1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评三十三数学归纳法(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020嘉兴模拟)用数学归纳法证明1+1)时,第一步应验证不等式()A.1+2B.1+2C.1+3D.1+3【解析】选B.依题意得,当n=2时,不等式为1+(nN+)过程中,设n=k(kN+)时,不等式f(k)成立,则需证当n=k+1时,f(k+1)也成立,则f(k+1)-f(k)=()A.B.-C.+-D.+【解析】选C.因为f(k)=+,f(k+1)=+,所以f(k+1)-f(k)=
2、+-=+-.3.在用数学归纳法证明某不等式“+f(n)”的过程中,如果从左边推证到右边,则由n=k时的归纳假设证明n=k+1时,左边增加的项数为()A.1项B.k项C.2k项D.2k+1项【解析】选A.用数学归纳法证明不等式“+f(n)”的过程中,假设n=k(kN*)时不等式成立,左边=+,则当n=k+1时,左边:+,所以由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了:,共1项.4.用数学归纳法证明等式:12-22+32-+(-1)n-1n2=n(n+1)(n是正奇数),假设n=k时等式成立,则需证()A.n=k+1时等式成立,且k1B.n=k+1时等式成立,且k3C.n=k+2时等式成立,且k1
3、D.n=k+2时等式成立,且k3【解析】选C.由于相邻的两个奇数相差2,根据数学归纳法证明数学命题的步骤,在第二步时,假设n=k(k为正奇数)时,则需证明n=k+2时等式成立,且k1.5.用数学归纳法证明不等式:1+1)时,第一步应证明下述哪个不等式成立世纪金榜导学号()A.12B.1+2C.1+2D.1+2【解析】选B.用数学归纳法证明1+1)时,第一步应验证的不等式为:1+(k1),则当n=k+1时,左端应乘上_,这个乘上去的代数式共有因式的个数是_.【解析】当n=k+1时,左端应乘上,这个乘上去的代数式共有因式的个数是(2k+1-1)-(2k+1)+1=2k-1.答案: 2k-18.(2
4、020绍兴模拟)用数学归纳法证明“1-+-+-=+(nN*)”,第一步应验证的等式是_,从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的代数式是_.世纪金榜导学号【解析】用数学归纳法证明“1-+-+-=+(nN*)”,第一步应验证的等式为:1-=;从n=k到n=k+1时左边需增加的代数式是:-=-.答案:1-=-三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知Sn=1+(n1,nN+),求证:1+(n2,nN+).【证明】(1)当n=2时,=S4=1+=1+,即n=2时命题成立;(2)假设当n=k(k2,kN+)时命题成立,即=1+1+,则当n=k+1时,=1+1+1+=1+=1+,故当n=k+1时,命题
5、成立.由(1)和(2)可知,对n2,nN+.不等式1+都成立.10.设f(n)=1+,是否存在关于正整数n的函数g(n),使等式f(1)+f(2)+f(n-1)=g(n)f(n)-1对于n2的一切正整数都成立?并证明你的结论.世纪金榜导学号【解析】当n=2时,由f(1)=g(2)f(2)-1,得g(2)=2,当n=3时,由f(1)+f(2)=g(3)f(3)-1,得g(3)=3,猜想g(n)=n(n2).下面用数学归纳法证明:当n2时,等式f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n)-1恒成立.当n=2时,由上面计算知,等式成立.假设n=k(k2)时,f(1)+f(2)+f(k-1)=kf(k
6、)-1成立,那么当n=k+1时,f(1)+f(2)+f(k-1)+f(k)=kf(k)-1+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)-k=(k+1)f(k+1)-1,所以当n=k+1时,等式也成立.由知,对一切n2的正整数n,等式都成立.故存在函数g(n)=n,使等式成立.(20分钟40分)1.(5分)证明等式12+22+32+n2=(nN*)时,学生的证明过程如下:(1)当n=1时,12=,等式成立;(2)假设n=k(kN*)时,等式成立,即12+22+32+k2=,则当n=k+1时,12+22+32+k2+(k+1)2=+(k+1)2=,所以当n=k+1时,等式也成立,故原等式成立.那
7、么上述证明()A.全过程都正确B.当n=1时验证不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确【解析】选A.首先,所证明的命题是关于正整数n的命题,其次,依据证明过程,得该命题证明过程分为两部分:当n=1时和假设当n=k(kN*)时等式成立,即12+22+32+k2=,那么当n=k+1时,证明成立,这就是数学归纳法的证题思想.据此可知上述证明全过程都正确.2.(5分)用数学归纳法证明“5n-2n能被3整除”的第二步中,n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为()A.5(5k-2k)+32kB.(5k-2k)+45k-2kC.(5-2)(5k-2k)D.2(5k-2
8、k)-35k【解析】选A.假设n=k(kN*)时命题成立,即:5k-2k能被3整除.当n=k+1时,5k+1-2k+1=55k-22k=5(5k-2k)+52k-22k=5(5k-2k)+32k.3.(5分)已知,nN*,用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)时,初始应该验证等式_,从“k到k+1”左边需增加的代数式是_.世纪金榜导学号【解析】当n=1时,初始等式为2=211,成立.当n=k时,左端=(k+1)(k+2)(k+k)=(k+1)(k+2)(k+3)(2k),当n=k+1时,左端=(k+1+1)(k+1+2)(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)
9、,所以从“k到k+1”,左端需要增加的代数式为=2(2k+1).答案:2=2112(2k+1)4.(12分)是否存在常数a,b使等式+=对于一切nN*都成立?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.世纪金榜导学号【解析】若存在常数a,b,使等式对于一切nN*都成立.取n=1,2可得,解得a=1,b=4.则+=对于一切nN*都成立.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,显然成立.(2)假设当n=k(kN*)时,等式成立,即+=对于一切nN*都成立.则当n=k+1时,+=+=(k+1)=(k+1)=.也就是说当n=k+1时,等式也成立.综上所述:可知等式对于一切nN*都成立.5.(13分)
10、在数列an中,已知a1=,=(2n-1)an.(1)求出a2,a3,a4的值,猜想数列an的通项公式. (2)用数学归纳法证明你的猜想.世纪金榜导学号【解析】(1)设数列的前n项和为Sn,因为=(2n-1)an.所以Sn=(2n-1)an,当n=2时,(a1+a2)=3a2,解得a2=,当n=3时,(a1+a2+a3)=5a3,解得a3=,当n=4时,(a1+a2+a3+a4)=7a4,解得a4=,猜想an=.(2)下面用数学归纳法证明:当n=1时,由已知显然成立,假设当n=k(kN*,k1)时,结论成立,即ak=,当n=k+1时,因为Sk+1=Sk+ak+1=(k+1)(2k+1)ak+1,
11、()又Sk=k(2k-1)ak=k(2k-1)=,代入()式得+ak+1=(k+1)(2k+1)ak+1,解得ak+1=,综上所述,可知猜想成立.1.用数学归纳法证明对任意nk(n,kN)的自然数都成立,则k的最小值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.当n=1时,左边=,右边=,当n=2时,左边=,右边=,当n=3时,左边=,右边=,即左边右边,不等式成立,则对任意nk(n,kN)的自然数都成立,则k的最小值为2.2.某个命题与正整数n有关,如果当n=k+1(kN*)时命题成立,那么可推得当n=k时命题也成立.现已知当n=2 019时该命题不成立,那么可推得世纪金榜导学号()A.当n=2 020时该命题不成立B.当n=2 020时该命题成立C.当n=2 018时该命题不成立D.当n=2 018时该命题成立【解析】选A.由题意可知,原命题成立则逆否命题成立,该命题对n=2 019不成立,该命题对n=2 020也不成立,否则,n=2 020成立,由已知推得n=2 019也成立.与当n=2 019时该命题不成立矛盾.关闭Word文档返回原板块