1、华中师大一附中20192020学年度上学期期中检测高三年级数学（理科）试题时间：120分钟满分：150分一、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合，则的子集个数为（ ）A. 2B4C6D8【答案】B【解析】由已知得：，所以子集个数：个2. 设命题：，则为 （ ）ABC D【答案】D【解析】由已知得：命题：，命题：3. 若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为 （ ）A. B. 2 C. D. 【答案】B【解析】由已知得：4. 我国古代数学典籍九章算术第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的
2、两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。问两鼠在第几天相遇？（ ） A. 第2天 B.第3天 C.第4天 D.第5天 【答案】B【解析】第一天：大老鼠1+小老鼠1=2； 第二天：大老鼠2+小老鼠1.5=3.5 第三天：大老鼠4+小老鼠1.75=5.75相遇5. 已知变量x, y满足约束条件，则的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.6【答案】A6. 已知等差数列an的前n项和Sn满足且Sn的最大项为，则（ ） A. 20 B.22 C.24 D.26【答案】D【解析】由已知得：，Sn的最大项为，所以m=6即：，7. 右图为一正方体的平面展开图，
3、在这个正方体中，有以下结论 CF与EN所成的角为/MN 二面角的大小为其中正确的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C8. 已知中，E为BD中点，若，则的值为 （ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 10【答案】C【解析】由已知得： 所以.9. 若，则的大小关系为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A10. 已知函数的部分图像如右图所示，且，则的值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由已知得：，图像经过11. 已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由已知得：函数是偶函数，在是增函数，解之得：12. 已知函数，
4、若对于任意的，均有成立，则实数a的最小值为（ ） A. B.1 C. D. 3【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 曲线在点处的切线方程为 .【答案】 【解析】由已知得：求导，当时，k=0,所以切线方程：14. 已知，则 . 【答案】 【解析】15. 已知的内角的对边分别为.若，的面积为，则面积的最大值为 .【答案】 16. 已知的外接圆圆心为O，若（为实数）有最小值，则参数的取值范围是 .【答案】 【解析】由已知得： 原式有最小值；所以三、解答题：(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. （本小题满分12分）已知的内角的对边分别为
5、，若 （1）求角C； （2）BM平分角B交AC于点M，且，求.【解析】（1）由题 又 （2）记，则，在中，在中，即 即或（舍） 18. （本小题满分12分）已知数列的前项和为， （1）证明：数列为等差数列； （2）若数列bn满足，求数列bn的前项和Tn.【解析】（1）时， 即同除以得为等差数列，首项为1，公差为1 （2）由（1）知 19. （本小题满分12分）已知函数（1）求函数的最大值并指出取最大值时的取值集合；（2）若为锐角，求的值.【解析】（1） 令 得所以最大值为2，此时的取值集合为 （2）由为锐角，得 又 20. （本小题满分12分）已知四棱锥的底面ABCD是直角梯形，AD/BC，E
6、为CD的中点，（1）证明:平面PBD平面ABCD；（2）若，PC与平面ABCD所成的角为，试问“在侧面PCD内是否存在一点N，使得平面PCD？”若存在，求出点N到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明:由四边形ABCD是直角梯形, AB=，BC=2AD=2，ABBC，可得DC=2,BCD=，从而BCD是等边三角形,BD=2,BD平分ADC. E为CD的中点,DE=AD=1,BDAE,又PBAE,PBBD=B,AE平面PBD. 又AE平面ABCD平面PBD平面ABCD. (2) 在平面PBD内作POBD于O,连接OC,又平面PBD平面ABCD,平面PBD平面ABCD=BD
7、,PO平面ABCDPCO为PC与平面ABCD所成的角, 则PCO= 易得OP=OC= PB=PD,POBD,O为BD的中点,OCBD.以OB,OC,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(0,0),D(-1,0,0),P(0,0,), 假设在侧面内存在点，使得平面成立，设，易得 由得，满足题意 所以N点到平面ABCD的距离为 21. （本小题满分12分）（1）已知，证明：当时，； （2）证明：当时，有最小值，记最小值为，求的值域.【解析】（1）证明：在上单增 时，即时， （2） 由在上单增且 知存在唯一的实数，使得，即 单减；单增 ，满足 记，则在上单减 所以的值域为 22. （本小题满分10分）已知函数（1）解不等式；（2）若函数最小值为，且，求的最小值.【解析】（1）当时，无解 当时，得 当时，得 所以不等式解集为 （2） 当且仅当时取等 当且仅当时取等 所以当时，最小值为4，即， 所以 所以 当且仅当且即时取“=” 所以最小值为