1、华中师大一附中2017-2018学年度上学期高三年级期中检测数学（理）试题第I卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知复数，则下列命题中正确的个数为 的虚部为 在复平面上对应点在第一象限A1 B2 C3 D4 2下列函数为偶函数且在(0，)上为增函数的是A BC D3已知集合，集合，则集合且为A B C D4下列说法正确的是A“，若，则且”是真命题B在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称C命题“，使得”的否定是“，都有”第5题图D，“ ”是“”的充分不必要条件5如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为 A B C1 D36九
2、章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈（1匹=尺，一丈=尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织尺，一月织了七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有天，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为A B C D7若，则的值为A B C D8某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数），若该食品在0的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是()小时A B
3、 C D 第9题图9已知函数的部分图像如所示，为了得到的图像需将的图像A向右平移个单位长度 B向左平移个单位长度 C向右平移个单位长度 D向左平移个单位长度10已知定义在上的偶函数，满足，且时，则方程在区间上根的个数是A B C D11在和中，是的中点，若，则与的夹角的余弦值为A B C D 12设函数（其中为自然对数的底数）恰有两个极值点，则下列说法中正确的是A B C D 第II卷二、填空题（每题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13函数的单调递增区间是_14已知向量，且，则 15已知数列的通项公式为，当 取得最大值时，的值为_16若函数满足（其中），则称函数为“中心对称函数”，称点为函
4、数的“中心点”现有如下命题：函数是“中心对称函数”；若“中心对称函数”在上的“中心点”为，则函数是上的奇函数；函数是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为；函数是“中心对称函数”，且它的“中心点”一定为其中正确的命题是_ _（写出所有正确命题的序号）三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（本小题满分10分）已知向量，函数（）求的对称中心；（）求函数在区间上的最大值和最小值，并求出相应的值18（本小题满分12分)已知函数()（）当时，若方程0有解，求实数的取值范围；（）试讨论的奇偶性19(本小题满分12分)已知数列，为数列的前项和，且满足，（）（）
5、求数列的通项公式；（）试问能否为等差数列，请说明理由；（III）若数列的通项公式为，令为的前项的和，求20（本小题满分12分)已知函数（，为自然对数的底数）（）讨论函数的单调性；（）若，函数在上为增函数，求实数的取值范围21(本小题满分12分)如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地，其中物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖，其中都在边上（不与重合，在之间），且（）若在距离点处，求点之间的距离；第21题图 （）为节省投入资金，三角形人工湖的面积要尽可能小试确定的位置，使的面积最小，并求出最小面积22（本小题满分12分）已知数列满足（）设，证明：；（）证明：（为自然对数底数）；（）设 ，试比较与
6、与的大小关系，并说明理由 1 C 2 D 3 D 4 B 第6题图5 A 6 B 7 C 8 C 9 A 10 B 11 B 12 C 第II卷二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13 或 14 15 16三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 解：（I）因为= 4分 所以的对称中心为 5分 （II）由（I）得，=， 7分因为，所以，所以当时，即时，的最大值是； 当时，即时，的最小值是 10分18（本小题满分12分)解：（）由， 6分（）依题意得定义域为,关于原点对称 ，令，得，即，对一切恒成立时，此时函数是偶函数9分，函数不是奇函数，综
7、上，当时，函数是偶函数；当时，函数是非奇非偶函数 12分19、(本小题满分12分)解：（）当时，当时，由，得：，则，综上，是公比为2，首项为2的等比数列，；3分（）是等差数列，理由如下：，综上，是公差为1，首项为1的等差数列，且；7分（）令 -，得： 所以 12分20（本小题满分12分)解：（）函数的定义域为，当时，在上为增函数；当时，由得，当时，函数在上为减函数，当时，函数在上为增函数4分（）当时，在上为增函数；在上恒成立，即在上恒成立， 6分令，则，令，在上恒成立，即在上为增函数，即，即在上为增函数，所以实数的取值范围是 12分21(本小题满分12分)解：（）在中，因为，所以，在中，由余弦
8、定理得：，所以，所以，在中，在中，由，得； 6分（）解法1：设 ，在中，由，得，在中，由，得，所以 当，即时，的最小值为所以应设计，可使OMN的面积最小，最小面积是km212分解法2：设AMx，0x3在OAM中，由余弦定理得OM2AO2AM22AOAMcosAx23x9，所以OM，所以cosAOM，在OAN中，sinONAsin(AAON) sin(AOM90)cosAOM，由，得ON，所以SOMNOMONsinMON，0x3，令6xt，则x6t，3t6，则：SOMN(t9)(29)当且仅当t，即t3，x63时等号成立，SOMN的最小值为，所以M的位置为距离A点63 km处，可使OMN的面积最小，最小面积是 km222（本小题满分12分）解：（）即证：，即证：，设，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，（当且仅当时等号成立），即时，有， 4分（用数学归纳法给分）（）由（）知：当且时，有，即当且时，有，因为，所以 ，即 8分（），理由如下： 解法一：由（）知：， 设 ，因为，所以 12分解法二：因为， 且，所以下面用数学归纳法证明：时，即，当时，左边，即当时不等式成立；假设当时不等式成立，即， 则当时， ， ， ， ，所以当时，不等式也成立；综合时，即成立，所以