1、江西省南昌二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）若直线经过两点，则直线AB的倾斜角为（）A30B45C60D1202（5分）二圆C1：x2+y2=1和C2：x2+y24x5=0的位置关系是（）A相交B外切C内切D外离3（ 5分）如果椭圆上一点P到它的右焦点距离是6，那么点P到它的左焦点的距离是（）A2B3C4D84（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P（2，4），则该抛物线的方程是（）Ay2=8xBy2=8xCy2=4xDy
2、2=4x5（5分）已知直线l1与直线l2：3x+4y6=0平行且与圆：x2+y2+2y=0相切，则直线l1的方程是（）A3x+4y1=0B3x+4y+1=0或3x+4y9=0C3x+4y+9=0D3x+4y1=0或3x+4y+9=06（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆上的一点，AF2AF1，原点O到直线AF1的距离为，则椭圆的离心率为（）ABCD7（5分）已知F1、F2是椭圆=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（）A16B11C8D38（5分）双曲线（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30的直线交双
3、曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）ABCD9（5分）已知抛物线y2=8x的焦点为F，直线y=k（x2）与此抛物线相交于P，Q两点，则+=（）AB1C2D410（5分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）Ax2y=0Bx+2y4=0C2x+3y12=0Dx+2y8=011（5分）过椭圆上一点M（0，2）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，O为坐标原点，则AOB的面积为（）ABC1D12（5分）设F1，F2分别是椭圆（ab0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（）ABCD二、填空题（本
4、大题共4小题，每题5分，共20分）13（5分）空间直角坐标系Oxyz中，在z轴上与点A（4，1，7）和点B（3，5，2）等距离的点C的坐标为14（5分）直线3x4y4=0被圆（x3）2+y2=9截得的弦长为15（5分）在椭圆内有一点P（1，1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，则M的坐标16（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤）17（10分）已知直线l过点（2，1）且与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，AOB
5、=120求直线AB的方程18（12分）已知动圆M经过点A（2，0），且与圆C：（x2）2+y2=20内切（）求动圆圆心M的轨迹E的方程；（）求轨迹E上任意一点M（x，y）到定点B（1，0）的距离d的最小值，并求d取得最小值时的点M的坐标19（12分）已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8求抛物线C的方程20（12分）已知椭圆+=1（ab0）与直线l：y=x+b交于不同的两点P，Q，原点到该直线的距离为，且椭圆的离心率为（）求椭圆的方程；（）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0
6、）？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由21（12分）已知双曲线C的焦点为F1（2，0），F2（2，0），且离心率为2；（）求双曲线的标准方程；（）若经过点M（1，3）的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程22（12分）如图，已知椭圆C：+y2=1（a1）的上顶点为A，离心率为，若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且（）求椭圆C的方程；（）求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标江西省南昌二中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
7、要求的）1（5分）若直线经过两点，则直线AB的倾斜角为（）A30B45C60D120考点：直线的倾斜角 专题：直线与圆分析：根据斜率公式即可得即可得到直线的斜率，然后根据斜率和倾斜角的关系即可得到结论解答：解：直线经过两点直线的斜率k=，即k=tan，=60，即直线AB的倾斜角为60故选：C点评：本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，要求熟练掌握直线斜率的公式的计算，比较基础2（5分）二圆C1：x2+y2=1和C2：x2+y24x5=0的位置关系是（）A相交B外切C内切D外离考点：圆与圆的位置关系及其判定 专题：直线与圆分析：先求出两圆的圆心 和半径，根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，得出两
8、圆相外切解答：解：圆x2+y24x5=0 即 （x2）2+y2=9，表示以（2，0）为圆心，以3为半径的圆，两圆的圆心距为2，正好等于两圆的半径之差，故两圆相内切，故选C点评：本题考查两圆的位置关系，由两圆的圆心距等于两圆的半径之和与差，得出两圆的位置关系3（5分）如果椭圆上一点P到它的右焦点距离是6，那么点P到它的左焦点的距离是（）A2B3C4D8考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，求出结果即可解答：解：椭圆，当椭圆上的点P到它的右焦点距离是6时，点P到它的左焦点的距离是2a6=246=2故选：A点评：本题考查了椭圆的定义
9、域标准方程的应用问题，是基础题目4（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P（2，4），则该抛物线的方程是（）Ay2=8xBy2=8xCy2=4xDy2=4x考点：抛物线的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由题意先确定抛物线的标准方程是：y2=2px，把点P（2，4）代入即可求出解答：解：由题意设抛物线的标准方程是：y2=2px，因为过点P（2，4），所以16=4p，解得p=4，所以抛物线的标准方程是：y2=8x，故选：A点评：本题考查抛物线的标准方程的求法：待定系数法，确定抛物线的标准方程的形式是解题的关键5（5分）已知直线l1与直线l2：
10、3x+4y6=0平行且与圆：x2+y2+2y=0相切，则直线l1的方程是（）A3x+4y1=0B3x+4y+1=0或3x+4y9=0C3x+4y+9=0D3x+4y1=0或3x+4y+9=0考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题分析：将圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径r，根据直线l1l2，得到两直线斜率相同，求出直线l1的斜率，表示出直线l1的方程为3x+4y+c=0，根据直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于c的方程，求出方程的解得到c的值，即可确定出切线方程解答：解：圆x2+y2+2y=0化为标准方程得：x2+（y+1）2=1，圆心为（0，1），
11、半径r=1，直线l1l2，设直线l1的方程为3x+4y+c=0，由题意得=1，解得：c=1或c=9，则直线l1的方程为3x+4y1=0或3x+4y+9=0故选D点评：此题考查了直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键6（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆上的一点，AF2AF1，原点O到直线AF1的距离为，则椭圆的离心率为（）ABCD考点：椭圆的简单性质 专题：计算题分析：先利用三角形中位线定理，计算F2A=2OB=c，再利用勾股定理计算F1A=c，最后利用椭圆定义，计算长轴长2a，进而求得椭圆离心率解答：解：如图，设|F1
12、F2|=2c，依题意，OBF1A，OB=O为F1F2的中点，AF2AF1，OBF2A，且F2A=2OB=cF1A=c2a=c+c椭圆的离心率为e=故选B点评：本题主要考查了椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质，椭圆离心率的求法，属基础题7（5分）已知F1、F2是椭圆=1的两焦点，经点F2的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5，则|AF1|+|BF1|等于（）A16B11C8D3考点：椭圆的定义 专题：计算题分析：根据A，B两点是椭圆上的两点，写出这两点与椭圆的焦点连线的线段之和等于4倍的a，根据AB的长度写出要求的结果解答：解：直线交椭圆于点A、B，由椭圆的定义可知：|AF1|+|BF1
13、|+|AB|=4a，|AF1|+|BF1|=165=11，故选B点评：本题考查椭圆的定义，是一个基础题，这里出现的三角形是一种特殊的三角形，叫焦三角形，它的周长是一个定值二倍的长轴长8（5分）双曲线（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）ABCD考点：双曲线的简单性质 专题：计算题分析：先在RtMF1F2中，利用MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的定义求得a，最后根据a和c求得离心率解答：解：如图在RtMF1F2中，MF1F2=30，F1F2=2c，故选B点评：本题主要考查了双曲线的
14、简单性质，属基础题9（5分）已知抛物线y2=8x的焦点为F，直线y=k（x2）与此抛物线相交于P，Q两点，则+=（）AB1C2D4考点：直线与圆锥曲线的关系 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由抛物线y2=8x可得焦点F（2，0），因此直线y=k（x2）过焦点把直线方程与抛物线方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得出解答：解：由抛物线y2=8x可得焦点F（2，0），因此直线y=k（x2）过焦点设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，|FQ|=x2+2联立化为k2x2（8+4k2）x+4k2=0（k0）0，x1x2=4+=故选A点评：本题考查了抛物线的焦点弦问题，属于中档题10（5
15、分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（）Ax2y=0Bx+2y4=0C2x+3y12=0Dx+2y8=0考点：椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题 专题：计算题分析：设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减再变形得，又由弦中点为（4，2），可得k=，由此可求出这条弦所在的直线方程解答：解：设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，则，两式相减再变形得又弦中点为（4，2），故k=，故这条弦所在的直线方程y2=（x4），整理得x+2y8=0；故选D点评：用“点差法”解题是圆锥曲线问题中常用的方法11（5分）过椭圆上一点M（0，
16、2）作圆x2+y2=2的两条切线，点A，B为切点，O为坐标原点，则AOB的面积为（）ABC1D考点：圆的切线方程 专题：直线与圆分析：由题意可得OMA为等腰直角三角形，可得MOA=，从而得到AOB为等腰直角三角形，故AOB的面积为OAOB，计算可得结果解答：解：由题意可得MO=2，OA=OB=，OM2=OA2+MA2，MA=OA=，故OMA为等腰直角三角形，MOA=同理可得，MOB=，AOB为等腰直角三角形，AOB=，故AOB的面积为OAOB=1，故选：C点评：本题主要考查直线和圆相切的性质，属于基础题12（5分）设F1，F2分别是椭圆（ab0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段PF1
17、的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（）ABCD考点：椭圆的简单性质 专题：计算题；压轴题分析：根据题意，设P的坐标为，进而可得F1P的中点Q的坐标，结合题意，线段PF1的中垂线过点F2，可得y与b、c的关系，又由y2的范围，计算可得答案解答：解：由已知P，所以F1P的中点Q的坐标为，由当时，不存在，此时F2为中点，综上得故选D点评：本题考查椭圆的性质的应用，要牢记椭圆的有关参数，如a、b、c之间的关系二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13（5分）空间直角坐标系Oxyz中，在z轴上与点A（4，1，7）和点B（3，5，2）等距离的点C的坐标为（0，0，）考点：空间两点间的距离
18、公式 专题：空间位置关系与距离分析：设出C的不，根据所给的两个点的坐标，代入求两点之间的距离公式，得到最简结果，使用两点之间的距离公式时，两个点的坐标没有先后顺序之分解答：解：设所求C（0，0，z），C与点A（4，1，7）和点B（3，5，2）等距离=，解得z=故答案为：（0，0，）点评：本题考查空间中两点之间的距离公式，本题解题的关键是正确代入距离公式进行运算，本题是一个基础题14（5分）直线3x4y4=0被圆（x3）2+y2=9截得的弦长为4考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：先根据圆的方程求得圆的圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利
19、用勾股定理求得被截的弦的一半，则弦长可求解答：解：根据圆的方程可得圆心为（3，0），半径为3则圆心到直线的距离为=1，弦长为2=4，故答案为：4点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质解题的关键是利用数形结合的思想，通过半径和弦构成的三角形和圆心到弦的垂线段，利用勾股定理求得答案15（5分）在椭圆内有一点P（1，1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，则M的坐标（，1）考点：椭圆的简单性质 专题：计算题；证明题；综合题分析：根据椭圆的方程求得椭圆离心率为e=，右准线方程：x=4作出椭圆的右准线l，过M点作MNl于N，根据圆锥曲线的统一定义，得，所以2|MF|=|M
20、N|，欲求|MP|+2|MF|的最小值，即求|MP|+|MN|的最小值作PN0l于N0，交椭圆于M0，由平几知识可得，当动点M在椭圆上运动，与点M0重合时，|MP|+|MN|取到最小值最后设出点M0的坐标，代入椭圆方程，解之即可得到使|MP|+2|MF|的值最小的点M的坐标解答：解：椭圆方程为，a2=4，b2=3，可得所以椭圆的离心率e=，右准线方程：x=作出椭圆的右准线l如图，过M点作MNl于N，根据圆锥曲线的统一定义，得，2|MF|=|MN|，所以|MP|+2|MF|=|MP|+|MN|欲求|MP|+2|MF|的最小值，即求|MP|+|MN|的最小值，过P（1，1）作PN0l于N0，交椭圆
21、于M0，由平面几何知识可得，当动点M在椭圆上运动，与点M0重合时，|MP|+2|MF|取到最小值设M0（x0，1），代入椭圆方程得，解之得x0=（舍负）使|MP|+2|MF|的值最小的点M的坐标为（，1）故答案为：（，1）点评：本题以椭圆中求距离和的最小值的问题为载体，着重考查了椭圆的基本概念和圆锥曲线的统一定义等知识点，属于中档题16（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为考点：抛物线的简单性质 专题：计算题分析：先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|AF|，再求出|AF|的值即可解答：解：依
22、题设P在抛物线准线的投影为P，抛物线的焦点为F，则 ，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP|=|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和故答案为：点评：本小题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤）17（10分）已知直线l过点（2，1）且与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点，AOB=120求直线AB的方程考点：直线与圆的位置关系 专题：直线与圆分析：由已知求出圆心到直线的距离，设出直线斜率，利用圆心到直线的距离列出关于k的方程解之解答：解
23、：由题意，因为圆的半径为2，AOB=120，所以圆心到直线的距离为1，设直线斜率为k，则y1=k（x2）即kxy2k+1=0，所以，解得k=0或k=，所以直线AB的方程为y=1或4x3y5=0点评：本题考查了直线与圆的位置关系；关键是将问题转化为圆心到直线的距离求直线斜率18（12分）已知动圆M经过点A（2，0），且与圆C：（x2）2+y2=20内切（）求动圆圆心M的轨迹E的方程；（）求轨迹E上任意一点M（x，y）到定点B（1，0）的距离d的最小值，并求d取得最小值时的点M的坐标考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：计算题；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）由动圆与定圆相内切且过点A（2，0
24、）可得|，又由|AC|=4，可知点M的轨迹为以A、C焦点的椭圆，从而写出轨迹方程；（）化简=，从而求最小值及点M的坐标解答：解：（）动圆与定圆相内切且过点A（2，0），|，可知M到两个定点A、C的距离的和为常数，并且常数|AC|=4，点M的轨迹为以A、C焦点的椭圆，且，c=2，b=1，曲线E的方程为（）由题意，=，当时，最小；此时，点评：本题考查了圆锥曲线的求法及距离公式的应用，属于中档题19（12分）已知抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8求抛物线C的方程考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、
25、性质与方程分析：设出焦点坐标，求出直线方程，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求解即可解答：解：由题可知，则该直线方程为：代入y2=2px（p0）得：，设M（x1，y1），N（x2，y2），则有x1+x2=3p，|MN|=8，x1+x2+p=8，即3p+p=8，解得p=2抛物线的方程为：y2=4x点评：本题考查直线与抛物线方程的应用，弦长公式的应用，考查计算能力20（12分）已知椭圆+=1（ab0）与直线l：y=x+b交于不同的两点P，Q，原点到该直线的距离为，且椭圆的离心率为（）求椭圆的方程；（）是否存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）？若存在，
26、求出k的值；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）由点到直线的距离公式，即可求得b=1，再由离心率公式和a，b，c的关系，即可求得a，进而得到椭圆方程；（）假设存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0），联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理，以及PQQD，即（x11）（x21）+y1y2=0，又y1=kx1+2，y2=kx2+2，化简整理，解出k，注意检验判别式是否等于0，即可判断解答：解：（）由点到直线的距离公式，得d=，解得：b=1，即a2c2=1，又椭圆的
27、离心率为，即=，解得，a=，椭圆方程是=1；（）假设存在实数k，使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1，0）将y=kx+2代入椭圆方程，得，（1+3k2）x2+12kx+9=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），以PQ为直径的圆过点D（1，0）则PQQD，即（x11）（x21）+y1y2=0，又y1=kx1+2，y2=kx2+2，得，（1+k2）（x1x2+（2k1）（x1+x2）+5=0，又x1+x2=，x1x2=，代入上式可得，=0，解得，k=此时代入=（12k）249（1+3k2）0，则存在k=使直线y=kx+2交椭圆于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点D（1
28、，0）点评：本题考查椭圆方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理解题，考查直线和圆的位置关系，考查运算能力，属于中档题21（12分）已知双曲线C的焦点为F1（2，0），F2（2，0），且离心率为2；（）求双曲线的标准方程；（）若经过点M（1，3）的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程考点：直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程 专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）设出双曲线方程，且c=2，再由离心率公式可得a=1，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到双曲线的方程；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），运用点差法，求
29、出直线AB的斜率，进而得到AB的方程，再联立双曲线方程，运用判别式检验即可解答：解：（）设双曲线方程为=1（a0，b0），且c=2，由于离心率为2，即=2，即a=1，b=，则双曲线方程为x2=1；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=1，=1两式相减得，（x1x2）（x1+x2）=（y1y2）（y1+y2），由于M为AB的中点，则x1+x2=2，y1+y2=6，得直线AB的斜率kAB=1，直线l的方程为y3=x1即y=x+2，代入方程x2=1，得2x24x7=0，=4242（7）=720，故所求的直线方程为y=x+2点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查点差法求弦中点的问题，考查运算能
30、力，属于中档题和易错题22（12分）如图，已知椭圆C：+y2=1（a1）的上顶点为A，离心率为，若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且（）求椭圆C的方程；（）求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标考点：恒过定点的直线；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）由椭圆的解析式得到b=1，再利用椭圆的性质a2+b2=c2列出关系式，与e=联立组成方程组，求出方程组的解得到a与c的值，即可确定出椭圆的解析式；（）由=0，利用平面斜率数量积为0时两向量垂直得到AP与AQ垂直，可得出AP与坐标轴不垂直，由A的坐标设出直线AP的方程为y=kx+1，根据两直线垂直时斜率的乘积为1
31、表示出直线AQ的方程，将y=kx+1代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，求出方程的解得到x的值，表示出P的坐标，将直线AQ方程代入椭圆方程，同理表示出Q的坐标，由P与Q的坐标，表示出直线l的两点式方程，整理后可得出直线l恒过定点N（0，）解答：解（）依题意有：e=，a2c2=b2=1，联立解得：a=，c=，则椭圆C的方程为+y2=1；（）证明：由=0，得到APAQ，从而直线AP与坐标轴不垂直，由A（0，1）可设直线AP的方程为y=kx+1，得到直线AQ的方程为y=x+1（k0），将y=kx+1代入椭圆C的方程+y2=1中，并整理得：（1+3k2）x2+6kx=0，解得：x=0或x=，P的坐标为（，+1），即（，），将上式中的k换成，同理可得Q（，），直线l的方程为y=（x）+，整理得：直线l的方程为y=x，则直线l过定点N（0，）点评：此题考查了恒过定点的方程，以及椭圆的标准方程，涉及的知识有：椭圆的基本性质，平面向量的数量积运算，以及直线的两点式方程，其计算性较大，是一道综合性较强的试题