1、数学 第二部分 高考热点 分层突破 专题五 解析几何第1讲 直线与圆02研考点考向破重点难点03练典型习题 提数学素养 01做高考真题明命题趋向做真题题型一 圆的方程1(2016高考全国卷)圆 x2y22x8y130 的圆心到直线 axy10 的距离为 1，则 a()A43 B34C 3D2解析：选 A.由题可知，圆心为(1，4)，结合题意得|a41|a21 1，解得 a43.2(2015高考全国卷)一个圆经过椭圆x216y241 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_解析：由题意知 a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4，0)由圆心
2、在 x 轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，2)，(4，0)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m4，r0)，则m24r2，（4m）2r2，解得m32，r2254.所以圆的标准方程为(x32)2y2254.答案：(x32)2y22543(2018高考全国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 k(k0)的直线l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|8.(1)求 l 的方程；(2)求过点 A，B 且与 C 的准线相切的圆的方程解：(1)由题意得 F(1，0)，l 的方程为 yk(x1)(k0)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由yk（x1），y24x得 k2x2(
3、2k24)xk20.16k2160，故 x1x22k24k2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21)4k24k2.由题设知4k24k28，解得 k1(舍去)，k1.因此 l 的方程为 yx1.(2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3，2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则y0 x05，（x01）2（y0 x01）2216，解得x03，y02或x011，y06.因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216 或(x11)2(y6)2144.题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系1(2018高考全国卷)直线 xy20 分别与 x 轴，y
4、轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x2)2y22 上，则ABP 面积的取值范围是()A2，6 B4，8C 2，3 2D2 2，3 2 解析：选 A.圆心(2，0)到直线的距离 d|202|22 2，所以点 P 到直线的距离 d1 2，3 2根据直线的方程可知 A，B 两点的坐标分别为 A(2，0)，B(0，2)，所以|AB|2 2，所以ABP 的面积 S12|AB|d1 2d1.因为 d1 2，3 2，所以 S2，6，即ABP 面积的取值范围是2，62(2015高考全国卷)过三点 A(1，3)，B(4，2)，C(1，7)的圆交 y 轴于 M，N 两点，则|MN|()A2 6B8C4 6D10
5、解析：选 C.设圆的方程为 x2y2DxEyF0，则D3EF100，4D2EF200，D7EF500.解得D2，E4，F20.所以圆的方程为 x2y22x4y200.令 x0，得 y22 6或 y22 6，所以 M(0，22 6)，N(0，22 6)或 M(0，22 6)，N(0，22 6)，所以|MN|4 6，故选 C.3(2016高考全国卷)已知直线 l：mxy3m 30 与圆 x2y212 交于 A，B两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C，D 两点若|AB|2 3，则|CD|_解析：设圆心到直线 l：mxy3m 30 的距离为 d，则弦长|AB|2 12d22 3，得
6、d3，即3m 3m21 3，解得 m 33，则直线 l：x 3y60，数形结合可得|CD|AB|cos 304.答案：4山东省学习指导意见1直线与方程(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式能根据斜率判定两条直线平行或垂直(2)根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)体会斜截式与一次函数的关系(3)探索并掌握两点间的距离公式点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离，会求两直线的交点坐标2圆与方程(1)由圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程(2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与
7、圆、圆与圆的位置关系(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题3空间直角坐标系了解空间直角坐标系，明确感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用空间两点间的距离公式考法全练1若平面内三点 A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则 a()A1 2或 0B2 52或 0C2 52D2 52或 0直线的方程解析：选 A.因为平面内三点 A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，所以 kABkAC，即a2a21a3a31，即 a(a22a1)0，解得 a0 或 a1 2.故选 A.2若直线 mx2ym0 与直线 3mx(m1)y70 平行，则 m 的值为(
8、)A7B0 或 7C0D4解析：选 B.因为直线 mx2ym0 与直线 3mx(m1)y70 平行，所以 m(m1)3m2，所以 m0 或 7，经检验，都符合题意故选 B.3已知点 A(1，2)，B(2，11)，若直线 ym6m x1(m0)与线段 AB 相交，则实数m 的取值范围是()A2，0)3，)B(，1(0，6C2，13，6D2，0)(0，6解析：选 C.由题意得，两点 A(1，2)，B(2，11)分布在直线 ym6m x1(m0)的两侧(或其中一点在直线上)，所以m6m21 2m6m 111 0，解得2m1或 3m6，故选 C.4已知直线 l 过直线 l1：x2y30 与直线 l2：
9、2x3y80 的交点，且点 P(0，4)到直线 l 的距离为 2，则直线 l 的方程为_解析：由x2y30，2x3y80，得x1，y2，所以直线 l1 与 l2 的交点为(1，2)显然直线 x1不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为 y2k(x1)，即 kxy2k0，因为 P(0，4)到直线 l 的距离为 2，所以|42k|1k22，所以 k0 或 k43.所以直线 l 的方程为 y2 或 4x3y20.答案：y2 或 4x3y205(一题多解)已知直线 l：xy10，l1：2xy20.若直线 l2 与 l1 关于直线 l 对称，则直线 l2 的方程是_若直线 l3 与 l 关于点(
10、1，1)对称，则直线 l3 的直线方程是_解析：法一：l1 与 l2 关于 l 对称，则 l1 上任意一点关于 l 的对称点都在 l2 上，故 l 与 l1的交点(1，0)在 l2 上又易知(0，2)为 l1 上的一点，设其关于 l 的对称点为(x，y)，则x2y22 10，y2x 11，解得x1，y1.即(1，0)，(1，1)为 l2 上两点，故可得 l2 的方程为 x2y10.因为 l3l，可设 l3 的方程为 xyc0，则|111|2|11c|2.所以 c1，所以 l3 的方程为 xy10.法二：设 l2 上任一点为(x，y)，其关于 l 的对称点为(x1，y1)，则由对称性可知xx12
11、yy1210，yy1xx111，解得x1y1，y1x1.因为(x1，y1)在 l1 上，所以 2(y1)(x1)20，即 l2 的方程为 x2y10.因为 l3l，可设 l3 的方程为 xyc0，则|111|2|11c|2.所以 c1，所以 l3 的方程为 xy10.答案：x2y10 xy10(1)两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断(2)轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线的对称若两点 P1(x1，
12、y1)与 P2(x2，y2)关于直线 l：AxByC0 对称，则线段 P1P2的中点在对称轴 l 上，而且连接 P1，P2 的直线垂直于对称轴 l.由方程组Ax1x22By1y22C 0.y2y1x2x1AB 1，可得到点 P1 关于 l 对称的点 P2 的坐标(x2，y2)(其中 B0，x1x2)直线关于直线的对称有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行一般转化为点关于直线的对称来解决圆的方程典型例题在平面直角坐标系 xOy 中，曲线：yx2mx2m(mR)与 x 轴交于不同的两点 A，B，曲线 与 y 轴交于点 C.(1)是否存在以 AB 为直径的圆过点 C？若存在，
13、求出该圆的方程；若不存在，请说明理由(2)求证：过 A，B，C 三点的圆过定点【解】由曲线：yx2mx2m(mR)，令 y0，得 x2mx2m0.设 A(x1，0)，B(x2，0)，则可得 m28m0，x1x2m，x1x22m.令 x0，得 y2m，即 C(0，2m)(1)若存在以 AB 为直径的圆过点 C，则AC BC 0，得 x1x24m20，即 2m4m20，所以 m0 或 m12.由 0 得 m8，所以 m12，此时 C(0，1)，AB 的中点 M14，0 即圆心，半径 r|CM|174，故所求圆的方程为x142y21716.(2)证明：设过 A，B 两点的圆的方程为 x2y2mxEy
14、2m0，将点 C(0，2m)代入可得 E12m，所以过 A，B，C 三点的圆的方程为 x2y2mx(12m)y2m0，整理得 x2y2ym(x2y2)0.令x2y2y0，x2y20，可得x0，y1或x25，y45，故过 A，B，C 三点的圆过定点(0，1)和25，45.求圆的方程的 2 种方法几何法通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程对点训练1若方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆，则实数 a 的取值范围是()A(，2)B23，0C(2，0)D2，23解析：选 D.若方程表示圆，则
15、a2(2a)24(2a2a1)0，化简得 3a24a40，解得2a23.2经过原点且与直线 xy20 相切于点(2，0)的圆的标准方程是()A(x1)2(y1)22B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)24D(x1)2(y1)24解析：选 A.设圆心的坐标为(a，b)，则 a2b2r2，(a2)2b2r2，ba21，联立解得 a1，b1，r22.故所求圆的标准方程是(x1)2(y1)22.故选A.3(2019山东青岛模拟)已知圆 M：x2y22xa0，若 AB 为圆 M 的任意一条直径，且OA OB 6(其中 O 为坐标原点)，则圆 M 的半径为()A 5B 6C 7D2 2解析：选 C
16、.圆 M 的标准方程为(x1)2y21a(a0)上的动点，B 为圆(x2)2y21上的动点，则|AB|的最小值是()A3B4C3 2D4 2解析：选 A.根据题意，可在同一直角坐标系中作出 yx4x(x0)和圆(x2)2y22 的图象，由数形结合易知当 A(2，4)，B(2，1)时，|AB|有最小值 3，故选 A.2(2019江苏南师大附中期中改编)在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 过点 A(0，8)，且与圆 x2y26x6y0 相切于原点，则圆 C 的方程为_，圆C 被 x 轴截得的弦长为_解析：将已知圆化为标准式得(x3)2(y3)218，圆心为(3，3)，半径为 3 2.由于两个
17、圆相切于原点，圆心连线过切点，故圆 C 的圆心在直线 yx 上由于圆 C 过点(0，0)，(0，8)，所以圆心又在直线 y4 上联立 yx 和 y4，得圆心 C 的坐标(4，4)又因为点(4，4)到原点的距离为 4 2，所以圆 C 的方程为(x4)2(y4)232，即 x2y28x8y0.圆心 C 到 x 轴距离为 4，则圆 C 被 x 轴截得的弦长为2（4 2）2428.答案：x2y28x8y0 83在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 与 y 轴相切，且过点 M(1，3)，N(1，3)(1)求圆 C 的方程；(2)已知直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，且直线 OA 与直线 OB
18、的斜率之积为2.求证：直线 l 恒过定点，并求出定点的坐标解：(1)因为圆 C 过点 M(1，3)，N(1，3)，所以圆心 C 在线段 MN 的垂直平分线上，即在 x 轴上，故设圆心为 C(a，0)，易知 a0，又圆 C 与 y 轴相切，所以圆 C 的半径 ra，所以圆 C 的方程为(xa)2y2a2.因为点 M(1，3)在圆 C 上，所以(1a)2(3)2a2，解得 a2.所以圆 C 的方程为(x2)2y24.(2)记直线 OA 的斜率为 k(k0)，则其方程为 ykx.联立（x2）2y24，ykx，消去 y，得(k21)x24x0，解得 x10，x24k21.所以 A4k21，4kk21.
19、由 kkOB2，得 kOB2k，直线 OB 的方程为 y2kx，在点 A 的坐标中用2k代替 k，得 B4k2k24，8kk24.当直线 l 的斜率不存在时，4k21 4k2k24，得 k22，此时直线 l 的方程为 x43.当直线 l 的斜率存在时，4k21 4k2k24，即 k22.则直线 l 的斜率为4kk21 8kk244k21 4k2k244k（k24）8k（k21）4（k24）4k2（k21）3k（k22）4k4 3k2k2.故直线 l 的方程为 y 4kk21 3k2k2x4k21.即 y 3k2k2x43，所以直线 l 过定点43，0.综上，直线 l 恒过定点，定点坐标为43，0.请做：练典型习题 提数学素养 word部分：点击进入链接 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放