1、永济市涑北中学校2013-2014学年学科竞赛高一数学试题2014年5月6日 满分150分 用时120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。1某同学使用计算器求50个数据的平均数时，错将其中的一个数据150输入为15，那么由此求出的平均值与实际平均值的差是（ ）A B C3 D2设集合，则等于（ ） A B C D3已知，则与的关系是（ ）A或 B C D4将向量按向量平移得到向量，则（ ）A B C5 D5已知函数满足，则的值为（ ）A3 B2 C1 D6函数的零点个数为（ ）A B C D7记为坐标原点，已知向量，又有点，满足， 则的取值范围为（ ）A B C D 8已知
2、，则是直角三角形的概率是（ ）A BC D 9已知，则函数的最小值是（ ）A B C D10已知为的最小内角，若向量，则的取值范围是（ ）A B C D开 始否是(12题图)结 束二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分11同时抛掷三枚均匀的硬币，出现两个正面一个背面的概率是 12如图执行右面的程序框图，那么输出的值为 13函数的值域是 （其中表示不超过实数的最大整数）14. 已知定义域为的函数对任意都满足条件 与，则对函数，下列结论中必定正确的是 （填上所有正确结论的序号） 是奇函数； 是偶函数；是周期函数； 的图象是轴对称的15若为整数，关于的方程有整数根，则 16函数的值域是 1
3、7 方程的解集为 三、解答题：本大题共3小题，共51分18（本题满分16分） 已知函数 求的最小正周期和的值域；若为的一个零点，求的值19（本题满分17分）如图，已知O为的外心，角A、B、C的对边，且满足。推导出三边之间的关系式； 求的值。20. （本题满分18分）定义在正实数集上的函数满足下列条件：存在常数，使得；对任意实数, 当时，有求证：对于任意正数，；证明：在正实数集上单调递减； 若不等式恒成立，求实数的取值范围命题人：王慧鹏高一数学答卷页二、填空题11_12_13_14_15_16_17_三、解答题（16分+17分+18分=51分）181920高一年级数学竞赛答案一、选择题：本大题共
4、10小题，每小题5分，共50分1解:求出的平均值实际平均值,选B2解：可得,所以,选C3解:由于,与的终边位置相同或关于轴对称,所以或,合并得选D4解：由向量平移的不变性可知，.选C5. 解：的周期由已知条件，可求得，故6解：，所以的零点个数即函数与函数的交点的个数，作图可知有个交点，选D7解：，点在以点为圆心，为半径的圆周上可得，如图可知，当直线与圆周相切时，有最大值为，当三点共线时有最小值为，所以的取值范围为选A8解：由与构成三角形及知，可得 与垂直，则；若与垂直，则（舍去）；若与垂直，或（舍去）；综上知，满足要求的有个，所求概率为故选 D9. 解：，当时，当时,.故选D10. 解：， 故
5、选C二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分11解：同时抛掷三枚均匀硬币出现的等可能基本事件共有种，其 中两个正面一个背面的情况有（正，正，背），（正，背，正）与（背，正，正）三种，故所求概率为12解：13解：，所以 的所有可能取值为，从而值域为14解：由知有周期，于是，知 为奇函数，填15解：设为方程的整数根，则，必有或得或16. 解：由函数得：当x的终边落在第一象限时,有f (x)=sin2x(0,1；当x的终边落在第二象限时,有f (x)=0；当x的终边落在第三象限时,有f (x)=sin2x1,0)；当x的终边落在第四象限时,有f (x)=0；当x的终边落在两个坐标轴上时,有f
6、 (x)=0. 综上所述, f (x)的值域是.17. 解：令，则，原方程的解集为三、解答题：本大题共3小题，共51分18解： .4分所以的最小正周期；.5分由，得的值域为.7分，由题设知，.8分由，结合知，可得.10分，.12分，.14分.16分19解:（1）取AB、AC的中点E、F，则同理；所以8分（2）20.(本题满分18分)证明：均为正数，且，根据指数函数性质可知，总有实数使得，于是，.2分又， .5分证明：任设，可令，.7分则由知，.9分即在正实数集上单调递减；.10分解：令，原不等式化为，其中且，不等式可进一步化为，.12分又由于单调递减，对于恒成立.13分而，.15分且当时.16分，又，终得.18分
