1、高考资源网（） 您身边的高考专家2016-2017学年江西省南昌二中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：（大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数的共轭复数是（）ABCiDi2设U=R，A=x|2x1，B=x|log2x0，则AUB=（）Ax|x0Bx|x1Cx|0x1Dx|0x13下列选项错误的是（）A命题“若x1，则x23x+20”的逆否命题是“若x23x+2=0，则x=1”B“x2”是“x23x+20”的充分不必要条件C若命题“p：xR，x2+x+10”，则“p：x0R，x02+x0+1=0”D若“pq”为真命题，则p、
2、q均为真命题4某高三同学在七次月考考试中，数学成绩如下：90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A92，2B92，2.8C93，2D93，2.85已知tan=2则cos（2）的值为（）ABC2D6已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若，则B若mn，m，n，则C若mn，m，n，则D若mn，m，则n7执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A1B2C3D48等腰直角三角形ABC中，C=90，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P是ABC（含边界）内任意一点，则的取值范围是（）A，B，C，
3、D，9张丘建算经卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an，则a14+a15+a16+a17的值为（）A55B52C39D2610已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）AB3CD611将函数f（x）=sin2x的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2的x1、x2，有|x1x2|min=，则=（）ABCD12已知f（x）=|xex|，又g（
4、x）=f2（x）+tf（x）（tR），若满足g（x）=1的x有四个，则t的取值范围为（）A（，）B（，+）C（，2）D（2，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13幂函数f（x）=（m23m+3）x在区间（0，+）上是增函数，则m=14若直线ax+by1=0（a0，b0）过曲线y=1+sinx（0x2）的对称中心，则+的最小值为15已知在三棱锥PABC中，VPABC=，APC=，BPC=，PAAC，PBBC，且平面PAC平面PBC，那么三棱锥PABC外接球的半径为16已知函数f（x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点A（1，1），若对任意x1，9，不等式f（xt）x恒成立，则
5、所有满足条件的实数t组成的集合为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）ABC中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且cosA=（1）求sin2+cos2A的值；（2）若a=，求ABC面积的最大值18（12分）已知数列an的首项a1=，an+1=，n=1，2，3，（）证明：数列1是等比数列；（）求数列 的前n项和Sn19（12分）某校高三数学备课组为了更好的制定二轮复习的计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上学期期末数学试题中选出一些学生易错题，重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”，出了错误的同学认为“不过关”现随机抽查
6、了年级50人，他们的测试成绩的频数分布如下表：期末分数段（0，60）60，75）75，90）90，105）105，120）120，150人数510151055“过关”人数129734（1）由以上统计数据完成如下22列联表，并判断是否有95%的把握认为期末数学成绩不低于90分与测试“过关”是否有关？说明你的理由分数低于90分人数分数不低于90分人数合计过关人数不过关人数合计（2）在期末分数段105，120）的5人中，从中随机选3人，记抽取到过关测试“过关”的人数为X，求X的分布列及数学期望下面的临界值表供参考：P（K2k）0.150.100.050.025k2.0722.7063.8415.02
7、420（12分）在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO丄侧面ABB1A1（）证明：BCAB1；（）若OC=OA，求三棱锥B1ABC的体积21（12分）动圆P过点M（1，O），且与圆N：x2+y22x15=0内切，记圆心P的轨迹为曲线（ 1）求曲线的方程；（2）过点M且斜率大于0的直线l与圆P相切，与曲线交于A，B两点，A的中点为Q若点Q的横坐标为，求圆P的半径r22（12分）已知函数f（x）=x2+mlnx+x（1）求f（x）的单调区间；（2）令g（x）=f（x）x2，试问过点P（1，3）存在多少条直线与曲线y=g
8、（x）相切？并说明理由2016-2017学年江西省南昌二中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1复数的共轭复数是（）ABCiDi【考点】复数代数形式的混合运算【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，bR）的形式，然后求出共轭复数，即可【解答】解：复数=i，它的共轭复数为：i故选C【点评】本题是基础题，考查复数代数形式的混合运算，共轭复数的概念，常考题型2设U=R，A=x|2x1，B=x|log2x0，则AUB=（）Ax|x0Bx|x1Cx|0x1
9、Dx|0x1【考点】交、并、补集的混合运算【分析】利用对数函数的性质，求出集合B中不等式的解集，确定出集合B，利用指数函数的性质确定出集合B，由全集U=R，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分，即可确定出所求的集合【解答】解：易知A=x|x0，B=x|x1，则ACUB=x|0x1，故选C【点评】此题属于以其他不等式的解法为平台，考查了交、并、补集的混合运算，是高考中常考的基本题型3下列选项错误的是（）A命题“若x1，则x23x+20”的逆否命题是“若x23x+2=0，则x=1”B“x2”是“x23x+20”的充分不必要条件C若命题“p：xR，x2+x+10”，则“p：x0R，x02+x0+1
10、=0”D若“pq”为真命题，则p、q均为真命题【考点】命题的真假判断与应用【分析】A根据逆否命题的定义进行判断B根据充分条件和必要条件的定义进行判断C根据含有量词的命题的否定进行判断D根据复合命题真假关系进行判断【解答】解：A命题“若x1，则x23x+20”的逆否命题是“若x23x+2=0，则x=1”，故A正确，B由x23x+20得x2或x1，即“x2”是“x23x+20”的充分不必要条件，故B正确，C若命题“p：xR，x2+x+10”，则“p：x0R，x02+x0+1=0”，故C正确，D若“pq”为真命题，p、q至少有一个为真命题，故D错误，故选：D【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及的
11、知识点较多，但难度不大4某高三同学在七次月考考试中，数学成绩如下：90 89 90 95 93 94 93 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（）A92，2B92，2.8C93，2D93，2.8【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数【分析】根据所给的条件，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分95和一个最低分89后，把剩下的五个数字求出平均数和方差【解答】解：由题意知，去掉一个最高分95和一个最低分89后，所剩数据90，90，93，94，93的平均数为=（90+90+93+94+93）=92，方差S2= （9092）2+（9092）2+（9392）2+
12、（9492）2+（9392）2=2.8，故选：B【点评】本题考查用样本的平均数、方差，属基础题，熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键5已知tan=2则cos（2）的值为（）ABC2D【考点】三角函数的化简求值【分析】利用诱导公式可化简cos（2）=cos（2）=sin2，再利用二倍角公式将“弦”化“切”，将tan=2代入即可得到答案【解答】解：tan=2，cos（2）=cos（2）=sin2=，故选：B【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，“弦”化“切”是关键，属于中档题6已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若，则B若mn，m，n，
13、则C若mn，m，n，则D若mn，m，则n【考点】平面与平面之间的位置关系【分析】在A中，与相交或平行；在B中，与相交或平行；在C中，由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得；在D中，n或n【解答】解：由m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，知：若，则与相交或平行，故A错误；若mn，m，n，则与相交或平行，故B错误；若mn，m，n，则由线面垂直的性质定理和面面平行的判定定理得，故C正确；若mn，m，则n或n，故D错误故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用7执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A1B2C3D4【
14、考点】程序框图【分析】根据程序框图的功能是求S=1log34log45log56log67log78log89判断终止程序运行的k值，利用对数换底公式求得S值【解答】解：由程序框图得：第一次运行S=1log34，k=4；第二次运行S=1log34log45，k=5；第三次运行S=1log34log45log56，k=6；直到k=9时，程序运行终止，此时S=1log34log45log56log67log78log89=，故选B【点评】本题考查了循环结构的程序框图，判断程序框图的运行功能是关键8等腰直角三角形ABC中，C=90，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P是ABC（含边界）
15、内任意一点，则的取值范围是（）A，B，C，D，【考点】平面向量数量积的运算【分析】选择合适的原点建立坐标系，分别给出动点（含参数）和定点的坐标，结合向量内积计算公式进行求解【解答】解：以C为坐标原点，CA边所在直线为x轴，建立直角坐标系，则A（1，0），B（0，1），设P（x，y），则且=（1，），=（x，y），则=x+y+，令t=x+y+，结合线性规划知识，则y=2x+2t当直线t=x+y+经过点A（1，0）时， 有最小值，将（1，0）代入得t=，当直线t=x+y+经过点B时， 有最大值，将（0，1）代入得t=，则的取值范围是，故选：A【点评】本题考查的知识点是平面向量的数量积运算及线性规划
16、，处理的关键是建立恰当的坐标系，求出各点、向量的坐标，利用平面向量的数量积公式，将其转化为线性规划问题，再利用“角点法”解决问题9张丘建算经卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an，则a14+a15+a16+a17的值为（）A55B52C39D26【考点】等差数列的前n项和【分析】设从第2天开始，每天比前一天多织d尺布，由等差数列前n项和公式求出d=，由此利用等差数列通项公式能求出a14+a15
17、+a16+a17【解答】解：设从第2天开始，每天比前一天多织d尺布，则=390，解得d=，a14+a15+a16+a17=a1+13d+a1+14d+a1+15d+a1+16d=4a1+58d=45+58=52故选：B【点评】本题考查等差数列的四项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用10已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）AB3CD6【考点】由三视图求面积、体积【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为： =3故选B【点
18、评】本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力11将函数f（x）=sin2x的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2的x1、x2，有|x1x2|min=，则=（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为，函数的图象向右平移（0）个单位后得到函数g（x）的图象若对满足|f（x1）g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）
19、在x2=，取得最小值，sin（22）=1，此时=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（22）=1，此时=，满足题意故选：D【点评】本题考查三角函数的图象平移，函数的最值以及函数的周期的应用，考查分析问题解决问题的能力，是好题，题目新颖有一定难度，选择题，可以回代验证的方法快速解答12已知f（x）=|xex|，又g（x）=f2（x）+tf（x）（tR），若满足g（x）=1的x有四个，则t的取值范围为（）A（，）B（，+）C（，2）D（2，）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】做出函数f（x）=|xex|的图象，根据图象可判断在（，+）上可有一个跟，在（0，）上可
20、有三个根，根据二次函数的性质可得出y（）0，求解即可【解答】解：g（x）=1的x有四个，f2（x）+tf（x）1=0有4个根，f（x）=|xex|的图象如图：在x0时，有最大值f（1）=，故要使有四个解，则f2（x）+tf（x）1=0一根在（0，）中间，一根在（，+），y（）0，+t+10，t1，te=，故选：A【点评】考查了抽象函数的理解和利用数学结合的思想求解问题难点是对函数图象的理解二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13幂函数f（x）=（m23m+3）x在区间（0，+）上是增函数，则m=2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】根据幂函数的定义求出m的值，判断即
21、可【解答】解：若幂函数在区间（0，+）上是增函数，则由m23m+3=1解得：m=2或m=1，m=2时，f（x）=x，是增函数，m=1时，f（x）=1，是常函数，故答案为：2【点评】本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是一道基础题14若直线ax+by1=0（a0，b0）过曲线y=1+sinx（0x2）的对称中心，则+的最小值为3+2【考点】基本不等式【分析】由正弦函数的性质可求y=1+sinx（0x2）的对称中心，代入直线方程可求a+b=1，而+=（）（a+b），展开利用基本不等式可求最小值【解答】解，由正弦函数的性质可知，曲线y=1+sinx（0x2）的对称中心为（1，1）a+b=1
22、则+=（）（a+b）=3+=3+2最小值为故答案为：3+2【点评】本题主要考查了正弦函数的性质及基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题15已知在三棱锥PABC中，VPABC=，APC=，BPC=，PAAC，PBBC，且平面PAC平面PBC，那么三棱锥PABC外接球的半径为2【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【分析】利用等体积转换，求出PC，PAAC，PBBC，可得PC的中点为球心，球的半径【解答】解：由题意，设PC=2x，则PAAC，APC=，APC为等腰直角三角形，PC边上的高为x，平面PAC平面PBC，A到平面PBC的距离为x，BPC=，PAAC，PBBC，PB=x，BC=x，SP
23、BC=，VPABC=VAPBC=x=，x=2，PAAC，PBBC，PC的中点为球心，球的半径为2故答案为：2【点评】本题考查三棱锥PABC外接球的体积，考查学生的计算能力，正确确定球心与球的半径是关键16已知函数f（x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点A（1，1），若对任意x1，9，不等式f（xt）x恒成立，则所有满足条件的实数t组成的集合为4【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，由切线方程得到a，b的方程，即可得到f（x）的表达式，则不等式f（xt）x即为（xt+1）2x，由于任意的x1，9，则有|xt+1|2，即有2x1t2x，分别求出两边的最值
24、，令1t不大于最小值且不小于最大值，解出即可得到【解答】解：函数f（x）=ax2+bx+的导数为f（x）=2ax+b，由于函数f（x）=ax2+bx+与直线y=x相切于点A（1，1），则2a+b=1，且a+b+=1，解得a=，b=，即有f（x）=x2+x+即为f（x）=（x+1）2，不等式f（xt）x即为（xt+1）2x，由于任意的x1，9，则有|xt+1|2，即有2x1t2x，令=m1，3，则2x=2mm2=（m1）2+13，1，2x=2mm2=（m+1）2+115，3，则有31t3，即有1t=3，即t=4故答案为：4【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查不等式的恒成立问题转化为求函数
25、最值问题，注意运用参数分离，属于中档题三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）（2016春忻州校级期末）ABC中，角A，B，C所对边分别是a、b、c，且cosA=（1）求sin2+cos2A的值；（2）若a=，求ABC面积的最大值【考点】余弦定理的应用【分析】（1）利用诱导公式及二倍角的余弦公式对式子化简，代入即可得到所求值；（2）运用余弦定理和面积公式，结合基本不等式，即可得到最大值【解答】解：（1）sin2+cos2A=sin2+2cos2A1=cos2+2cos2A1=+2cos2A1=+21=；（2）cosA=，可得sinA=，由余弦
26、定理可得a2=b2+c22bccosA=b2+c2bc2bcbc=bc，即有bca2=，当且仅当b=c=，取得等号则ABC面积为bcsinA=即有b=c=时，ABC的面积取得最大值【点评】本题考查三角函数的化简和求值，注意运用诱导公式和二倍角公式，考查三角形的余弦定理和面积公式，以及基本不等式的运用，属于中档题18（12分）（2016晋中模拟）已知数列an的首项a1=，an+1=，n=1，2，3，（）证明：数列1是等比数列；（）求数列 的前n项和Sn【考点】数列的求和；等比关系的确定【分析】（）由an+1=，可得，即可证明数列1是等比数列；（）分组，再利用错位相减法，即可求出数列的前n项和Sn
27、【解答】（）证明：，又，数列是以为首项，为公比的等比数列（）解：由（）知1=，即，设，则，由得，又1+2+3+，数列的前n项和【点评】本题考查等比数列的证明，考查数列求和，考查错位相减法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（12分）（2016春吉安校级月考）某校高三数学备课组为了更好的制定二轮复习的计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上学期期末数学试题中选出一些学生易错题，重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过关”，出了错误的同学认为“不过关”现随机抽查了年级50人，他们的测试成绩的频数分布如下表：期末分数段（0，60）60，75）75，90）90，105）105，
28、120）120，150人数510151055“过关”人数129734（1）由以上统计数据完成如下22列联表，并判断是否有95%的把握认为期末数学成绩不低于90分与测试“过关”是否有关？说明你的理由分数低于90分人数分数不低于90分人数合计过关人数121426不过关人数18624合计302050（2）在期末分数段105，120）的5人中，从中随机选3人，记抽取到过关测试“过关”的人数为X，求X的分布列及数学期望下面的临界值表供参考：P（K2k）0.150.100.050.025k2.0722.7063.8415.024【考点】独立性检验【分析】（1）依题意求出a、b、c、d的值，填写列联表；计算
29、观测值K2，对照数表得出概率结论；（2）求出在期末分数段105，120）的5人中随机选3人，“过关”人数X的分布列与数学期望值【解答】解：（1）依题意得，a=12，b=18，c=14，d=6，填写列联表如下；分数低于9（0分）人数分数高于9（0分）人数合计过关人数 12 14 26不过关人数 18 6 24合计 30 20 50计算观测值K2=4.3273.841，对照数表知，有95%的把握认为期末数学成绩不低于90（分）与测试“过关”有关；（2）在期末分数段105，120）的5人中，有3人 测试“过关”，随机选3人，抽取到过关测试“过关”的人数为X的可能取值为1、2、3，则P（X=1）=，P
30、（X=2）=，P（X=3）=；所以，X的分布列为：X123PX的数学期望为E（X）=1+2+3=1.8【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是综合性题目20（12分）（2013甘肃三模）在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO丄侧面ABB1A1（）证明：BCAB1；（）若OC=OA，求三棱锥B1ABC的体积【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（）要证明BCAB1，可证明AB1垂直于BC所在的平面BCD，已知CO垂直于侧面ABB1A1，所以C
31、O垂直于AB1，只要在矩形ABB1A1内证明BD垂直于AB1即可，可利用角的关系加以证明；（）求三棱锥B1ABC的体积，可转化为求三棱锥CABB1 的体积，在RtABD中，可求得BD的值和OA的值，从而三棱锥的体积可求【解答】（）证明：如图，因为ABB1A1是矩形，D为AA1中点，AB=1，AD=，所以在直角三角形ABB1中，在直角三角形ABD中，所以AB1B=ABD，又，所以在直角三角形ABO中，故BOA=90，即BDAB1，又因为CO侧面ABB1A1，AB1侧面ABB1A1，所以COAB1所以，AB1面BCD，BC面BCD，故BCAB1（）解：在RtABD中，可求得，=【点评】本题考查了直
32、线与平面垂直的性质，考查了利用等积法求棱锥的体积，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题21（12分）（2016莆田一模）动圆P过点M（1，O），且与圆N：x2+y22x15=0内切，记圆心P的轨迹为曲线（ 1）求曲线的方程；（2）过点M且斜率大于0的直线l与圆P相切，与曲线交于A，B两点，A的中点为Q若点Q的横坐标为，求圆P的半径r【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）求出圆心N（1，0），半径r=4，设圆心P（x，y），由椭圆定义得点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为4，短轴长为2的椭圆，由此能求出曲线的方程（2）设直线l的方程为y=k（x+1），k0，联立，得（3+4k2
33、）x2=8k2x+4k212=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式、直线与圆相切的性质，结合已知能求出圆P的半径【解答】解：（1）圆N：x2+y22x15=0的方程可化为（x1）2+y2=16，圆心N（1，0），半径r=4，设圆心P（x，y），圆P过点M，圆P半径为|PM|，又圆P与圆N内切，|PN|=4|PM|，即|PM|+|PN|=4，又|MN|=24，由椭圆定义得：点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为4，短轴长为2的椭圆，曲线的方程为： +=1（2）依题意设直线l的方程为y=k（x+1），k0，联立，得（3+4k2）x2=8k2x+4k212=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
34、AB的中点Q的横坐标xQ=，由=，解得k=或k=（舍），直线l与圆P相切于点M，圆心P在直线y=（x+1）上，由，得5x2+8x=0，解得x=0或x=，圆心P（0，）或P（，），当圆心P（0，）时，r2=（0+1）2+（）2=4，即r=2，当圆心P（，）时，r2=（+1）2+（）2=，即r=圆P的半径r为2或【点评】本题考查曲线与方程、圆与圆的关系、直线与圆和椭圆的位置关系、椭圆的定义及标准方程等基础知识，考查推理论能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想、数形结合思想等22（12分）（2016泰安二模）已知函数f（x）=x2+mlnx+x（1）求f（x）的单调区
35、间；（2）令g（x）=f（x）x2，试问过点P（1，3）存在多少条直线与曲线y=g（x）相切？并说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，解关于导函数的不等式，从而得到函数的单调区间；（2）设切点为（x0，x0+mlnx0），求出切线斜率K，求出切线方程，切线过点P（1，3），推出关系式，构造函数g（x）（x0），求出导函数，通过讨论当m0时，判断g（x）单调性，说明方程g（x）=0无解，切线的条数为0，当m0时，类比求解，推出当m0时，过点P（1，3）存在两条切线，当m=0时，f（x）=x，说明不存在过点P（1，3
36、）的切线【解答】解：（1）f（x）=x2+mlnx+x，（x0），f（x）=x+1=，m0时，f（x）0，函数在（0，+）递增，m0时，令f（x）0，解得：x，令f（x）0，解得：x，f（x）在（0，）递减，在（，+）递增；（2）设切点为（x0，x0+mlnx0），则切线斜率k=1+，切线方程为y（x0+alnx0）=（1+）（xx0）因为切线过点P（1，3），则3（x0+alnx0）=（1+）（1x0）即m（lnx0+1）2=0 令g（x）=m（lnx+1）2（x0），则 g（x）=m（）=，当m0时，在区间（0，1）上，g（x）0，g（x）单调递增；在区间（1，+）上，g（x）0，g（x）
37、单调递减，所以函数g（x）的最大值为g（1）=20故方程g（x）=0无解，即不存在x0满足式因此当m0时，切线的条数为0当m0时，在区间（0，1）上，g（x）0，g（x）单调递减，在区间（1，+）上，g（x）0，g（x）单调递增，所以函数g（x）的最小值为g（1）=20取x1=e1+e，则g（x1）=a（1+e11）2=ae10故g（x）在（1，+）上存在唯一零点取x2=e1，则g（x2）=m（1+e1+1）2=me1+2m4=me1+2（1+）设t=1+（t1），u（t）=et2t，则u（t）=et2当t1时，u（t）=et2e20恒成立所以u（t）在（1，+）单调递增，u（t）u（1）=e20恒成立，所以g（x2）0故g（x）在（0，1）上存在唯一零点因此当m0时，过点P（1，3）存在两条切线当m=0时，f（x）=x，显然不存在过点P（1，3）的切线高考资源网版权所有，侵权必究！