，B，C三点的圆的方程为x2y2mx(12m)y2m0.整理得x2y2ym(x2y2)0.令可得或故过A，B，C三点的圆过定点(0,1)和.