1、2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面学 习 目 标核 心 素 养1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法(难点)2能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系(重点)3能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用(难点、易错点)1.通过对平面有关概念的学习，培养直观想象的数学核心素养2通过平面基本性质的应用，培养逻辑推理、直观想象的数学核心素养1平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的几何里的平面是无限延展的思考：一个平面能否把空间分成两部分？提示因为平面是无限延展的，所以一个平面能把空间分成两部分2平面的
2、画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45角，且横边长等于其邻边长的2倍如图.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来如图.3平面的表示法上图的平面可表示为平面、平面ABCD、平面AC或平面BD4平面的基本性质公理内容图形符号公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内Al，Bl，且A，Bl公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的平面使A，B，C公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P，Pl且Pl思考：经过空间任意三点能确定一个平面吗？
3、提示不一定，只有经过空间不共线的三点才能确定一个平面1用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”，正确的是()AAl，lBAl，lCAl，l DAl，l答案B2如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为()A平面MN B平面NQPC平面 D平面MNPQA表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP，选A.3任意三点可确定平面的个数是()A0B1 C2D1或无数个D当这三点共线时，可确定无数个平面；当这三点不共线时，可确定一个平面4将下面用符号语言表示的关系用文字语言予以叙述，并用图形语言表示l，Al，AB，AC.解文字语言叙述：点A在平面与平面的交线l上，直线AB，AC分别在平
4、面，内图形语言表示(如图所示).立体几何三种语言的相互转化【例1】用符号表示下列语句，并画出图形(1)平面与相交于直线l，直线a与，分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面内，直线a与平面交于点C，点C不在直线AB上解(1)用符号表示：l，aA，aB，如图(2)用符号表示：A，B，aC，CAB，如图三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示(2)要注意符号语言的意义. 如点与直线的位置关系只能用“”或“”，直线与平面的位置关系只能用“”或“”(3)由符号语言或文字语言画相应的图形
5、时，要注意实线和虚线的区别1用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面，相交于一点P，且平面与平面相交于PA，平面与平面相交于PB，平面与平面相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解(1)符号语言表示：P，PA，PB，PC，图形表示：如图.(2)符号语言表示：平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC，图形表示：如图.点线共面问题【例2】如图，已知：a ，b，abA，Pb，PQa，求证：PQ.证明PQa，PQ 与 a 确定一个平面.直线a，点 P.Pb，b，P.又a，与重合PQ.解决点线共面问题的基本方法2求证：两两相交且不过同一
6、点的三条直线必在同一个平面内解已知：ABACA，ABBCB，ACBCC.求证：直线AB，BC，AC共面证明：法一：因为ACABA，所以直线AB，AC可确定一个平面.因为BAB，CAC，所以B，C，故BC.因此直线AB，BC，AC都在平面内，所以直线AB，BC，AC共面法二：因为A不在直线BC上，所以点A和直线BC可确定一个平面.因为BBC，所以B，又A，所以AB.同理AC，故直线AB，BC，AC共面法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，所以A，B，C三点可以确定一个平面.因为A，B，所以AB，同理BC，AC，故直线AB，BC，AC共面点共线、线共点问题探究问题1如图，在正方体ABCDA1B
7、1C1D1中，设A1C平面ABC1D1E.能否判断点E在平面A1BCD1内？提示如图，连接BD1，A1C平面ABC1D1E，EA1C，E平面ABC1D1.A1C平面A1BCD1，E平面A1BCD1.2上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？提示由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又EBD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线【例3】如图，已知平面， ， 且l. 设梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD.求证：AB，CD，l共点(相交于一点).思路探究：证明因为梯形ABCD中，ADBC，所以AB，CD是梯形ABCD的两腰.所以AB，CD必定相交于一点.设ABCDM. 又因为
8、AB，CD，所以M，M.所以M.又因为l，所以Ml.即AB，CD，l共点(相交于一点).本例变为：如图所示，在空间四边形各边AD、AB、BC、CD上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH交于一点P，求证：点P在直线BD上证明若EF、GH交于一点P，则E，F，G，H四点共面，又因为EF平面ABD，GH平面CBD，平面ABD平面CBDBD，所以P平面ABD，且P平面CBD，由公理3可得PBD. 所以点P在直线BD上.1证明三点共线的方法(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知，这些点都在两个平面的交线上(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上
9、2证明三线共点的步骤(1)首先说明两条直线共面且交于一点(2)说明这个点在另两个平面上，并且这两个平面相交(3)得到交线也过此点，从而得到三线共点1立体几何的三种语言图形语言、符号语言、文字语言是立体几何的三大语言，要准确实现这三种语言的相互转换2三个公理的作用公理1判定直线在平面内的依据；公理2判定点共面、线共面的依据；公理3判定点共线、线共点的依据3证明几点共线的方法：首先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点. 或先由某两点作一条直线，再证明其他点也在这条直线上1有以下结论：平面是处处平的面；平面是无限延展的；平面的形状是平行四边形；一个平面的厚度可以是0.001 cm.
10、其中正确的个数为()A1B2C3D4B平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，两种说法是正确的；两种说法是错误的故选B.2在空间中，可以确定一个平面的条件是()A两两相交的三条直线B.三条直线其中的一条直线与另外两条分别相交C.三个点D三条直线，它们两两相交，但不交于同一点D三条直线若交于同一点，可以有多个平面，共线的三个点可以有多个平面，这里三条两两相交且不共点的直线确定一个平面故应选D.3如果点A在直线a上，而直线a在平面内，点B在平面内，则可以表示为()AAa，a，B BAa，a，BCAa，a，B DAa，a，BB点A在直线a上，而直线a在平面内，点B在平面内，表示为Aa，a，B.4如图，已知D，E是ABC的边AC，BC上的点，平面经过D，E两点，若直线AB与平面的交点是P，求证：点P在直线DE上证明因为PAB，AB平面ABC，所以P平面ABC.又P，平面ABC平面DE，所以P直线DE.所以点P在直线DE上.