1、2016-2017学年江西省宜春市上高二中高三（下）开学数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分）1已知集合A=x|log2x1，B=x|0xc，其中c0若AB=B，则c的取值范围是（）A（0，1B1，+）C（0，2D2，+）2复数z满足z（1+i）=|1+i|，则z等于（）A1iB1CiDi3在数列an中，a1=2，an+1=an+ln（1+），则an=（）A2+lnnB2+（n1）lnnC2+nlnnD1+n+lnn4在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则PBC的面积小于的概率是（）ABCD5如图所示的程序框图，如果输出的是30，那么判断框中应填写（）Ai3？Bi5？Ci4？
2、Di4？6定义：|=|sin，其中为向量与的夹角，若|=2，|=5， =6，则|=（）A8B8C8或8D67已知等差数列an的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）ABCD8若函数y=Asin（x+）（A0，0，|）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是这段图象的最高点和最低点，且=0，则A=（）ABCD9函数y=，x（，0）（0，）的图象可能是下列图象中的（）ABCD10如图1，一个多面体的正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形且直角边长为2，俯视图是边长为2的正方形，则该多面体的表面积是（）ABCD11已知A，B，C是单位圆上互不相同的三点，且满足|=|，则的
3、最小值为（）ABCD112在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1x2|+|y1y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”在这个定义下，给出下列命题：到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；到M（1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；到M（1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线其中正确的命题有（）A1个B2 个C3 个D4个二、填空题（共4小题，每小题5分）13设直线xmy1=0与圆（x1）2+（y2）2=4相交于A，B两点，且弦AB的长为，则实
4、数m的值是14若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的范围是15所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥SABC中，M是SC的中点，且AMSB，底面边长AB=2，则正三棱锥SABC的体积为，其外接球的表面积为16设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有f（x2）=f（x+2）且当x2，0时，f（x）=（）x1，若在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是三、解答题（共70分）17在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， =（cosA+2sinA，3si
5、nA），=（sinA，cosA2sinA），（1）若且角A为锐角，求角A的大小；（2）在（1）的条件下，若cosB=，c=7，求a的值18已知数列an的前n项和为Sn，且1，an，Sn是等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=log2an，设cn=anbn，求数列cn的前n项和为Tn19已知函数f（x）=sin（2x）+2cos2x1（）求函数f（x）的单调增区间；（）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求ABC的面积20元旦前夕，某校高三某班举行庆祝晚会，人人准备了才艺，由于时间限制不能全部展示，于是找四张红色纸片和四张绿色纸片上分别写
6、1，2，3，4，确定由谁展示才艺的规则如下：每个人先分别抽取红色纸片和绿色纸片各一次，并将上面的数字相加的和记为X；当X3或X6时，即有资格展现才艺；当3X6时，即被迫放弃展示（1）请你写出红绿纸片所有可能的组合（例如（红2，绿3），（红3，绿2）；（2）求甲同学能取得展示才艺资格的概率21如图，在底面是菱形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABC=60，AA1=AC=2，A1B=A1D=2，点E在A1D上（1）证明：AA1面ABCD（2）当为何值时，A1B平面EAC，并求出此时直线A1B与平面EAC之间的距离22已知函数（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1）处的切线方程；（2）令
7、g（x）=f（x）（ax1），求函数g（x）的极值；（3）若a=2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：2016-2017学年江西省宜春市上高二中高三（下）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1已知集合A=x|log2x1，B=x|0xc，其中c0若AB=B，则c的取值范围是（）A（0，1B1，+）C（0，2D2，+）【考点】对数函数的定义域；并集及其运算【分析】先化简集合A，再由条件AB=B得到AB，即可求出c的取值范围【解答】解：A=x|log2x1，A=x|0x2，由已知若AB=B，得AB，c2故选D2复数z满足z（1+i
8、）=|1+i|，则z等于（）A1iB1CiDi【考点】复数求模【分析】通过复数的模以及复数的代数形式混合运算，化简求解即可【解答】解：复数z满足z（1+i）=|1+i|=2，z=1故选：A3在数列an中，a1=2，an+1=an+ln（1+），则an=（）A2+lnnB2+（n1）lnnC2+nlnnD1+n+lnn【考点】数列的概念及简单表示法【分析】把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项【解答】解：，=故选：A4在面积为S的矩形ABCD内随机取一点P，则PBC的面积小于的概率是（）ABCD【考点】几何概型【分析】根据PBC的面积小于时，可得点P所在
9、区域的面积为矩形面积的一半，从而可求相应概率【解答】解：设P到BC的距离为h矩形ABCD的面积为S，PBC的面积小于时，h点P所在区域的面积为矩形面积的一半，PBC的面积小于的概率是故选D5如图所示的程序框图，如果输出的是30，那么判断框中应填写（）Ai3？Bi5？Ci4？Di4？【考点】程序框图【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：S=2，i=2，S=2+22=6，i=3，S=6+23=14，i=4，S=14+24=30，i=54，故选D6定义：|=|sin，其中为向量与的夹角，若|=2，|=5， =6，则|=（）A8B
10、8C8或8D6【考点】平面向量数量积的运算【分析】利用向量数量积运算和新定义即可得出【解答】解：由数量积可得=10cos，解得，0，|=8故选A7已知等差数列an的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）ABCD【考点】数列的求和；等差数列的前n项和【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求an，代入可得=，裂项可求和【解答】解：设等差数列的公差为d由题意可得，解方程可得，d=1，a1=1由等差数列的通项公式可得，an=a1+（n1）d=1+（n1）1=n=1=故选A8若函数y=Asin（x+）（A0，0，|）在一个周期内的图象如图所示，M、
11、N分别是这段图象的最高点和最低点，且=0，则A=（）ABCD【考点】y=Asin（x+）中参数的物理意义；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值【分析】根据图象求出函数的周期，再求出的值，根据周期设出M和N的坐标，利用向量的坐标运算求出A的值，即求出A的值【解答】解：由图得，T=4=，则=2，设M（，A），则N（，A），A0，AA=0，解得A=，A=故选C9函数y=，x（，0）（0，）的图象可能是下列图象中的（）ABCD【考点】函数的图象【分析】根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可【解答】解：因为y=是偶函数，排除A，当x=1时，y=1，排除C，当x=时，y=1，排除B、C，故选D10如
12、图1，一个多面体的正视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形且直角边长为2，俯视图是边长为2的正方形，则该多面体的表面积是（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积【分析】画出几何体的直观图，分析出各个面的形状，求出各个面的面积后，相加可得答案【解答】解：该多面体为一个三棱锥DABC，如图1所示，其中3个面是直角三角形，1个面是等边三角形，S表面积=SABC+SABD+SACD+SBCD=，故选A11已知A，B，C是单位圆上互不相同的三点，且满足|=|，则的最小值为（）ABCD1【考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意可得，点A在BC的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O
13、（0，0），点A（0，1），点B（x1，y1），则点C（x1，y1），x12+y12=1，且1y11根据 =2y122y1，再利用二次函数的性质求得它的最小值再利用二次函数的性质求得它的最小值【解答】解：由题意可得，点A在BC的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点A（0，1），点B（x1，y1），则点C（x1，y1），1y11=（x1，y11），=（x1，y11），x12+y12=1=x12+y122y1+1=（1y12）+y122y1+1=2y122y1，当y1=时，取得最小值为，故选：B12在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1x2|+|y1y2|为两点P（x1，y1）
14、，Q（x2，y2）之间的“折线距离”在这个定义下，给出下列命题：到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；到M（1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0；到M（1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线其中正确的命题有（）A1个B2 个C3 个D4个【考点】命题的真假判断与应用【分析】先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可【解答】解：到原点的“折线距离”等于1的点的集合（x，y）|x|+|y|=1，是一个正方形，故正确，错误；到M（1，0）
15、，N（1，0）两点的“折线距离”相等点的集合是（x，y）|x+1|+|y|=|x1|+|y|，由|x+1|=|x1|，解得x=0，到M（1，0），N（1，0）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是x=0，即正确；到M（1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合（x，y）|x+1|+|y|x1|y|=1=（x，y）|x+1|x1|=1，集合是两条平行线，故正确；综上知，正确的命题为，共3个故选：C二、填空题（共4小题，每小题5分）13设直线xmy1=0与圆（x1）2+（y2）2=4相交于A，B两点，且弦AB的长为，则实数m的值是【考点】直线与圆相交的性质【分析】由圆的标准方
16、程找出圆心坐标和半径r，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，再由弦AB的长，利用垂径定理及勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值【解答】解：由圆的方程（x1）2+（y2）2=4，得到圆心坐标为（1，2），半径r=2，圆心到直线xmy1=0的距离d=，又|AB|=2，r2=d2+（）2，即4=+3，整理后得到3m2=1，解得：m=故答案为：14若不等式组表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k的范围是（0，1）【考点】简单线性规划【分析】由题意作出其平面区域，求出k的临界值，从而结合图象写出实数k的取值范围【解答】解：由题意作出其平面区域，当直线y=kx+3
17、与AB重合时，k=0，是直角三角形，当直线y=kx+3与AD重合时，k=1，是直角三角形；故若区域为一个锐角三角形及其内部，则0k1；故答案为：（0，1）15所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥SABC中，M是SC的中点，且AMSB，底面边长AB=2，则正三棱锥SABC的体积为，其外接球的表面积为12【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积【分析】设棱锥的高为SO，则由正三角形中心的性质可得ACOB，ACSO，于是AC平面SBO，得SBAC，结合SBAM可证SB平面SAC，同理得出SA，SB，SC两两垂直，从而求得侧棱长，计算出体积
18、外接球的球心N在直线SO上，设SN=BN=r，则ON=|SOr|，利用勾股定理列方程解出r【解答】解：设O为S在底面ABC的投影，则O为等边三角形ABC的中心，SO平面ABC，AC平面ABC，ACSO，又BOAC，AC平面SBO，SB平面SBO，SBAC，又AMSB，AM平面SAC，AC平面SAC，AMAC=A，SB平面SAC，同理可证SC平面SABSA，SB，SC两两垂直SOASOBSOC，SA=SB=SC，AB=2，SA=SB=SC=2三棱锥的体积V=设外接球球心为N，则N在SO上BO=SO=，设外接球半径为r，则NO=SOr=r，NB=r，OB2+ON2=NB2，+（）2=r2，解得r=
19、外接球的表面积S=43=12故答案为：，1216设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有f（x2）=f（x+2）且当x2，0时，f（x）=（）x1，若在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（，2）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由已知中可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，将方程f（x）logax+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=logax+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围【解答】解：对于任意的xR，都有f（x2）=f（2+x），函数f（x）是一个周
20、期函数，且T=4又当x2，0时，f（x）=（）x1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=loga（x+2）在区间（2，6上有三个不同的交点，如下图所示：又f（2）=f（2）=3，则对于函数y=loga（x+2），由题意可得，当x=2时的函数值小于3，当x=6时的函数值大于3，即loga43，且loga83，由此解得：a2，故答案为：（，2）三、解答题（共70分）17在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边， =（cosA+2sinA，3sinA），=（sinA，cosA2sinA），
21、（1）若且角A为锐角，求角A的大小；（2）在（1）的条件下，若cosB=，c=7，求a的值【考点】正弦定理；平行向量与共线向量【分析】（1）由可得，结合角A为锐角，即可解得A的值（2）在ABC中，已知A，B的三角函数值，可求得sinC的值，再由正弦定理可得a的值【解答】解：（1）， =（cosA+2sinA，3sinA），=（sinA，cosA2sinA），（cosA+2sinA）（cosA2sinA）=3sin2A，解得：又角A为锐角，（2）在ABC中，则，由正弦定理得，解得a=518已知数列an的前n项和为Sn，且1，an，Sn是等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=log2a
22、n，设cn=anbn，求数列cn的前n项和为Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（1）由2an=1+Sn，当n=1时，a1=1，当n2时，2an2an1=an，an=2an1，数列an是首项为1，公比为2的等比数列，即可求得数列an的通项公式；（2）由，采用“错位相减法”即可求得数列cn的前n项和为Tn【解答】解：（1）由1，an，Sn是等差数列知：2an=1+Sn，当n=1时，2a1=1+a1，则a1=1；当n2时，2an1=1+Sn1，得2an2an1=an，即an=2an1；故数列an是首项为1，公比为2的等比数列，数列an的通项公式：； 6分（2）由bn=log2an=n1，得，
23、=，=（2n）2n2，数列cn的前n项和为：19已知函数f（x）=sin（2x）+2cos2x1（）求函数f（x）的单调增区间；（）在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求ABC的面积【考点】正弦函数的单调性；余弦定理【分析】（）函数f（x）展开后，利用两角和的公式化简为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调增区间求函数f（x）的单调增区间（）利用f（A）=，求出A的大小，利用余弦定理求出bc的值，然后求出ABC的面积【解答】解：（）因为=所以函数f（x）的单调递增区间是（kZ）（）因为f（A）=，所以又0A所以从而故A=在ABC中，a=1，
24、b+c=2，A=1=b2+c22bccosA，即1=43bc故bc=1从而SABC=20元旦前夕，某校高三某班举行庆祝晚会，人人准备了才艺，由于时间限制不能全部展示，于是找四张红色纸片和四张绿色纸片上分别写1，2，3，4，确定由谁展示才艺的规则如下：每个人先分别抽取红色纸片和绿色纸片各一次，并将上面的数字相加的和记为X；当X3或X6时，即有资格展现才艺；当3X6时，即被迫放弃展示（1）请你写出红绿纸片所有可能的组合（例如（红2，绿3），（红3，绿2）；（2）求甲同学能取得展示才艺资格的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】（1）利用列举法能求出取得这些可能的值的红绿卡片可能的
25、组合（2）红绿卡片所有可能组合对共有16个，满足当X3或6的红绿卡片组合对9对由此能求出甲同学取得展示才艺资格的概率【解答】解：（1）取得这些可能的值的红绿卡片可能的组合为： 卡片组合 绿色卡片 12 34 红色卡片 1 （红1，绿1）（红1，绿2） （红1，绿3） （红1，绿4） 2 （红2，绿1）（红2，绿2） （红2，绿3） （红2，绿4） 3（红3，绿1） （红3，绿2） （红3，绿3） （红3，绿4） 4（红4，绿1） （红4，绿2） （红4，绿3） （红4，绿4） x值绿色卡片12 34 红色卡片123 452345 63456745678（2）从（1）中可知红绿卡片所有可能组合对
26、共有16个满足当X3或6的红绿卡片组合对有：（红1，绿1），（红1，绿2），（红2，绿1），（红2，绿2），（红2，绿4），（红4，绿2），（红4，绿3），（红4，绿4）共9对所以甲同学取得展示才艺资格的概率为21如图，在底面是菱形的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABC=60，AA1=AC=2，A1B=A1D=2，点E在A1D上（1）证明：AA1面ABCD（2）当为何值时，A1B平面EAC，并求出此时直线A1B与平面EAC之间的距离【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定【分析】（I）利用勾股定理的逆定理可得：A1AAB；A1AAD再利用线面垂直的判定定理即可证明结论（II）当
27、=1时，A1B平面EAC下面给出证明：连接BD，交AC于点O利用三角形中位线定理可得：A1BOE，再利用线面平行的判定定理即可证明A1B平面EAC由OE是A1BD的中位线，可得求出点D到平面EAC的距离即直线A1B与平面EAC之间的距离利用VEACD=VDACE，即=，解出即可得出【解答】（I）证明：AA1=2，A1B=A1D=2，=8=，可得A1AB=90，A1AAB；同理可得：A1AAD又ABAD=A，AA1面ABCD（II）当=1时，A1B平面EAC下面给出证明：连接BD，交AC于点O连接OE，则OE是A1BD的中位线，A1BOE又A1B平面EAC，OE平面EAC，A1B平面EACOE是
28、A1BD的中位线，求出点D到平面EAC的距离即直线A1B与平面EAC之间的距离点E到平面ACD的距h=AA1=1SACD=EC=2=AC，AE=SACE=VEACD=VDACE，=，d=22已知函数（1）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1）处的切线方程；（2）令g（x）=f（x）（ax1），求函数g（x）的极值；（3）若a=2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：【考点】利用导数研究函数的极值【分析】（1）求出f（x）的解析式，求出切点坐标，从而求出切线方程即可；（2）求导数，然后通过研究不等式的解集确定原函数的单调性；（3）结合已知条件构造函数，然后结合函数
29、单调性得到要证的结论【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=lnx+x，则f（1）=1，所以切点为（1，1），又f（x）=+1，则切线斜率k=f（1）=2，故切线方程为：y1=2（x1），即2xy1=0；（2）g（x）=f（x）（ax1）=lnxax2+（1a）x+1，所以g（x）=ax+（1a）=，当a0时，因为x0，所以g（x）0所以g（x）在（0，+）上是递增函数，无极值；当a0时，g（x）=，令g（x）=0，得x=，所以当x（0，）时，g（x）0；当x（，+）时，g（x）0，因此函数g（x）在x（0，）是增函数，在（，+）是减函数，当a0时，函数g（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+），x=时，g（x）有极大值g（）=lna，综上，当a0时，函数g（x）无极值；当a0时，函数g（x）有极大值lna，无极小值；（3）由x10，x20，即x1+x20令t=x1x2，则由x10，x20得，（t）=，t0，可知，（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增所以（t）（1）=1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）1，解得x1+x2或x1+x2，又因为x10，x20，因此x1+x2成立2017年4月14日