1、1.2.3空间几何体的直观图学 习 目 标核 心 素 养1.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤(重点)2会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图(难点)3强化三视图、直观图、原空间几何体形状之间的相互转换(易错、易混点)通过学习空间几何体直观图的画法，培养直观想象、逻辑推理、数学运算的数学核心素养1斜二测画法我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面多边形的直观图斜二测画法是一种特殊的平行投影画法2平面图形直观图的画法及要求思考：相等的角在直观图中还相等吗？提示不一定例如正方形的直观图为平行四边形3空间几何体直观图的画法(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直
2、观图中与之对应的是z轴；(2)平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面；(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线思考：空间几何体的直观图唯一吗？提示不唯一作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同1长方形的直观图可能为下图中的哪一个()A.BC. DC由斜二测画法知，平行线依然平行，但是直角不再是直角，所以正确2梯形的直观图是()A.梯形 B矩形C.三角形 D任意四边形A斜二测画法中平行性保持不变，故梯形的直观图仍是梯形3水平放置的ABC的斜二测直观图如图所示，已知AC3，BC2，则AB边上的
3、中线的长度为_根据斜二测画法可知，ABC为直角三角形，且AC3，BC2BC4.AB5.故AB边上的中线的长度为.平面图形的直观图【例1】(1)如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图ABCD中，顶点B到x轴的距离为_正方形的直观图ABCD如图：因为OABC1，BCx45，所以顶点B到x轴的距离为1sin 45.(2)用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图解画法：在下图中作AGx轴于G，作DHx轴于H.在图中画相应的x轴与y轴，两轴相交于点O，使xOy45.在图中的x轴上取OBOB，OGOG，OCOC，OH
4、OH，y轴上取OEOE，分别过G和H作y轴的平行线，并在相应的平行线上取GAGA，HDHD；连接AB，AE，ED，DC，并擦去辅助线GA，HD，x轴与y轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图ABCDE(如图).画平面图形的直观图的技巧(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段1画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示解(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x
5、轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系画相应的x轴和y轴，使xOy45，如图所示(2)在x轴上截取OBOB，在y轴上截取ODOD，过点D作x轴的平行线l，在l上沿x轴正方向取点C使得DCDC.连接BC，如图.(3)擦去辅助线，所得四边形OBCD就是直角梯形OBCD的直观图如图.画空间几何体的直观图【例2】已知某几何体的三视图如图，请画出它的直观图(单位：cm).解画法：(1)如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使xOy45，xOz90.(2)以O为中点，在x轴上取线段OB8 cm，在y轴上取线段OA2 cm，以OB和OA为邻边作平行四边形OBBA.(3)在z轴上取线段OC
6、4 cm，过C分别作x轴、y轴的平行线，并在平行线上分别截取CD4 cm，CC2 cm.以CD和CC为邻边作平行四边形CDDC.(4)成图连接AC，BD，BD，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到该几何体的直观图(如图).画空间几何体时，首先按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，所以画空间多面体的步骤可简单总结为：2用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm，3 cm，2 cm的长方体ABCDABCD的直观图解画法：(1)画轴如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使xOy45，xOz90.(2)画底面以
7、点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.(3)画侧棱过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA，BB，CC，DD.(4)成图顺次连接A，B，C，D，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图直观图的还原与计算探究问题1如图，ABC是水平放置的ABC斜二测画法的直观图，能否判断ABC的形状？提示根据斜二测画法规则知：ACB90，故ABC为直角三角形2若探究1
8、中ABC的AC6，BC4，则AB边的实际长度是多少？提示由已知得ABC中，AC6，BC8，故AB10.3如图所示，ABC是水平放置的ABC的直观图，则在ABC的三边及中线AD中，最长的线段是哪个？提示由直观图可知ABC是以B为直角的直角三角形，所以斜边AC最长【例3】(1)如图，RtOAB是一个平面图形的直观图，若OB，则这个平面图形的面积是()A.1BC2D4(2)如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图若A1D1Oy，A1B1C1D1，A1B1C1D12，A1D1OD11.试画出原四边形，并求原图形的面积思路探究：逆用斜二测画法，还原图形先定点，再连线得原图形，求面积(1
9、)C由题图知，OAB为直角三角形OB，AB，OA2.在原OAB中，OB，OA4，SOAB42.选C.(2)解：如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取ODOD11；OCOC12.在过点D与y轴平行的直线上截取DA2D1A12.在过点A与x轴平行的直线上截取ABA1B12.连接BC，便得到了原图形(如图).由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB2，CD3，直角腰长度为AD2.所以面积为S25.1本例(2)中的条件改为如图所示的直角梯形，ABC45，ABAD1，DCBC，求原图形的面积解如图，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为点E，则在RtABE中，AB1，ABE45，所
10、以BE.而四边形AECD为矩形，AD1，所以ECAD1.所以BCBEEC1.由此可还原原图形如图，是一个直角梯形在原图形中，AD1，AB2，BC1，且ADBC，ABBC，所以原图形的面积为S(ADBC)AB22.2本例(1)若改为“已知ABC是边长为a的正三角形，求其直观图ABC的面积”，应如何求？解由斜二测画法规则可知，直观图ABC一底边上的高为aa，所以SABCaaa2.3本例(1)中直观图中OAB的面积与原图形面积之比是多少？解由(1)中直观图可得SOAB1，原图形面积为SOAB2.所以.1直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x轴、y轴平行的直线或线段，且平行于x轴的线段还原
11、时长度不变，平行于y轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可2直观图与原图形面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S，则有SS或S2S.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积1斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形2在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小3平面多边形与其直观图
12、面积的关系一个平面多边形的面积为S原，斜二测画法得到的直观图的面积为S直则S直S原(S原2S直).1用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是()A.原来相交的仍相交B原来垂直的仍垂直C.原来平行的仍平行 D原来共点的仍共点B由斜二测画法规则知，B选项错误故选B.2利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是()ABCDC正方形的直观图应是一个内角为45的平行四边形，且相邻的两边之比为21，故选C.3如图，平行四边形OPQR是四边形OPQR的直观图，若OP3，OR1，则原四边形OPQR的周长为_10由直观图可知，原图形是矩形OPQR，且OP3，OR2.故原四边形OPQR的周长为10.4画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图解(1)过点C作CEx轴，垂足为点E，如图所示，画出对应的x轴、y轴，使xOy45，如图所示(2)如图所示，在x轴上取点B，E，使得OBOB，OEOE；在y轴上取一点D，使得ODOD；过点E作ECy轴，使ECEC.(3)连接BC，CD，并擦去x轴与y轴及其他一些辅助线，如图所示，四边形OBCD就是所求的直观图