1、高考资源网（） 您身边的高考专家2021年江西省南昌市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|x22x0，By|ysinx，则AB（）A1，0B1，1C0，2D0，12复数z满足zi2+3i，则|z|（）ABCD3已知|，|5，10，则向量，夹角的余弦值为（）ABCD4ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，B45，C75，则b（）A2BCD5已知A是ABC内角，命题p：；命题q：，则q是p的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知圆O：（x1）2+（y1）21，则下列选项所对应的图形中，与圆O相切的是（）Ax2+y21
2、B（x4）2+（y5）216Cx+y1Dxy27如图，将框图输出的y看成输入的x的函数，得到函数yf（x），则yf（x）的图象（）A关于直线x1对称B关于直线x1对称C关于y轴对称D关于点（0，0）对称8如图E，F，G，H分别是菱形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且BE2AE，DH2HA，CF2FB，CG2GD，现将ABD沿BD折起，得到空间四边形ABCD，在折起过程中，下列说法正确的是（）A直线EF，HG有可能平行B直线EF，HG一定异面C直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上D直线EF，HG一定相交，但交点不一定在直线AC上9已知函数f（x）sin（2x+）（0）的图象关
3、于点对称，则下列选项中能使得g（x）cos（x+）取得最大值的是（）ABCD10如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径为r（d，r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，油量为v（h，w，v为变量），则下列说法：w是v的是函数；v是w的函数；h是w的函数；w是h的函数其中正确的是（）ABCD11许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图像，上、下底面与地面平行现测得下底直径米，上底直径米，AB与CD间的距离为80米，与上下底面等距离
4、的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为（）A10米B20米C米D米12已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为6，E是线段D1C1上的点，且D1E2EC1，P是平面A1DC1内一动点，则D1P+PE的最小值为（）ABCD二、填空题（每小题5分）.13将120个个体依次编号：1，2，120，用系统（等距）抽样的方法从中抽取出一个容量为10的样本，若抽到的第一个个体的编号为9，则最后一个个体的编号为 14已知椭圆3x2+4y212的左顶点为A，上顶点为B，则|AB| 15已知实数x，y满足条件，则z2x+y的最大值为 16已知f（x）|ln（x+a）|+ex的最小值为1（e是自然对数的底数）
5、，则a 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知an为公差不为0的等差数列，且a13，a1，a4，a13成等比数列（）求an的通项公式；（）设，求数列bn的前n项和Sn182020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我国处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如表：调查人数x30040
6、0500600700感染人数y33667（）求y与x的回归方程；（）同期，在人数均为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为N；注射疫苗后仍被感染的人数记为n，估计该疫苗的有效率（疫苗的有效率为1，结果保留3位有效数字）（参考公式：+x，参考数据：109.510.009132）19如图三棱柱ABCA1B1C1中，ABC和AA1C1是等边三角形E，F分别为棱AA1，AC的中点，平面AA1C1C平面A1B1C1（）若三棱柱ABCA1B1C1的体积为3，求AA1；（）在线段BF上是否存在点G，使得AG平面B1EF，证明你的结论20已知抛物线E：x22py（p0）的焦点为F，
7、过点F且斜率为k（k0）的动直线l与抛物线交于A，B两点，直线l过点A（x1，y1），且点F关于直线l的对称点为R（x1，1）（）求抛物线E的方程，并证明直线l是抛物线E的切线；（）过点A且垂直于l的直线交y轴于点G（0，4），求ABG的面积21已知函数（a0，bR，e为自然对数的底数）（）当b2时，讨论f（x）的单调性；（）若f（x）在R上单调递增，求的最大值选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为：（为参数），直
8、线l的极坐标方程为：（）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（）设A，B是曲线C与直线l的公共点，P（2，0），求|PA|PB|的值选修4-5：不等式选讲23已知f（x）|x1|+|ax+2|（a0）（）当a2时，求不等式f（x）3的解集；（）若不等式恒成立，求正数a的取值范围参考答案一、选择题（每小题5分）.1已知集合Ax|x22x0，By|ysinx，则AB（）A1，0B1，1C0，2D0，1解：Ax|0x2,By|ysinxy|1y1,AB0,1故选：D2复数z满足zi2+3i，则|z|（）ABCD【解答】解:复数z满足zi2+3i，z32i,|z|故选：C3已知|，|5，10，则
9、向量，夹角的余弦值为（）ABCD解：由已知得|，|5，10，故故选：B4ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，B45，C75，则b（）A2BCD解：由题意可知，A180457560，由正弦定理可知，所以bsinB2故选：C5已知A是ABC内角，命题p：；命题q：，则q是p的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：A为ABC的内角，则A（0，），若命题p：成立，说明； 而命题q：成立，说明；因此由q可以推得p成立，由p不可以推得q成立，可见p是q的充分非必要条件故选：A6已知圆O：（x1）2+（y1）21，则下列选项所对应的图形中，与圆O相切的是（
10、）Ax2+y21B（x4）2+（y5）216Cx+y1Dxy2解：根据题意，圆O：（x1）2+（y1）21，其圆心为（1，1），半径R1，依次分析选项：对于A，x2+y21，其圆心为（0，0），半径r1，圆心距dR+r，两圆不相切，不符合题意，对于B，（x4）2+（y5）216，其圆心为（4，5），半径r4，圆心距d5R+r，两圆外切，符合题意，对于C，x+y1，圆O的圆心（0，0）到直线的距离dR，直线与圆相交，不符合题意，对于D，xy2，圆O的圆心（0，0）到直线的距离dR，直线与圆相离，不符合题意，故选：B7如图，将框图输出的y看成输入的x的函数，得到函数yf（x），则yf（x）的图象（
11、）A关于直线x1对称B关于直线x1对称C关于y轴对称D关于点（0，0）对称解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y的值，可得当x0时，yx22xx（x2）是关于直线x1对称的二次函数；当x0时，yx22xx（x+2）是以直线x1为对称轴的二次函数，由此可知，该函数关于原点对称，即f（x）+f（x）0，则yf（x）的图象关于点（0，0）对称故选：D8如图E，F，G，H分别是菱形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且BE2AE，DH2HA，CF2FB，CG2GD，现将ABD沿BD折起，得到空间四边形ABCD，在折起过程中，下列说法正确的是
12、（）A直线EF，HG有可能平行B直线EF，HG一定异面C直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上D直线EF，HG一定相交，但交点不一定在直线AC上解：BE2AE，DH2HA，则EHBD，且EH，又CF2FB，CG2GD，则FGBD，且FG，EHFG，且EHFG，四边形EFGH为平面四边形，故直线EF，HG一定共面，故B错误；若直线EF与HG平行，则四边形EFGH为平行四边形，可得EHGF，与EHFG矛盾，故A错误；由EHFG，且EHFG，EH，FG，可得直线EF，HG一定相交，设交点为O，则OEF，又EF平面ABC，可得O平面ABC，同理，O平面ACD，而平面ABC平面ACDAC，OAC
13、，即直线EF，HG一定相交，且交点一定在直线AC上，故C正确，D错误故选：C9已知函数f（x）sin（2x+）（0）的图象关于点对称，则下列选项中能使得g（x）cos（x+）取得最大值的是（）ABCD解：因为函数f（x）sin（2x+）（0）的图象关于点对称，所以f()0,即sin(2+)sin(+)0,因为0,所以+（），则，所以，所以g(x)cos(x+),令x+,解得x2k,此时函数g(x)取得最大值，当k0时，x,函数g(x)取得最大值，故选：A10如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为d，截面半径为r（d，r为常量），油面高度为h，油面宽度为w，油量为v（h，w，v
14、为变量），则下列说法：w是v的是函数；v是w的函数；h是w的函数；w是h的函数其中正确的是（）ABCD解：根据圆柱的体积公式的实际应用，油面高度为h，会影响油面的宽度w，从而影响油量v，对于，w是v的函数；由于v确定，故h确定，w就确定，故正确；对于，v是w的函数，由于w确定，h有两个（上下对称），所以v有两个，故与函数的定义相矛盾，不是函数，故错误；对于，h是w的函数，同，w确定，所以有两个h（上下对称）故与函数的定义相矛盾，不是函数，故错误；对于，w是h的函数，h确定，则w确定，故正确故正确故选：A11许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致已知
15、图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图2是其中截面最细附近处的部分图像，上、下底面与地面平行现测得下底直径米，上底直径米，AB与CD间的距离为80米，与上下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为（）A10米B20米C米D米解：建立如图的坐标系，由题意可知D(10,20),B(10,60),设双曲线方程为：,解得a2100,b2400,|EF|2a20，故选：B12已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为6，E是线段D1C1上的点，且D1E2EC1，P是平面A1DC1内一动点，则D1P+PE的最小值为（）ABCD解：如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长
16、为6，三棱锥D1A1DC1为正三棱锥，侧棱长为6，底面边长为，设A1DC1的外心为G，连接D1G并延长至D2，则D1与D2关于平面A1DC1 对称，连接D2E，交平面A1DC1 于P，则D1P+PE的最小值为D2E，在等边三角形A1DC1中，求得C1G，cos，在D1D2E中，C1D1D232，可得即D1P+PE的最小值为故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13将120个个体依次编号：1，2，120，用系统（等距）抽样的方法从中抽取出一个容量为10的样本，若抽到的第一个个体的编号为9，则最后一个个体的编号为117解：由题意知，抽样间隔为1201012，抽到的第一个个体的编号
17、为9，则最后一个个体的编号为9+（101）12117故答案为：11714已知椭圆3x2+4y212的左顶点为A，上顶点为B，则|AB|解：椭圆的标准方程为：,则a24,b23,所以a2,b,则A（2,0），B（0，），所以|AB|，故噶按为：15已知实数x，y满足条件，则z2x+y的最大值为10解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），由z2x+y，得y2x+z，由图可知，当直线y2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为10故答案为：1016已知f（x）|ln（x+a）|+ex的最小值为1（e是自然对数的底数），则a解：f（x）|ln（x+a）|+ex，当x1a时，因为
18、x+a0，故f（x）0，所以函数f（x）在1a，+）上单调递增，故f（x）minf（1a）e（1a）eea，当ax1a时，令f（x）0，解得，当时，f（x）0，故f（x）在上单调递增，当时，f（x）0，故f（x）在上单调递减，所以当ax1a时，综上所述，解得故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知an为公差不为0的等差数列，且a13，a1，a4，a13成等比数列（）求an的通项公式；（）设，求数列bn的前n项和Sn解：（）设数列an的公差为d(
19、d0)，由题设可得：a42a1a13，又a13，(3+3d)23(3+12d)，解得：d2，an3+2(n1)2n+1；（）由（）可得：()，Sn(1+)(1)182020年，全球展开了某疫苗研发竞赛，我国处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如表：调查人数x300400500600700感染人数y33667（）求y与x的回归方程；（）同期，在人数均为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为
20、N；注射疫苗后仍被感染的人数记为n，估计该疫苗的有效率（疫苗的有效率为1，结果保留3位有效数字）（参考公式：+x，参考数据：109.510.009132）解：（）（300+400+500+600+700）500，0.011，y关于x的回归方程为；（）当x10000时，故N109.5，又n20，疫苗的有效率为：10.81719如图三棱柱ABCA1B1C1中，ABC和AA1C1是等边三角形E，F分别为棱AA1，AC的中点，平面AA1C1C平面A1B1C1（）若三棱柱ABCA1B1C1的体积为3，求AA1；（）在线段BF上是否存在点G，使得AG平面B1EF，证明你的结论解：（）设AA1a，三棱柱AB
21、CA1B1C1中，ABC和AA1C1是等边三角形E，F分别为棱AA1，AC的中点，平面AA1C1C平面A1B1C1，点A到平面A1B1C1的距离h，三棱柱ABCA1B1C1的体积为3，V3，解得a2，AA12（）由题意可知OB1面AA1C1，所以以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设AA12，证明如下：O（0，0，0），A（0，0，），C（0，1，0），F（0，1，），B（，1，），B1（，0，0），G（m，1，），E（0，），则，设平面B1EF的一个法向量为，则，令y1得x，z，所以，由可得m，所以0m，综上所述，线段BF上存在点G，使得AG平面B1EF20已知抛物线E：
22、x22py（p0）的焦点为F，过点F且斜率为k（k0）的动直线l与抛物线交于A，B两点，直线l过点A（x1，y1），且点F关于直线l的对称点为R（x1，1）（）求抛物线E的方程，并证明直线l是抛物线E的切线；（）过点A且垂直于l的直线交y轴于点G（0，4），求ABG的面积解：（）R（x1，1），A（x1，y1），因为点R与F关于直线l对称，A点在l上，所以|AF|AR|，由抛物线的定义可知1，解得p2，所以抛物线的方程为x24y，因为kFR，因为FRl，所以kl，因为y，y，所以A点处的切线斜率为kkl，所以l是抛物线E的切线（）设B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x0
23、，y0），因为，所以kAC，解得x3x1，设直线l为ykx+1，联立x24y，得x24kx40，所以x1+x24k，x1x24，所以x2，直线AC的方程为y（xx1），令x0，得y+2，即G点坐标为（0，+2），因为A、G、C三点共线，B、G、D三点共线，且x3x1，同理得x4x2，所以5+2+（2）5+2+（2）5+（+）5+29，当且仅当x124时，成立，所以的取值范围为9，+）21已知函数（a0，bR，e为自然对数的底数）（）当b2时，讨论f（x）的单调性；（）若f（x）在R上单调递增，求的最大值解：（）当b2时，f（x）（x2）ex（x1）2，f（x）（x2）ex+ex2（x1）（x1
24、）exa（x1）（x1）（exa），令f（x）0，得x1或xlna，当lna1时，即ae时，f（x）0，在R上恒成立，即f（x）在R上单调递增，当lna1时，即0ae时，令f（x）0得xlna或x1，令f（x）0，得lnax1，所以f（x）在（，lna），（1，+）上单调递增，在（lna，1）上单调递减当lna1时，即ae时，令f（x）0得xlna或x1，令f（x）0，得1xlna，所以f（x）在（，1），（lna，+）上单调递增，在（1，lna）上单调递减综上所述，当ae时，f（x）在R上单调递增，当0ae时，f（x）在（，lna），（1，+）上单调递增，在（lna，1）上单调递减当ae时，
25、f（x）在（，1），（lna，+）上单调递增，在（1，lna）上单调递减（）f（x）（xb）ex（xb+1）2，f（x）（xb）ex+ex2（xb+1）（xb+1）（exa），令f（x）0，得x1lna，x2b1，要使得f（x）在R上单调递增，则对任意xR，有f（x）0，即xb1时，xlna；或xb1时，xlna，即b1lna，所以，令g（x）（x0），g（x），令g（x）0，解得0xe，令g（x）0，解得xe，所以g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减，所以g（x）maxg（e），所以当ae时，的最大值为即的最大值为选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果
26、多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为：（为参数），直线l的极坐标方程为：（）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（）设A，B是曲线C与直线l的公共点，P（2，0），求|PA|PB|的值解：（）已知曲线C的参数方程为：（为参数），转换为x2+y25；直线l的极坐标方程为：，根据，转换为直角坐标方程为x+y20（）直线l的参数方程为（t为参数），代入x2+y25；得到，所以，t1t21，所以|PA|PB|t1|t2|t1+t2|2选修4-5：不等式选讲23已知f（x）|x1|+|ax+2|（a0）（）当a2时，求不等式f（x）3的解集；（）若不等式恒成立，求正数a的取值范围解：（）a2时，f（x）|x1|+|2x+2|,不等式f（x）3可化为,或,或,解得x1,或0x1,或x,所以不等式的解集为(,)(0,+)；（）当a0时，f（x），所以f（x）minminf（1），f（），又f（1）a+2，f（）+1，所以不等式恒成立，等价于f（x）min恒成立，即，解得a,综上知，不等式恒成立时，正数a的取值范围是,- 21 - 版权所有高考资源网