1、2013 届高三数学章末综合测试题（5）三角函数、解三角形 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 1已知角 的终边过点 P(8m，6sin30)，且 cos45，则 m 的值为()A12 B.12 C 32 D.32解析：|OP|64m29，且 cos8m64m2945，m0，且 64m264m29162545，m12.答案：B2已知扇形的周长为 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是()A1 B4 C1 或 4 D2 或 4解析：设扇形的圆心角为 rad，半径为 R，则2RR6，12R22，解得 1，或 4.答案：C3已知函数 f(x)sinx3(0
2、)的最小正周期为，则该函数图像()A关于直线 x4对称B关于点(3，0)对称C关于点(4，0)对称D关于直线 x3对称解析：T，2.当 x4时，f(x)12；当 x3时，f(x)0，图像关于(3，0)中心对称.答案：B4要得到函数 ycos2x 的图像，只需将函数 ycos2x3 的图像()A向右平移6个单位B向右平移3个单位C向左平移3个单位D向左平移6个单位解析：由 cos2xcos2x33 cos2x6 3知，只需将函数 ycos2x3 的图像向左平移6个单位.答案：D5若 2a 3sin2cos2，则实数 a 的取值范围是()A.0，12B.12，1C.1，12D.12，0解析：3si
3、n2cos22sin26，又342656，12sin26 2，即 12a 2，0a12.答案：A6函数 y3sin2x6(x0，)的单调递增区间是()A.0，512B.6，23C.6，1112D.23，1112解析：y3sin2x6，由 2k22x62k32，kZ，得k6xk23，kZ.又 x0，k0.此时 x6，23.答案：B7已知 tan12，tan()25，那么 tan(2)的值是()A 112B.112C.322D.318解析：tan(2)tan()tantan()1tantan()122511225 112.答案：B8定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若 f(x)
4、的最小正周期为，且当x0，2 时，f(x)sinx，则 f53 的值为()A12B.12C 32D.32解析：f53 f53 2 f3 f 3 sin3 32.答案：D9已知 cos4 cos4 14，则 sin4cos4 的值等于()A.34B.56C.58D.32解析：由已知，得 sin4 cos4 14，即12sin22 14，cos212.sin221 12234。则 sin4cos412sin2cos2112sin2213858.答案：C10已知、为锐角，且 sin 55，sin 1010，则()A34B.4或34C.34D.4解析：、为锐角，且 sin 55，sin 1010，co
5、s2 55，cos3 1010，且(0，)，cos()coscossinsin6 5050 5050 5 5050 22，4.答案：D11在ABC 中，cos2B2ac2c(a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边)，则ABC 的形状为()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析：cos2B2ac2c，2cos2B21acc 1，cosBac，a2c2b22acac，c2a2b2，故ABC 为直角三角形答案：B12在沿海某次台风自然灾害中，台风中心最大风力达到 10 级以上，大风降雨给沿海地区带为严重的灾害，不少大树被大风折断，某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成
6、45角，树干也倾斜为与地面成 75角，树干底部与树尖着地处相距 20 米，则折断点与树干底部的距离是()A.20 63米B10 6米C.10 63米D20 2米解析：设折断点与树干底部的距离为 x 米则xsin4520sin(1807545)20sin60，x20sin45sin6020 23 20 63(米).答案：A二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分13若4是函数 f(x)sin2xacos2x(aR，且为常数)的零点，则 f(x)的最小正周期是_解析：由题意，得 f 4 sin2acos240，112a0，a2.f(x)sin2x2cos2xsin2xcos2
7、x1 2sin2x4 1，f(x)的最小正周期为.答案：14在ABC 中，tanAtanB 3 3tanAtanB.sinAcosB 34，则ABC 的形状为_解析：tanAtanB 3(tanAtanB1)，tan(AB)tanAtanB1tanAtanB 3，tanC 3，又 C(0，)，C3.sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB 32，cosAsinB 34，sinAcosBcosAsinB，sin(AB)0，AB.ABC 为正三角形答案：正三角形15若将函数 ytanx4(0)的图像向右平移6个单位后，与函数 ytanx6 的图像重合，则 的最小值为_解析：由已知，得
8、 tanx6 4 tanx64 tanx6，得46k6(kZ)，6k12(kZ)0，当 k0 时，的最小值为12.答案：1216给出下列命题：半径为 2，圆心角的弧度数为12的扇形面积为12；若、为锐角，tan()12，tan13，则 24；若 A、B 是ABC 的两个内角，且 sinAsinB，则 BCAC；若 a、b、c 分别是ABC 的三个内角 A、B、C 的对边，且 a2b2c20，则ABC是钝角三角形其中真命题的序号是_解析：中，S 扇形12R21212221，不正确中，由已知可得 tan(2)tan()tan()tan1tan()tan1312113121，又、为锐角，tan()1
9、20，02.又由 tan131，得 04，0234，24.正确中，由 sinAsinBBC2RAC2R(2R 为ABC 的外接圆半径)BCAC.正确中，由 a2b2c20 知，cosC0，C 为钝角，ABC 为钝角三角形正确答案：三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17(10 分)已知 sin 55，tan13，且、2，0.(1)求 的值；(2)求 2sin4 cos4 的值解析：(1)sin 55，2，0，cos2 55.tan12，tan()tantan1tantan1.又0，4.(2)由(1)知，4，2sin4 cos4 2sin4 cos44 2sin4 cos2cossin2
10、2 55 55 5.18(12 分)已知、为锐角，向量 a(cos，sin)，b(cos，sin)，c12，12.(1)若 ab 22，ac 314，求角 2 的值；(2)若 abc，求 tan 的值解析：(1)ab(cos，sin)(cos，sin)coscossinsincos()22.ac(cos，sin)12，1212cos12sin 314.又02，02，22.由得 4，由得 6.、为锐角，512.从而 223.(2)由 abc，可得coscosa12，sinsin12.22，得 cossin12.2sincos34.又2sincos 2sincossin2cos2 2tantan2
11、134，3tan28tan30.又 为锐角，tan0，tan8 8243368 2864 73.19(12 分)已知函数 f(x)Asin(x)A0，0，22 一个周期的图像如图所示(1)求函数 f(x)的表达式；(2)若 f()f3 2425，且 为ABC 的一个内角，求 sincos 的值解析：(1)由图知，函数的最大值为 1，则 A1，函数 f(x)的周期为 T4126.而 T2，则 2.又 x6时，y0，sin26 0.而22，则 3.函数 f(x)的表达式为 f(x)sin2x3.(2)由 f()f3 2425，得sin23 sin23 2425，化简，得 sin22425.(sin
12、cos)21sin24925.由于 0，则 022，但 sin224250，则 02，即 为锐角，从而 sincos0，因此 sincos75.20(12 分)在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 bcosC3acosBccosB.(1)求 cosB 的值(2)若BABC2，b2 2，求 a 和 c.解析：(1)ABC 中，bcosC3acosBccosB，由正弦定理，得 sinBcosC3sinAcosBsinCcosB，sinBcosCsinCcosB3sinAcosB，sin(BC)sinA3sinAcosB.sinA0，cosB13.(2)BABCaccosB1
13、3ac2，ac6.b28a2c22accosBa2c24，a2c212，a22acc20，即(ac)20，ac 6.21(12 分)已知ABC 是半径为 R 的圆的内接三角形，且 2R(sin2Asin2C)(2ab)sinB.(1)求角 C；(2)试求ABC 面积 S 的最大值解析：(1)由 2R(sin2Asin2C)(2ab)sinB，两边同乘以 2R，得(2RsinA)2(2RsinC)2(2ab)2RsinB，根据正弦定理，得 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，a2c2(2ab)b，即 a2b2c2 2ab.再由余弦定理，得 cosCa2b2c22ab 22，又 0C，
14、C4.(2)C4，AB34.S12absinC 24(2RsinA)(2RsinB)2R2sinAsinB 2R2sinAsin34A 22 R2sin2A4 12R2，当 2A42，即 A38 时，S 有最大值12 22 R2.22(12 分)如图，某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道赛道的前一部分为曲线段 OSM，该曲线段为函数 yAsinx(A0，0)，x0,4的图像，且图像的最高点为 S(3,2 3)；赛道的后一部分为折线段 MNP.为保证参赛运动员的安全，限定MNP120.(1)求 A，的值和 M，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道 MNP 最长？解析：方法一：(1)依题意，故 NP+MN10 33sin10 33sin(60)10 33 12sin32cos10 33sin(60)060，当 30时，折线段赛道 MNP 最长即将PMN 设计为 30时，折线段赛道 MNP 最长方法二：(1)同方法一；(2)在MNP 中，MNP120，MP5，由余弦定理，得MN2NP22MNNPcosMNPMP2，即 MN2NP2MNNP25.故(MNNP)225MNNPMNNP22，从而34(MNNP)225，即 MNNP10 33，当且仅当 MNNP 时等号成立即设计为 MNNP 时，折线段赛道 MNP 最长