1、第1页高考调研 高三总复习 数学（理）第9课时 抛 物 线(一)第2页高考调研 高三总复习 数学（理）2016 考纲下载 第3页高考调研 高三总复习 数学（理）1掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质2了解抛物线的简单应用第4页高考调研 高三总复习 数学（理）请注意1抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点 2考题以选择题、填空题为主，多为中低档题第5页高考调研 高三总复习 数学（理）课前自助餐 第6页高考调研 高三总复习 数学（理）抛物线的定义平面内与一定点和一条定直线(定点不在定直线上)的距离相等的点的轨迹叫抛物线第7页高考调研 高三总复习
2、数学（理）抛物线的标准方程、焦点坐标、准线方程图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)(p2，0)xp2y22px(p0)(p2，0)xp2第8页高考调研 高三总复习 数学（理）x22py(p0)(0，p2)yp2 x22py(p0)(0，p2)yp2第9页高考调研 高三总复习 数学（理）抛物线 y22px(p0)的几何性质(1)离心率：e 1(2)p 的几何意义：焦点到准线的距离(3)焦半径：|MF|p2x0，其中 M(x0，y0)第10页高考调研 高三总复习 数学（理）1判断下面结论是否正确(打“”或“”)(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线
3、(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切第11页高考调研 高三总复习 数学（理）(3)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是 xa4.(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形(5)AB 为抛物线 y22px(p0)的过焦点 F(p2，0)的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2p24，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.第12页高考调研 高三总复习 数学（理）答案(1)(2)(3)(4)(5)第13页高考调研 高三总复习 数学（理）2(2015陕西文)已知抛物线 y22px(p0)的准线经过点(
4、1，1)，则抛物线焦点坐标为()A(1，0)B(1，0)C(0，1)D(0，1)第14页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 B解析 因为抛物线的准线方程为 xp21，p21，焦点坐标为(1，0)，故选 B.第15页高考调研 高三总复习 数学（理）3(2014安徽文)抛物线 y14x2 的准线方程是()Ay1 By2Cx1 Dx2第16页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 A解析 抛物线 y14x2 的标准方程为 x24y，所以其准线方程为 y1.第17页高考调研 高三总复习 数学（理）4设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是_答案 6第18
5、页高考调研 高三总复习 数学（理）5已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点 P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_答案 y28x 或 x2y第19页高考调研 高三总复习 数学（理）授人以渔 第20页高考调研 高三总复习 数学（理）题型一 抛物线定义的应用例 1(1)动圆与定圆 A：(x2)2y21 外切，且和直线 x1 相切，则动圆圆心的轨迹是()A直线 B椭圆C双曲线D抛物线第21页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】设动圆的圆心为 C，则 C 到定圆 A：(x2)2y21 的圆心的距离等于动圆的半径 r1，而动圆的圆心到直线 x1 的距离等于 r，所以动圆到直线 x2 距离
6、为 r1，根据抛物线的定义知，动圆的圆心轨迹为抛物线，所以答案为 D.【答案】D第22页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段 AB 的中点 D 到 y 轴的距离为()A.34B1C.54D.74第23页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】因为抛物线 y2x 的准线方程为 x14.如图所示，过点 A，B，D 分别作直线 x14的垂线，垂足分别为 G，E，M，因为|AF|BF|3，根据抛物线的定义，|AG|AF|，|BE|BF|，第24页高考调研 高三总复习 数学（理）所以|AG|BE|3，所以|MD|B
7、E|AG|232，所以线段 AB 的中点到 y 轴的距离为321454，故选 C.【答案】C第25页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 1“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径第26页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 1(1)平面内满足：（x1）2（y1）2|xy2|2的动点(x，y)的轨迹是_第27页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】点(1，1)在直线 xy20 上，轨迹是过点(1，1)且斜率为 1 的直线【答案】直线第28页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)在抛物线 y24
8、x 上找一点 M，使|MA|MF|最小，其中A(3，2)，F(1，0)，求 M 点的坐标及此时的最小值第29页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】如图点 A 在抛物线 y24x 的内部，由抛物线的定义可知，|MA|MF|MA|MH|，其中|MH|为 M 到抛物线的准线的距离 第30页高考调研 高三总复习 数学（理）过 A 作抛物线准线的垂线交抛物线于 M1，垂足为 B，则|MA|MF|MA|MH|AB|4，当且仅当点 M 在 M1 的位置时等号成立 此时 M1 点的坐标为(1，2)【答案】M(1，2)，最小值为 4第31页高考调研 高三总复习 数学（理）题型二 求抛物线的标准方程例 2(1
9、)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P(4，2)的抛物线的标准方程是()Ay2x Bx28yCy28x 或 x2y Dy2x 或 x28y第32页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】若焦点在 x 轴上，设抛物线方程为 y2ax，将点P(4，2)的坐标代入，得 a1，所以抛物线的标准方程 y2x；若焦点在 y 轴上，设方程为 x2by，将点 P(4，2)的坐标代入，得 b8，所以抛物线的标准方程为 x28y.故所求抛物线的标准方程是 y2x 或 x28y.【答案】D第33页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)已知抛物线的方程为标准方程，焦点在 x 轴上，其上点P(3，m)到焦点的距离为
10、5，则抛物线方程为()Ay28x By28xCy24x Dy24x第34页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】依题意得，p2(3)5，p4.抛物线方程为 y28x.【答案】B第35页高考调研 高三总复习 数学（理）(3)如图，过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于点 A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则抛物线的方程为()Ay232x By23xCy292x Dy29x第36页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】如图，分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D，设|BF|a，则由已知得|BC|2a，由定义得|BD|a，故BCD30.第
11、37页高考调研 高三总复习 数学（理）在直角三角形 ACE 中，|AE|AF|3，|AC|33a，2|AE|AC|，33a6，从而得 a1.BDFG，|BD|FG|BC|FC|,即1p23，求得 p32，因此抛物线的方程为 y23x.【答案】B第38页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 2 求抛物线的标准方程除可以用定义法和待定系数法外，还可以利用统一方程法，对于焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为 y2ax(a0)，a 的正负由题设来定，也就是说，不必设为 y22px 或 y22px(p0)，这样能减少计算量，同理，焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程可设为 x2ay(a0)第39页
12、高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 2 试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(3，2)；(2)焦点在直线 x2y40 上第40页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)设所求抛物线的方程 y22px(p0)或 x22py(p0)过点(3，2)，42p(3)或 92p2.p23或 p94.所求抛物线的标准方程为 y243x 或 x292y，对应的准线方程分别是 x13，y98.第41页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)令 x0，得 y2，令 y0，得 x4.抛物线的焦点为(4，0)或(0，2)当焦点为(4，0)时，p24，p8，此时抛物线方程
13、为 y216x；当焦点为(0，2)时，p22，p4，此时抛物线方程为 x28y.第42页高考调研 高三总复习 数学（理）所求的抛物线的标准方程为 y216x 或 x28y，对应的准线方程分别是 x4，y2.第43页高考调研 高三总复习 数学（理）【答案】(1)y243x 或 x292y对应的准线方程分别是 x13，y98(2)y216x 或 x28y对应的准线方程分别是 x4，y2第44页高考调研 高三总复习 数学（理）题型三 抛物线的几何性质例 3(1)已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若FP4FQ，则|QF|()A.
14、72B.52C3 D2第45页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】利用FP4FQ转化长度关系，再利用抛物线定义求解第46页高考调研 高三总复习 数学（理）FP4FQ，|PQ|PF|34.如图，过 Q 作 QQl，垂足为 Q，设 l 与 x 轴的交点为 A，则|AF|4，|PQ|PF|QQ|AF|34.|QQ|3，根据抛物线定义可知|QQ|QF|3，故选 C.【答案】C第47页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)已知抛物线 y22px(p0)的准线与曲线 x2y26x70相切，则 p 的值为()A2 B1C.12D.14第48页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】注意到抛物线 y22p
15、x 的准线方程是 xp2，曲线 x2y26x70，即(x3)2y216 是圆心为(3，0)，半径为 4 的圆，于是依题意有|p23|4.因为 p0，所以有p234，解得 p2，故选 A.【答案】A第49页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 3 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此 第50页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 3(1)已知 P 是抛物线 y24x 上一动点，则点 P到直线 l：2xy30 和 y 轴的距离之和的最小值是()A.3 B.5C2 D.51第51页高考调研 高三总复习 数学（理）【解
16、析】由题意知，抛物线的焦点为 F(1，0)设点 P 到直线 l 的距离为 d，由抛物线的定义可知，点 P 到 y 轴的距离为|PF|1，所以点 P 到直线 l 的距离与到 y 轴的距离之和为 d|PF|1.易知 d|PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离，故 d|PF|的最小值为|23|22（1）2 5，所以 d|PF|1 的最小值为 51.【答案】D第52页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A，B 两点，交准线于 C 点，若CB 3BF，则直线 l 斜率为_第53页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】作 BB1 垂直
17、于准线，B1 为垂足，由抛物线定义可知，|BB1|BF|，|BC|3|BB1|.在 RtB1BC 中，tanB1BC2 2.tan2 2(为倾斜角)由对称性可知，斜率还可等于2 2.斜率为2 2.【答案】2 2第54页高考调研 高三总复习 数学（理）题型四 抛物线的切线例 4(2016湖北襄阳联考)已知抛物线 C：x24y 的焦点为F，P 是抛物线 C 上异于原点的任一点，直线 PF 与抛物线的另一交点为 Q.设 l 是过点 P 的抛物线 C 的切线，l 与直线 y1，x轴的交点分别为 A，B.(1)求证：AFPQ；(2)过 B 作 BCPQ 于 C，若|PC|QF|，求|PQ|.第55页高考
18、调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)设 P(m，m24)，由 x24y，得 y14x2.y12x.则过点 P 的切线方程为 ym2xm24，得 A 的坐标(m22m，1)又 F(0，1)，所以FP(m，m24 1)，FA(m242m，2)第56页高考调研 高三总复习 数学（理）所以FPFAmm242m(m24 1)(2)0.所以 AFPQ.第57页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)分别过 B，P 作直线 y1 的垂线，垂足为 D，E，因为 BCAF，所以|FC|FP|AB|AP|BD|PE|.因为|FP|PE|，所以|FC|BD|1.设直线 PQ 的方程为 ykx1，代入 C：x24
19、y，得 x24kx40.第58页高考调研 高三总复习 数学（理）所以 mxQ4，所以 xQ4m，所以 yQ 4m2.所以|PF|m24 1，|QF|4m21，所以|PC|m24.由|PC|QF|，得 4m21m24.即 m44m2160，得 m222 5.所以|PQ|m24 4m22 52.【答案】(1)略(2)52第59页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 4 焦点在 y 轴上的抛物线可以看作二次函数的图像，可以借助二次函数的性质解决抛物线问题，比如可以用导数求曲线上一点的切线第60页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 4 已知抛物线 C：y2x2，直线 ykx2 交 C于 A，B 两
20、点，M 是线段 AB 的中点，过 M 作 x 轴的垂线交 C于点 N.证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行第61页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】设 A(x1，2x12)，B(x2，2x22)，把 ykx2 代入 y2x2，得 2x2kx20.由韦达定理，得 x1x2k2，x1x21.xNxMx1x22k4，N 点的坐标为(k4，k28)第62页高考调研 高三总复习 数学（理）y2x2，y4x.抛物线在点 N 处的切线 l 的斜率为 4k4k，lAB.【答案】略第63页高考调研 高三总复习 数学（理）(1)求抛物线的标准方程常采用待定系数法，未知数只有 p，可利用题中已知
21、条件确定 p 的值注意抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量(2)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征.第64页高考调研 高三总复习 数学（理）自 助 餐 第65页高考调研 高三总复习 数学（理）1若抛物线 yax2 的焦点坐标是(0，1)，则 a()A1 B.12C2 D.14第66页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 D解析 因为抛物线的标准方程为 x21ay，所以其焦点坐标为(0，14a)，则有 14a1，a14，故选 D.第67页高考调研 高三总复习 数学（理）2抛物线 y4x2 关于直线 xy
22、0 对称的抛物线的准线方程是()Ay1 By 116Cx1 Dx 116第68页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 D解析 抛物线 x214y 的准线方程为 y 116，关于 xy 对称的准线方程 x 116为所求第69页高考调研 高三总复习 数学（理）3已知点 P(a，b)是抛物线 x220y 上一点，焦点为 F，|PF|25，则|ab|()A100 B200C360 D400第70页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 D解析 根据抛物的定义，准线方程为 y5，|PF|b525，b20.又点 P(a，b)是抛物线 x220y 上一点，a22020，a20，|ab|400.第71页高考调研
23、 高三总复习 数学（理）4(2013江西)抛物线 x22py(p0)的焦点为 F，其准线与双曲线x23 y23 1 相交于 A，B 两点，若ABF 为等边三角形，则 p_第72页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 6解析 如图，在正三角形 ABF 中，|DF|p，|BD|33 p，B 点坐标为(33 p，p2)又点 B 在双曲线上，故13p23 p243 1，解得 p6.第73页高考调研 高三总复习 数学（理）5已知点 A(2，3)在抛物线 C：y22px 的准线上，过点A 的直线与 C 在第一象限相切于点 B，记 C 的焦点为 F，则直线BF 的斜率为()A.12B.23C.34D.43第74页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 D解析 先确定切线的方程，再联立方程组求解 抛物线 y22px 的准线为直线 xp2，而点 A(2，3)在准线上，所以p22，即 p4，从而 C：y28x，焦点为 F(2，0)设切线方程为 y3k(x2)，代入 y28x 得k8y2y2k30(k0).由于 14k8(2k3)0，所以 k2 或 k12.因为切点在第一象限，所以 k12.第75页高考调研 高三总复习 数学（理）将 k12代入中，得 y8，再代入 y28x 中得 x8，所以点 B 的坐标为(8，8)，所以直线 BF 的斜率为8643.请做：题组层级快练（五十五）