1、宁夏长庆高级中学2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 满足条件的所有集合A的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】由易知：集合A，而集合的子集个数为22=4故选D2. 下列函数中，没有零点的是（ ）A. B. C D. 【答案】C【解析】【分析】分别解函数对应的方程，逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，由可得，即函数有零点；B选项，由得，即函数有零点；C选项，由解得，不存在，即函数没有零点；D选项，由解得或，即函数有零点.故选：C.3
2、. 如图所示，是全集，、是的子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据韦恩图可看出阴影部分所表示的集合是.4. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】D【解析】【分析】根据初等函数的性质，分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同，对每个选项逐一判断即可.【详解】对于A，函数，所以两个函数的对应法则不相同，故A错误；对于B，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，故B错误；对于C，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，故C错误；对于D，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域和对应法则相
3、同，故选D【点睛】本题考查函数的三要素：定义域、值域、对应关系，相同的函数必然具有相同的定义域、值域、对应关系要使数与的同一函数，必须满足定义域和对应法则完全相同即可，注意分析各个选项中的个函数的定义域和对应法则是否相同，通常的先后顺序为先比较定义域是否相同，其次看对应关系或值域.5. 函数的零点所在区间应是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别计算，根据零点存性定理，即可得出结果.【详解】因为，所以，由零点存在性定理，可得函数的零点所在区间应是，即C正确，ABD错误.故选：C.6. 已知，f(3)g(3)baB. bcaC. acbD. abc【答案】D【解析】试题分析
4、：，；且；.考点：对数函数的单调性.11. 已知函数满足：，则；当时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题中条件，由函数解析式，逐步计算，即可得出结果.【详解】因为，所以故选：B.12. 设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由f(x)为奇函数可知，0时，f(x)0f(1)；当x0f(1)又f(x)在(0，)上为增函数，奇函数f(x)在(，0)上为增函数所以0x1，或1x0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应
5、在外层函数的定义域内二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 已知函数，则_.【答案】【解析】【分析】根据函数解析式，由内而外，逐步计算，即可得出结果.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.14. 若函数，且，则的值为_.【答案】【解析】【分析】令，判定其奇偶性，根据题中条件，求出，结合奇偶性求出，即可得出结果.【详解】令，则，所以是奇函数；又，所以，因此，所以.故答案为：.15. 给出下列结论：；，的值域是2，5；幂函数图象一定不过第四象限；函数的图象过定点 ；若成立，则的取值范围是. 其中正确的序号是 _【答案】 【解析】试题分析：正确应为；的值域是1，5；忽略了真数的取
6、值范围，的取值范围应为.考查了幂函数的性质，正确；由，即时恒等于1，此时，即过函数的图象过定点故正确.考点：（1）根式的运算；（2）二次函数的值域；（3）幂函数的性质；（4）指数函数及对数函数的性质.16. 函数（，且）的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则=_.【答案】27【解析】【分析】令真数为1，可得定点的坐标，用待定系数法设出幂函数解析式，代入的坐标，可得幂函数解析式，从而可得.【详解】解：令，得，此时，故，设幂函数解析式，依题意有，即，解得，所以，所以.故答案为：27.【点睛】本题考查了对数型函数过定点问题，幂函数概念，待定系数法，属于基础题.三.解答题（本大题共6个小题，共70分，解
7、答时应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤）17. 化简：（1）（2）【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）根据根式与指数幂的互化公式，以及指数幂的运算法则，直接计算，即可得出结果；（2）根据对数的运算法则，直接计算，即可得出结果.【详解】（1）原式；原式 .18. 设Ax|2x2ax20，Bx|x23x2a0，AB2(1)求a的值及A、B；(2)设全集IAB，求(IA)(IB)；(3)写出(IA)(IB)的所有子集【答案】（1） （2）（3）【解析】试题分析：（1）将代入 即可求出， 再分别代入即可求得 .（2）根据并集定义即求 根据补集定义求出 ，再由并集定义求出 .（3）根据
8、子集定义写出所求子集.试题解析： (1)因为 ，所以 ，得 ，所以 ， (2)因为，所以，所以 .(3) 的所有子集为 .19. 已知 ， .（1）证明：是定义域上的减函数；（2）求的最大值和最小值.【答案】（1）证明见解析；（2），.【解析】【分析】（1）设，作差比较与，根据单调性的定义，即可证明结论成立；（2）根据（1）的结论，可直接得出结果.【详解】（1）证明：设 ，则 ，因为 ， ， ，所以 ，即 .所以是定义域上的减函数.（2）由（1）的结论可得，在上单调递减；所以，.20. 已知幂函数.(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，)，试
9、确定m的值，并求满足条件f(2a)f(a1)的实数a的取值范围【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】【详解】试题分析:(1)先判断幂函数的指数的奇偶,由m与m1中必定有一个为偶数,可知m2m为偶数,可得函数开偶次方,即函数定义域为0，),且在定义域内单调递增;(2)由过点(2，)和mN*求出m的值,进而得出函数的定义域和单调性,列出不等式解出a的范围即可.试题解析:（1）m为正整数，则：m2+mm（m+1）为偶数，令m2+m2k，则：，据此可得函数的定义域为0，+），函数在定义域内单调递增（2）由题意可得：，求解关于正整数m的方程组可得：m1（m2舍去），则：，不等式f（2a）f（a
10、1）脱去f符号可得：2aa10，求解不等式可得实数a的取值范围是：点睛:本题考查幂函数的定义和性质,属于中档题. 第一问先判断幂函数的指数的奇偶,由m与m1中必定有一个为偶数,可知m2m为偶数,可得函数开偶次方,即函数定义域为0，),且在定义域内单调递增;第二问由过点(2，)和mN*求出m的值,进而得出函数的定义域和单调性, 写出f(2a)f(a1)的等价条件求解即可.21. 美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元
11、，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示.（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；（2）现在公司准备投入亿元资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.【答案】（1）对于芯片，毛收入与投入的资金关系为：；对于芯片，毛收入与投入的资金关系为：.（2）9千万元.【解析】【分析】（1）对于芯片，可设，利用题设条件可求，对于芯片，根据图象可得关于的方程，解方程后可得函数的解析式.（2）设对芯片投入资金（千万元），则对芯片投入资金（千万元），则利润，利用换元法可求该函数的最大值.【详解】（1）因
12、为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，故设，因为每投入千万元，公司获得毛收入千万元，故，所以，因此对于芯片，毛收入与投入的资金关系为：.对于芯片，由图像可知，故.因此对于芯片，毛收入与投入的资金关系为：.（2）设对芯片投入资金（千万元），则对芯片投入资金（千万元），假设利润为，则利润.令，则，当即（千万元）时，有最大利润为（千万元）.答：当对芯片投入亿，对芯片投入千万元时，有最大利润千万元.【点睛】本题考查无理函数在实际中的应用，注意根据解析式的形式换元求最大值，本题属于基础题.22. 已知函数在区间上的最小值为（1）求函数的解析式（2）定义在上的函数为偶函数，且当时，若，求实数的取值范围【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）函数的对称轴，讨论对称轴所在的区间即可求解（2）根据已知定义在函数为偶函数，再对其单调性进行研究可知，即，实数的取值范围即可求解【详解】（1）因为，所以当时，此时当时，函数在区间上单调递减，所以综上可知（2）因为当时，所以当时，易知函数在上单调递减，因为定义在上的函数为偶函数，且，所以，解得或综上所述，实数的取值范围为【点睛】本题主要考查函数的性质，求二次函数在闭区间上的最值问题主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论是哪种类型，解决的关键是明确对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论