1、2014华师一附中高一下学期拔高训练题1. 已知数列an是公差不为零的等差数列，数列a kn是公比为q的等比数列，且k 1=1，k 2=5，k3=17，求k 1k 2k 3kn的值.解：设数列an的公差为d，d0，则a 5=a 14d，a 17=a116d. 因为a 1，a5，a 17成等比数列，则(a 14d)2=a 1 (a 116d)，即2d 2=a1d. 又d0，则a1=2d. 所以an=a 1(n-1)d=2d(n-1)d=(n1)d.因为数列a k n的公比为q，则,所以a k n=a k13 n-1=a13n-1=2d3n-1. 又a k n=(kn+1)d,则2d3 n-1(k
2、n+1)d.由d0，知kn=23 n-1-1(nN *).k 1k 2k 3kn=23 0-1231-1232-123n-1-1=2(3031323n-1)-n=2-n=3n-n-1.2. 已知函数且关于x的不等式的解集是. （I）求的解析式； （II）设数列N*)，令求证：解：（）由，即 此不等式的解集是是关于x的方程的两根， 。（）由题设，又，数列是首项为1，公差为1的等差数列，即。从而。又，故原不等式成立。3已知个正数排成n行n列的一张表，其中每一行成等差数列,每一列成等比数列,并且所有的公比相等, 已知,求的值。解:设第一行个数组成的等差数列的公差为,各列所组成的等比为, 由题意得：解
3、得，于是，利用错位相减法可得。4. 某公司计划向银行贷款若干元，三年还清这笔贷款的月利率为P(0P1)，按复利计息（1）若该公司贷款金额为a元，从贷款发生一个月开始第一次还款，每月还款一次，每次还款数额相同，36个月还清请计算每月应还多少元（2）若该公司的还款计划是，从贷款发生三个月开始第一次还款，每三个月还款一次，每次还款A元，十二次还清请计算这笔贷款的金额是多少元解：（1）设每次还款x元则到第三年底，这笔贷款连本带息增值为a(1P)36 该公司所还金额连本带息为x(1P)35x(1P)34x(1P)x，x(1P)35x(1P)34x(1P)xa(1P)36，即，即每次还款元。（2）设这笔贷
4、款的数目为y元，同理A(1P)33A(1P)30A(1P)3Ay(1P)36，解得，即这笔贷款金额为元。5. 数列 （I）求证：为等比数列； （II）记N*），Tn为数列的前n项和. （i）当a=2时，求Tn； （ii）当时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n，都有？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由.解：（1）当时， 整理得，所以是公比为a的等比数列，又所以 （2）因为（i）当时， 两式相减，整理得 （ii）因为 当n为偶数时，；当n为奇数时，如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数.当时， 又。当时，即，当时，即，即存在正整数m=8，使得对于任意正整数n都有 6. 设函数f
5、1(x), fn1(x)f1fn(x)，其中nN*（1）记(nN*)试确定an与an1的关系，并求数列an的通项公式；（2）记(nN*)若存在x2, ，使得不等式|an(x)|0)成立，则an(x)至少是数列an(x)中的第几项？解：（1）fn1(0)f1fn(0), an(n2, nN)，又a1，an。（2）仿（1）可得，。由x2, ，则|an(x)|rr(12nr)x0即nlog2由、知，要使（*）成立，n的取值范围是nlog2且nN*，故当log2时，n的最小值为1，当log21即0r时，n的最小值为log21。方法二：x2, |an(x)|rr1r2n，而y1在2, 上的最小值为，故必
6、须且只需log2且nN*，下同。7设数列an和bn满足a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且数列an+1an （nN*）是等差数列，数列bn2(nN*)是等比数列. （1）求数列an和bn的通项公式； （2）是否存在kN*，使akbk（0，）？若存在，求出k；若不存在，说明理由.解：（1）由题意得：=， （），上式对也成立，。又，。（2），当 时，。当时，故不存在正整数使。8把正偶数数列中的数按“上小下大、左小右大”的原则排成如图所示的“三角形”数表，24681012设是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左到右数，第j个数。（1）若，求m，n的值。（2）已知函数f(x)
7、的反函数为，若记三角形数表中从上往下数第n行各数的和为bn，求数列的前n项和Sn。解：（1）三角形数表中前m行共有1+2+3+m=个数，第m行最后一个数尖当是所给数列中的第项，第m行最后一个数是，的m是不等式的最小正整数解,由得:或,，m=45，第45行第一个数是.（2），即,由（1）问知第n行的最后一个数是n2+n，且有n个数，若将n2+n看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为-2的等差数列。故,故,由错位相减法得。9设等比数列的公比为q，前n项和Sn0（n=1，2，） （1）求q的取值范围； （2）设记的前n项和为Tn，试比较Sn和Tn的大小.解：（1）是等比数列，当上式等价于不等式组：
8、 或 解式得q1；解，由于n可为奇数、可为偶数，得1q0, n=2, 3, 4, ).（1）求证：数列an是等比数列；（2）设数列an的公比为f(t)，作数列bn，使b1=1, bn=f(n=2, 3, )，求bn；（3）求和：b1b2-b2b3+b3b4-+b2n-1b2n-b2nb2n+1.解：（1）由S1=a1=1, S2=a1+a2，得3t(1+a2)-(2t+3)=3t, a2=，于是又3tSn-(2t+3)Sn-1=3t,3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t,两式相减，得3tan-(2t+3)an-1=0.则(n=3, 4, )。an是首项为1，公比为的等比数列。（2）由f(t)= =，得bn=bn是首项为1，公差为的等差数列。bn=1+.（3）bn=,b2n-1和b2n是首项分别为1和，公差为的等差数列，b2n=.b1b2-b2b3+b3b4-+b2n-1b2n-b2nb2n+1=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+b2n(b2n-1-b2n+1)=-(b2+b4+b2n)=-n=-(2n2+3n).
