1、第二节两条直线的位置关系最新考纲1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1l2k1k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1l2k1k21.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1l2.2两条直线的交点的求法直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC
2、20(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解3三种距离公式(1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|.特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|.(2)点P(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离为d.由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程l1与l2l1：A1xB1yC10(AB0) l2：A2xB2yC20(AB0)垂直的充要条件A1A2B1B20平行的充分条件(A2B2C20)相交的充分条件(A2B20)重合的充分条件(A2B2C
3、20)一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3) 若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()(4) 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()答案(1)(2)(3) (4)二、教材改编1已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()A.B.2C.1D.1C由题意得1，即|a1|，又a0，a1.2已知P(2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m_.1由题意知1，所以m42m，所以m1.3若三条直线y
4、2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值为_9由得所以点(1,2)满足方程mx2y50，即m12250，所以m9.4已知直线3x4y30与直线6xmy140平行，则它们之间的距离是_2由两直线平行可知，即m8.两直线方程分别为3x4y30和3x4y70，则它们之间的距离d2.考点1两条直线的位置关系解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想” 1.设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件A当a1时，显然l1l2，若l1l2，则a(a1)210，所以a1或a2.所以a1是直线l1
5、与直线l2平行的充分不必要条件2若直线l1：(a1)xy10和直线l2：3xay20垂直，则实数a的值为()A. B.C. D.D由已知得3(a1)a0，解得a.3已知三条直线l1：2x3y10，l2：4x3y50，l3：mxy10不能构成三角形，则实数m的取值集合为()A. B.C. D.D三条直线不能构成一个三角形，当l1l3时，m；当l2l3时，m；当l1，l2，l3交于一点时，也不能构成一个三角形，由得交点为，代入mxy10，得m.故选D.直接运用“直线A1xB1yC10，A2xB2yC20平行与垂直的充要条件解题”可有效避免不必要的参数讨论考点2两条直线的交点与距离问题(1)求过两直
6、线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程(2)点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等(1)求经过两条直线l1：xy40和l2：xy20的交点，且与直线2xy10垂直的直线方程为_ (2)直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4,5)的距离相等，则直线l的方程为_(1)x2y70(2)x3y50或x1(1)由得l1与l2的交点坐标为(1,3)设与直线2xy10垂直的直线方程为x2yc0，则123c0，c7.所求直线方程为x2y70.(2)当直
7、线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意1.直线系方程的常见类型(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：yy0k(xx0)(k是参数，直线系中未包括直线xx0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线AxByC0的直线系方程是：AxBy0(是参数且C)；(3)垂直于已知直线AxByC0的直线系方程是：BxAy0(是参数)；(4)过两条已知直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程是：A1
8、xB1yC1(A2xB2yC2)0(R，但不包括l2)2动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在以两定点为端点的线段的垂直平分线上，从而简化计算教师备选例题1已知三角形三边所在的直线方程分别为：2xy40，xy70,2x7y140，求边2x7y140上的高所在的直线方程解设所求高所在的直线方程为2xy4(xy7)0，即(2)x(1)y(47)0，可得(2)2(1)(7)0，解得，所以所求高所在的直线方程为7x2y190.2求过直线2x7y40与7x21y10的交点，且和A(3,1)，B(5,7)等距离的直线方程解设所求直线方程为2x7y4(7x21y1)0，即(
9、27)x(721)y(4)0，由点A(3,1)，B(5,7)到所求直线等距离，可得，整理可得|433|11355|，解得或，所以所求的直线方程为21x28y130或x1.1.当0k时，直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限B由得又0k，x0，故直线l1：kxyk1与直线l2：kyx2k的交点在第二象限2若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为()A. B.C. D.C因为，所以两直线平行，将直线3x4y120化为6x8y240，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最
10、小值为.考点3对称问题中心对称问题中心对称问题的解法(1)点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P(x，y)满足(2)线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_x4y40设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.点关于点的对称问题常常转化为中心对称问题，利用中点坐标公式求解若直线l1：yk(x4)与直
11、线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点()A(0,4) B(0,2)C(2,4) D(4，2)B直线l1：yk(x4)恒过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)又由于直线l1：yk(x4)与直线l2关于点(2,1)对称，故直线l2恒过定点(0,2)轴对称问题轴对称问题的解法(1)点关于线：点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则有(2)线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决(1)已知直线y2x是ABC中角C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(4,2)，(3,1)，则点C的坐标为()A(2,4) B(2，4)C(2
12、,4) D(2，4)(2)已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为_(1)C(2)6xy60(1)设A(4,2)关于直线y2x的对称点为(x，y)，则解得BC所在直线方程为y1(x3)，即3xy100.联立解得则C(2,4)(2)设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0.即M (1,0)又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，
13、由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解1.若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn_.由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故mn.2已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A对称的直线l的方程解(1)设A(x，y)，则解得即A.(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m上设对称点为M(a，b)，则解得即M.设m与l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.(3)法一：在l：2x3y10上任取两点，如P(1,1)，N(4,3)，则P，N关于点A的对称点P，N均在直线l上易知P(3，5)，N(6，7)，由两点式可得l的方程为2x3y90.法二：设Q(x，y)为l上任意一点，则Q(x，y)关于点A(1，2)的对称点为Q(2x，4y)，Q在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.