1、江苏省无锡市梅村高中2020-2021学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1在平行四边形ABCD中，（）ABCD2在ABC中，若b2，B30，则的值为（）ABCD3. 已知向量，若，则（）ABCD4某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和一带一路”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为（）A2800B3000C3200D3400518世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复
2、数，使复数及共运算具有了几何意义，例如，|z|OZ|，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离在复平面内，复数z0（i是虚数单位，aR）是纯虚数，其对应的点为Z0，Z为曲线|z|1上的动点，则Z0与Z之间的最小距离为（）AB1CD26高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为x1，x2，x3，x100，它们的平均数为，方差为s2；其中扫码支付使用的人数分别为2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x100+3，它们的平均数为，方差为s2，则，s2分别为（）A2+3，2s2+3B2
3、，2s2C2+3，4s2+3D2+3，4s27有一道解三角形的题，因为纸张破损，在划横线地方有一个已知条件看不清具体如下：在ABC中角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知角B45，a， ，求角A若已知正确答案为A60，且必须使用所有已知条件才能解得，请你选出一个符合要求的已知条件是（）AC75BCbcosAacosBD8骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，ABE，BEC，ECD均是边长为4的等边三角形设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（）A18B24C36
4、D48二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）9已知复数z（1+2i）5i，则下列结论正确的是（）AB复数z在复平面内对应的点在第二象限C2+iDz23+4i10下列结论正确的是（）A在ABC中，若AB，则sinAsinBB在锐角三角形ABC中，不等式b2+c2a20恒成立C在ABC中，若，a2c2bc，则ABC为等腰直角三角形D在ABC中，若b3，A60，三角形面积，则三角形外接圆半径为11某赛季甲乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况如表：场次123456甲得分31162434189乙得
5、分232132113510则下列说法正确的是（）A甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差B甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数C甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值D甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定12下列命题正确的是（）A已知和是两个互相垂直的单位向量，且垂直，则实数k6B非零向量和不共线，若，则A、B、D三点共线C若平行四边形ABCD满足，则该四边形一定是正方形D点O在ABC所在的平面内，若，则点O为ABC的垂心三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13设复数，其中i为虚数单位，则1+2+3 14平面向量两两夹角都相等，且，则 15古希腊数学家海伦著作测地
6、术中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三边长求三角形的面积若三角形的三边分别为a、b、c，则其面积s，这里p，已知在ABC中，BC8，AB3AC当面积S最大时cosA= 16ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3+4+5，则 四、解答题：（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.已知向量（1）若 ，求实数的值；（2）若向量，且，求.18已知复数z12+i，z1z25+5i（其中i为虚数单位）（1）求复数z2；（2）若复数z3（3z2）（m22m3）+（m1）i所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围19已
7、知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2+，（1）用，表示；（2）若点D是OB的中点，用向量方法证明四边形OCAD是梯形20在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量（cosB，2cos21），（c，b2a），且（）求C的大小；（）若点D为边AB上一点，且满足，|，c2，求ABC的面积21已知灯塔B与海洋观测站A的距离为2km，灯塔C在观测站A的北偏东45方向，灯塔D在观测站A的正西方向，灯塔B在灯塔D的南偏东60方向在观测站A与灯塔B，C构成的三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a23b2+3c22bcsinA（1）求灯塔B与灯塔C
8、的距离；（2）求BCD的面积22中国独有的文书工具，即笔、墨、纸、砚，有文房四宝之名，起源于南北朝时期其中宣纸是文房四宝的一种，宣纸“始于唐代，产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸宣纸按质量等级分为：正牌（优等品）、副牌（合格品）、废品三等某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸10000刀（1刀100张），该公司按照某种质量指标x给宣纸确定等级如表所示：x的范围（44，48（52，56（48，520，44（56，60质量等级副牌正牌废品在该公司所生产的宣纸中随机生产了一刀进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌宣纸的利润为15元，副牌宣纸利润为8元，废品的利润为20元（
9、）试估计该公司的年利润；（）市场上有一种售价为100万元的机器可以改进宣纸的生产工艺，但这种机器的使用寿命为一年，只能提高宣纸的质量，不能增加宣纸的年产量；据调查这种机器生产的宣纸的质量指标x如表所示：x的范围（2，+2）（6，+6）频率0.68270.9545其中为质量指标x的平均值，但是由于人们对传统手工工艺的认可，改进后的正牌和副牌宣纸的利润都将下降3元/张，请该公司是否购买这种机器，请你为公司提出合理建议，并说明理由（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）江苏省梅村高级中学2020-2021学年度第二学期期中试卷高一数学命题： 校对： 审核： 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及
10、各题答题要求1、本试卷共4页，包含选择题（第1题第12题，共12题）、非选择题（第13题第22题，共10题）两部分。本卷满分150分，答题时间为120分钟。2、试题答案需作答在答题卡，答在试卷上无效。3、作答选择题时必须用28铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。4、如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）1在平行四边形ABCD中，
11、（）ABCD【答案】A【解答】解：ABCD是平行四边形，故选：A2在ABC中，若b2，B30，则的值为（）ABCD【答案】A【解答】解：由正弦定理得：，a2RsinA，c2RsinC，2R43. 已知向量，若，则（）ABCD【答案】D【解答】，4某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和一带一路”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为（）A2800B3000C3200D3400【答案】D【解答】解：根据扇形统计图知，高三所占的扇形圆心角为36014480136，且高一年级共交稿2000份，则高三
12、年级的交稿数为20003400（份）故选：D518世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及共运算具有了几何意义，例如，|z|OZ|，也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离在复平面内，复数z0（i是虚数单位，aR）是纯虚数，其对应的点为Z0，Z为曲线|z|1上的动点，则Z0与Z之间的最小距离为（）AB1CD2【答案】B【解答】解：z0，z0为纯虚数，即a2z02i，则Z0（0，2），Z为曲线|z|1上的动点，其轨迹为以原点为圆心，以1为半径的圆，则Z0与Z之间的最小距离为211故选：B6高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”，近日对全国10
13、0个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析，其中共享单车使用的人数分别为x1，x2，x3，x100，它们的平均数为，方差为s2；其中扫码支付使用的人数分别为2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x100+3，它们的平均数为，方差为s2，则，s2分别为（）A2+3，2s2+3B2，2s2C2+3，4s2+3D2+3，4s2【答案】D【解答】解：共享单车使用的人数分别为x1，x2，x3，x100，它们的平均数为，方差为s2，扫码支付使用的人数分别为2x1+3，2x2+3，2x3+3，2x100+3，它们的平均数为，方差为s2，则，s24s27有一道解三角形的题，因为纸张破损，在划横线地方
14、有一个已知条件看不清具体如下：在ABC中角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知角B45，a， ，求角A若已知正确答案为A60，且必须使用所有已知条件才能解得，请你选出一个符合要求的已知条件是（）AC75BCbcosAacosBD【答案】D【解答】解：由于正确答案为 A60，故B7545+30，根据正弦定理，解得故一个符合要求的已知条件可以是而选项中没有该选项，但由，即，得c也就是给出，使用所有已知条件能解出正确答案为A60故选：D8骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，ABE，BE
15、C，ECD均是边长为4的等边三角形设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（）A18B24C36D48【答案】C【解答】解：据题意：圆D（后轮）的半径均为，ABE，BEC，ECD均是边长为4的等边三角形点P为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系：则A（8，0），B（6，），C（2，）圆D的方程为x2+y23，可设P（），所以，故12sin（）+2412+2436二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.）9已知复数z（1+2i）5i，则下列结论正确的是（）AB复数z在复平面
16、内对应的点在第二象限C2+iDz23+4i【答案】AD【解答】解：因为z（1+2i）5i，所以z2+i，其对应的点（2，1）在第一象限，B错误，又|z|，A正确，所以2i，C错误，z2（2+i）23+4i，D正确故选：AD10下列结论正确的是（）A在ABC中，若AB，则sinAsinBB在锐角三角形ABC中，不等式b2+c2a20恒成立C在ABC中，若，a2c2bc，则ABC为等腰直角三角形D在ABC中，若b3，A60，三角形面积，则三角形外接圆半径为【答案】ABC【解答】解：对于选项A：在ABC中，若AB，根据大边对大角，所以ab，利用正弦定理，所以2RsinA2RsinB，则sinAsin
17、B，故选项A正确对于选项B：，故不等式b2+c2a20恒成立，故选项B正确对于选项C：在ABC中，a2c2bc，可得，所以b2+c2+2bc2a2，由于a2c2bc，所以b2+c2+2（a2c2）2a2，所以bc，所以BC，所以A，故正确对于选项D：在ABC中，若b3，A60，三角形面积所以，解得c4，所以，由正弦定理，故选项D错误故选：ABC11某赛季甲乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况如表：场次123456甲得分31162434189乙得分232132113510则下列说法正确的是（）A甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差B甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数C甲运动员得分的平
18、均值大于乙运动员得分的平均值D甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定【答案】BD【解答】解：在A中，甲运动员得分的极差为：34925，乙运动员得分的极差为：351025，甲运动员得分的极差等于乙运动员得分的极差，故A错误；在B中，甲运动员得分的中位数为：21，乙运动员得分的中位数为：22，甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数，故B正确；在C中，甲运动员得分的平均数为：（31+16+24+34+18+9）22，乙运动员得分的平均数为：（23+21+32+11+35+10）22，甲运动员得分的平均值等于乙运动员得分的平均值，故C错误；在D中，由统计表得乙的数据相对分散，甲的数据相对集中，甲运动
19、员的成绩比乙运动员的成绩稳定，故D正确 故选：BD12下列命题正确的是（）A已知和是两个互相垂直的单位向量，且垂直，则实数k6B非零向量和不共线，若，则A、B、D三点共线C若平行四边形ABCD满足，则该四边形一定是正方形D点O在ABC所在的平面内，若，则点O为ABC的垂心【答案】AB【解答】对于A：已知和是两个互相垂直的单位向量，即，且垂直，故2k12，解得k6，故A正确；对于B：,非零向量和不共线,，所以A、B、D三点共线，故B正确；对于C：四边形ABCD为平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故C错误；对于D：分别为的单位向量，任意两个向量的单位向量的差为三角形的第三边的向量，所以
20、、垂直于构成菱形的对角线，所以点O在角平分线上，故点O为内心，故D错误；三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13设复数，其中i为虚数单位，则1+2+3 【答案】1【解答】解：因为，所以2，3（）（）1，则1+2+31+1114平面向量两两夹角都相等，且，则 【答案】1或5【解答】解：因为由题意三个平面向量两两夹角相等，可得任意两向量的夹角是120或0，因为，当夹角为120时；则2+4+4+2+412+412+22+411cos120+212cos120+412cos1201，1；当夹角为0时，|+2|+|5；故答案为：1或515古希腊数学家海伦著作测地术中记载了著名的海伦公式，
21、利用三角形的三边长求三角形的面积若三角形的三边分别为a、b、c，则其面积s，这里p，已知在ABC中，BC8，AB3AC当面积S最大时cosA= 【答案】【解答】设ACx，则AB3AC3x，所以s2，（2x4）S212，当且仅当x2416x2，即x时等号成立，所以s得最大值为12此时AC，AB3，BC8，由余弦定理得：cosA，16ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3+4+5，则 【答案】【解答】解：3+4+5，3+45；（3+4）2（5）2；由|1，9+16+2425，0，；AOB的面积为SAOB11四、解答题：（本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在；
22、这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.已知向量（1）若 ，求实数的值；（2）若向量，且，求.【解答】选（1）代入，（2），所以选（1）代入，（2），所以选（1）代入，（2），所以18已知复数z12+i，z1z25+5i（其中i为虚数单位）（1）求复数z2；（2）若复数z3（3z2）（m22m3）+（m1）i所对应的点在第四象限，求实数m的取值范围【解答】解：（1）复数z12+i，z1z25+5i，；（2）z3（3z2）（m22m3）+（m1）ii（m22m3）+（m1）i（m1）+（m22m3）i，复数z3所对应的点在第四象限，解得1m1实数m的取值范围是1m119已知O，A，B
23、是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2+，（1）用，表示；（2）若点D是OB的中点，用向量方法证明四边形OCAD是梯形【解答】解：（1）由题意：直线AB上有一点C，2+，所以A为BC的中点；由：，带入可得：由消去可得：（2）点D是OB的中点，则由：，由可得：，所以ADOC，故得四边形OCAD是梯形20在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量（cosB，2cos21），（c，b2a），且（）求C的大小；（）若点D为边AB上一点，且满足，|，c2，求ABC的面积【解答】解：（）向量（cosB，2cos21），（c，b2a），且0，ccosB+（b2a）cosC0，由正弦定
24、理可得，sinCcosB+（sinB2sinA）cosC0，sinA2sinAcosC0，sinA0，cosC，C（0，），C，（），|，c2，2+，两边平方得4|2b2+a2+2accosCb2+a2+ac28，（1），c2b2+a22accosCb2+a2ac12，（2），由（1），（2）可得ab8，SABCabsinC221已知灯塔B与海洋观测站A的距离为2km，灯塔C在观测站A的北偏东45方向，灯塔D在观测站A的正西方向，灯塔B在灯塔D的南偏东60方向在观测站A与灯塔B，C构成的三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足a23b2+3c22bcsinA（1）求灯塔B
25、与灯塔C的距离；（2）求BCD的面积【解答】解：（1）在ABC中，利用余弦定理a2b2+c22bccosA，由于且满足a23b2+3c22bcsinA所以，化简为，由于b2+c22bc，所以，即，当sin（A）1时，A，且bc2所以BC2，故灯塔B和灯塔C之间的距离为2km（2）由题意知：，AB2，所以利用正弦定理：，解得AD2SBCDSABC+SABD+SACD2所以BCD的面积为km222中国独有的文书工具，即笔、墨、纸、砚，有文房四宝之名，起源于南北朝时期其中宣纸是文房四宝的一种，宣纸“始于唐代，产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸宣纸按质量等级分为：正牌（优等品）、副牌（
26、合格品）、废品三等某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸10000刀（1刀100张），该公司按照某种质量指标x给宣纸确定等级如表所示：x的范围（44，48（52，56（48，520，44（56，60质量等级副牌正牌废品在该公司所生产的宣纸中随机生产了一刀进行检验，得到频率分布直方图如图所示，已知每张正牌宣纸的利润为15元，副牌宣纸利润为8元，废品的利润为20元（）试估计该公司的年利润；（）市场上有一种售价为100万元的机器可以改进宣纸的生产工艺，但这种机器的使用寿命为一年，只能提高宣纸的质量，不能增加宣纸的年产量；据调查这种机器生产的宣纸的质量指标x如表所示：x的范围（2，+2）（6，+6）频
27、率0.68270.9545其中为质量指标x的平均值，但是由于人们对传统手工工艺的认可，改进后的正牌和副牌宣纸的利润都将下降3元/张，请该公司是否购买这种机器，请你为公司提出合理建议，并说明理由（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）【解答】解：（）由频率分布直方图得：一刀宣纸有正牌1000.1440张，有副牌1000.054240张，有废品1000.0254220张，该公司一刀宣纸的利润的估计值为：4015+4082020520元，估计该公司的年利润为520万元（）由频率分布直方图得：420.0254+460.0254+500.14+500.14+580.025450这种机器生产的宣纸的质量指标x如下表所示： x的范围 （x2，x+2） （x6，x+6） 频率 0.6827 0.9545一刀宣纸中有正牌的张数估计为1000.682768.27，废品的张数估计为：100（10.9545）4.55，副牌的张数为：100（0.95450.6827）27.18，一刀宣纸的利润为：68.2712+27.1854.5520864.14元，公司改进后该公司的利润为：864.14100764.14万元，764.14万元520万元，建议该公司购买这种机器