1、第七节双曲线最新考纲1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用1双曲线的定义(1)平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线这两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫作双曲线的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.当2a|F1F2|时，M点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)
2、1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)性质实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)双曲线中的几个常用结论(1)焦点到渐近线的距离为b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线(3)双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率e双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)(4)过双曲线的一
3、个焦点且与实轴垂直的弦的长为.(5)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上，则AB与另一个焦点F2构成的ABF2的周长为4a2|AB|.(6)双曲线的离心率公式可表示为e.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1若双曲线1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()AB5CD
4、2A由题意可知b2a，e，故选A.2以椭圆1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为 ()Ax21By21Cx21D1A设所求的双曲线方程为1(a0，b0)，由椭圆1，得椭圆焦点为(1,0)，在x轴上的顶点为(2,0)所以双曲线的顶点为(1,0)，焦点为(2,0). 所以a1，c2，所以b2c2a23，所以双曲线标准方程为x21.3若方程1表示双曲线，则m的取值范围是_(，2)(1，)因为方程1表示双曲线，所以(2m)(m1)0，即m1或m2.4已知双曲线x21上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于_6设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|4，则|PF1|PF2|2，
5、故|PF2|6或2，又双曲线上的点到焦点的距离的最小值为ca1，故|PF2|6.考点1双曲线的定义及其应用双曲线定义的主要应用(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题(1)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_(2)已知F是双曲线1的左焦点，A(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_(3)已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2_.(1)x2
6、1(x1)(2)9(3)(1)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|.因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1)(2)设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|4|PF1|，所以当|PF1|PA|最小时满足|PF|PA|最小由双曲线的图
7、像，可知当点A，P，F1共线时，满足|PF1|PA|最小，|AF1|即|PF1|PA|的最小值又|AF1|5，故所求的最小值为9.(3)因为由双曲线的定义有|PF1|PF2|PF2|2a2，所以|PF1|2|PF2|4，所以cosF1PF2.母题探究1将本例(3)中的条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260”，则F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，在F1PF2中，由余弦定理，得cosF1PF2，|PF1|PF2|8，SF1PF2|PF1|PF2|sin 602.2将本例(3)中的条件“|PF1|2|PF2|”改为“0”，则F1PF2的面积
8、是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2，0，在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，|PF1|PF2|4，SF1PF2|PF1|PF2|2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系1.虚轴长为2，离心率e3的双曲线的两焦点为F1，F2，过F1作直线交双曲线的一支于A，B两点，且|AB|8，则ABF2的周长为()A3 B16C12D24B由于2b2，e3，b1，c3a，9a2a21，a.由双曲线的定义知，|AF2|AF1|2a，|BF2|BF
9、1|，得|AF2|BF2|(|AF1|BF1|)，又|AF1|BF1|AB|8，|AF2|BF2|8，则ABF2的周长为16，故选B.2(2019洛阳模拟)已知双曲线x2y24，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1|F1P2|P1P2|的最小值是_8设双曲线的右焦点为F2，|F1P1|2a|F2P1|，|F1P2|2a|F2P2|，|F1P1|F1P2|P1P2|2a|F2P1|2a|F2P2|P1P2|8(|F2P1|F2P2|P1P2|)8(当且仅当P1，P2，F2三点共线时，取等号)，|F1P1|F1P2|P1P2|的最小值是8.考点2双曲线的标准方程求双曲线标准方程
10、的方法(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程(2)待定系数法：即“先定位，后定量”焦点位置不确定时，设Ax2By21(AB0)；与1共渐近线的设为(0)；与1共焦点的设为1(b2k0，b0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，PF1F230，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为()A.1B1C.1Dx21(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：虚轴长为12，离心率为；渐近线方程为yx，焦距为10；经过两点P(3,2)和Q(6，7)；(1)D(1)由题意可知|PF1|，|PF2|，2b2，由双曲线的定义可得2a，即ca.又b，c2a2b2，a1，双曲
11、线的标准方程为x21，故选D.(2)解 设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知，2b12，e，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.设所求双曲线方程为y2(0)，当0时，双曲线标准方程为1，c.5，5；当0)解之得双曲线方程为1.(1)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：距离之差的绝对值；2a|F1F2|；焦点所在坐标轴的位置(2)求双曲线标准方程时，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论1.(2019荆州模拟)已知双曲线C：1(a0，b0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是()Ay21B1Cx21D1C由双曲线C：1(a
12、0，b0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，可得解得双曲线C的标准方程是x21，故选C.2已知双曲线的渐近线方程为3x4y0，焦点坐标为(5,0)，则双曲线的方程为_1将3x4y0化为0，设以0为渐近线的双曲线方程为(0)，因为该双曲线的焦点坐标为(5,0)，所以16925，解得1，即双曲线的方程为1.考点3双曲线的几何性质双曲线的渐近线求双曲线的渐近线的方法求双曲线1(a0，b0)或1(a0，b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令0，得yx；或令0，得yx.反之，已知渐近线方程为yx，可设双曲线方程为(a0，b0，0)1.(2018全国卷)双曲线1(
13、a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()AyxByxCyxDyxA法一：(直接法)由题意知，e，所以ca，所以ba，即，所以该双曲线的渐近线方程为yxx.法二：(公式法)由e，得，所以该双曲线的渐近线方程为yxx.2(2019揭阳一模)已知双曲线mx2y21的一条渐近线方程为2xy0，则m的值为()AB1C2D4D因为m0，则双曲线为：y21，渐近线方程为：xy0，所以2，解得m4，故选D.3(2019郑州模拟)设F1，F2分别是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a，且PF1F2的最小内角的大小为30，则双曲线C的渐近线方程是()Axy0Bxy0C
14、x2y0D2xy0B假设点P在双曲线的右支上，则|PF1|4a，|PF2|2a.|F1F2|2c2a，PF1F2最短的边是PF2，PF1F2的最小内角为PF1F2.在PF1F2中，由余弦定理得4a216a24c224a2ccos 30，c22ac3a20，e22e30，e，c23a2，a2b23a2，b22a2，双曲线的渐近线方程为xy0，故选B.4(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x21(b0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是_yx双曲线x21(b0)经过点(3,4)，321，解得b22，即b.又a1，该双曲线的渐近线方程是yx.双曲线的离心率求双曲线的离心率或
15、其范围的方法(1)求a，b，c的值，由1直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解(1)已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，)B(1,2)C(2,1)D(1,1)(2)(2019全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则C的离心率为_(1)B(2)2(1)若ABE是锐角三角形，只需AEF45，在
16、RtAFE中，|AF|，|FE|ac，则ac，即b2a2ac，即2a2c2ac0，则e2e20，解得1e2，又e1，则1e2，故选B.(2)如图，由，得F1AAB.又OF1OF2，所以OA是三角形F1F2B的中位线，即BF2/OA，BF22OA.由0，得F1BF2B，OAF1A，则OBOF1，所以AOBAOF1，又OA与OB都是渐近线，得BOF2AOF1，又BOF2AOBAOF1，得BOF2AOF1BOA60，又渐近线OB的斜率为tan 60，所以该双曲线的离心率为e2.双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k.1.(2019衡水模拟)已知双曲线C1：1(a0，b0)，圆C2：x2y22ax
17、a20，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是()ABC(1,2)D(2，)A由双曲线方程可得其渐近线方程为yx，即bxay0，圆C2：x2y22axa20可化为(xa)2y2a2，圆心C2的坐标为(a,0)，半径ra，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得2b，即c24b2，又知b2c2a2，所以c24(c2a2)，即c2a2，所以e1，所以双曲线C1的离心率的取值范围为.2(2019济南模拟)已知双曲线E：1(a0，b0)若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_2由已知得|AB|CD|，|BC|AD|F1F2|2c.因为2|AB|3|BC|，所以6c，又b2c2a2，所以2e23e20，解得e2，或e(舍去)