1、数学 第三部分 教材知识 重点再现 回顾2 函数与导数02 必 会 结 论 03 必 练 习 题 01 必 记 知 识 必记知识1函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围若已知 f(x)的定义域为a，b，则 f(g(x)的定义域为不等式 ag(x)b 的解集；反之，已知 f(g(x)的定义域为a，b，则 f(x)的定义域为函数 yg(x)(xa，b)的值域(2)常见函数的值域一次函数 ykxb(k0)的值域为 R.二次函数 yax2bxc(a0)：当 a0 时，值域为4acb24a，当 a0 时，值域为，4acb2
2、4a；反比例函数 ykx(k0)的值域为yR|y0提醒(1)解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则.(2)解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围.2函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意 x(定义域关于原点对称)，都有 f(x)f(x)成立，则 f(x)为奇函数(都有 f(x)f(x)成立，则 f(x)为偶函数)(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数 f(x)，如果对于定义域内的任意一个 x 的值，若 f(xT)f(x)(T0)，则 f(x)是周期函数，T 是它的一个周期提醒 判断函数的奇偶性，要注
3、意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响.3函数的单调性函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质单调性的定义的等价形式：设 x1，x2a，b，那么(x1x2)f(x1)f(x2)0f（x1）f（x2）x1x20f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f（x1）f（x2）x1x20f(x)在a，b上是减函数若函数 f(x)和 g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)g(x)是减函数；若函数 f(x)和 g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数 yf(g(x)的单调性提醒 求函数单调区
4、间时，多个单调区间之间不能用符号“”和“或”连接，可用“与”连接或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.4指数函数与对数函数的基本性质(1)定点：yax(a0，且 a1)恒过(0，1)点；ylogax(a0，且 a1)恒过(1，0)点(2)单调性：当 a1 时，yax 在 R 上单调递增；ylogax 在(0，)上单调递增；当 0a1 时，yax 在 R 上单调递减；ylogax 在(0，)上单调递减5导数的几何意义(1)f(x0)的几何意义：曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，该切线的方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)(2)切点的两大特征：在
5、曲线 yf(x)上；在切线上6利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤求函数 f(x)的定义域；求导函数 f(x)；由 f(x)0 的解集确定函数 f(x)的单调增区间，由 f(x)0 的解集确定函数 f(x)的单调减区间(2)由函数的单调性求参数的取值范围若可导函数 f(x)在区间 M 上单调递增，则 f(x)0(xM)恒成立；若可导函数 f(x)在区间 M 上单调递减，则 f(x)0(xM)恒成立(注意：等号不恒成立)；若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f(x)0(或 f(x)0)在该区间上存在解集；若已知 f(x)在区间 I 上的单调性，区间 I 中含有参数时
6、，可先求出 f(x)的单调区间，则 I 是其单调区间的子集提醒 已知可导函数 f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则 f(x)0(0)对x(a，b)恒成立，不能漏掉“”，且需验证“”不能恒成立；已知可导函数 f(x)的单调递增(减)区间为(a，b)，则 f(x)0(0)的解集为(a，b).7利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤确定函数的定义域；解方程 f(x)0；判断 f(x)在方程 f(x)0 的根 x0 两侧的符号变化：若左正右负，则 x0 为极大值点；若左负右正，则 x0 为极小值点；若不变号，则 x0 不是极值点(2)求函数 f(x)在区间a，b上的最值的一般步骤
7、求函数 yf(x)在a，b内的极值；比较函数 yf(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值提醒 f(x)0 的解不一定是函数 f(x)的极值点.一定要检验在 xx0 的两侧 f(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点.必会结论1函数周期性的常见结论(1)若 f(xa)f(xa)(a0)，则函数 f(x)的周期为 2|a|；若 f(xa)f(x)(a0)，则函数 f(x)的周期为 2|a|.(2)若 f(xa)1f（x）(a0，f(x)0)，则函数 f(x)的周期为 2|a|；若 f(xa)1f（x）(a0，f(
8、x)0)，则函数 f(x)的周期为 2|a|.(3)若 f(xa)f(xb)(ab)，则函数 f(x)的周期为|ab|.(4)若函数 f(x)的图象关于直线 xa 与 xb(ab)对称，则函数 f(x)的周期为 2|ba|.(5)若函数 f(x)是偶函数，其图象关于直线 xa(a0)对称，则函数 f(x)的周期为 2|a|.(6)若函数 f(x)是奇函数，其图象关于直线 xa(a0)对称，则函数 f(x)的周期为 4|a|.2函数图象的对称性(1)若函数 yf(x)满足 f(ax)f(ax)，即 f(x)f(2ax)，则 f(x)的图象关于直线 xa对称；(2)若函数 yf(x)满足 f(ax
9、)f(ax)，即 f(x)f(2ax)，则 f(x)的图象关于点(a，0)对称；(3)若函数 yf(x)满足 f(ax)f(bx)，则函数 f(x)的图象关于直线 xab2 对称3三次函数的相关结论给定三次函数 f(x)ax3bx2cxd(a0)，求导得 f(x)3ax22bxc(a0)，则(1)当 4(b23ac)0 时，f(x)0 有两个实数解，即 f(x)有两个极值点；当 4(b23ac)0时，f(x)无极值点(2)若函数 f(x)的图象存在水平切线，则 f(x)0 有实数解，从而 4(b23ac)0.(3)若函数 f(x)在 R 上单调递增，则 a0 且 4(b23ac)0.必练习题1
10、函数 f(x)x29x102ln（x1）的定义域为()A1，10 B1，2)(2，10C(1，10D(1，2)(2，10解析：选 D.要使原函数有意义，则x29x100，x10，x11，解得 1x10 且 x2，所以函数 f(x)x29x102ln（x1）的定义域为(1，2)(2，10，故选 D.2已知函数 f(x)log2x，x1，f（2x），0 x1，则 f22 的值是()A0B1C12D12解析：选 C.因为 f(x)log2x，x1，f（2x），0 x1，且 0 22 1，21，所以 f22 f(2)log2 212，故选 C.3已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满
11、足 f(x)g(x)axax2(a0，a1)，若 g(2)a，则 f(2)等于()A2B154C174Da2解析：选 B.由题意知 f(x)g(x)axax2，又 f(x)f(x)，g(x)g(x)，所以 g(x)f(x)axax2.又 g(x)f(x)axax2.得 g(x)2，得 f(x)axax，又 g(2)a，所以 a2，所以 f(x)2x2x，所以 f(2)414154，故选 B.4若 ab0，0c1，则()AlogaclogbcBlogcalogcbCacbcDcacb解析：选 B.由 yxc 与 ycx 的单调性知，C、D 不正确因为 ylogcx 是减函数，得logcalogc
12、b，B 正确logaclg clg a，logbclg clg b，因为 0c1，所以 lg c0.而 ab0，所以 lg alg b，但不能确定 lg a，lg b 的正负，所以 logac 与 logbc 的大小不能确定5函数 f(x)x1x cos x(x 且 x0)的图象可能为()解析：选 D.函数 f(x)x1x cos x(x 且 x0)为奇函数，排除选项 A，B；当 x 时，f()1 cos 10，排除选项 C，故选 D.6已知定义在 R 上的奇函数 f(x)的导函数为 f(x)，当 x0 时，f(x)f（x）x，且f(1)0，则使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是()A(
13、1，0)(1，)B(，1)(0，1)C(0，1)(1，)D(，1)(1，0)解析：选 B.设 F(x)f（x）x，因为 f(x)为奇函数，所以 F(x)为偶函数F(x)1x2xf(x)f(x)，x0 时，F(x)0，所以 F(x)在(0，)上为减函数，在(，0)上为增函数，F(1)F(1)0，结合 F(x)的图象得 f(x)0 的解为(，1)(0，1)答案：(，3)(1，)7已知函数 f(x)2axa3，若x0(1，1)，使得 f(x0)0，则实数 a 的取值范围是_解析：依题意可得 f(1)f(1)0，即(2aa3)(2aa3)0，解得 a3 或 a1.答案：e18函数 yexx 在区间1，
14、1上的最大值为_解析：f(x)ex1，令 f(x)0，解得 x0，又 f(1)1e1，f(1)e1，f(0)e001，而 e11e11，所以函数 f(x)exx 在区间1，1上的最大值为 e1.答案：x2y609设函数 f(x)gx2 x2，曲线 yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为 9xy10，则曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为_解析：由已知得 g(1)9，g(1)8，又 f(x)12gx2 2x，所以 f(2)12g(1)492412，f(2)g(1)44，所以所求切线方程为 y412(x2)，即 x2y60.10已知定义在 R 上的函数 yf(x)满足条件 fx32
15、 f(x)，且函数 yfx34 为奇函数，给出以下四个结论：函数 f(x)是周期函数；函数 f(x)的图象关于点34，0 对称；函数 f(x)为 R 上的偶函数；函数 f(x)为 R 上的单调函数其中正确结论的序号为_(写出所有正确结论的序号)解析：f(x3)fx32 32 fx32 f(x)，所以 f(x)是周期为 3 的周期函数，正确；函数 fx34 是奇函数，其图象关于点(0，0)对称，则 f(x)的图象关于点34，0 对称，正确；因为 f(x)的图象关于点34，0 对称，34x32x2，所以 f(x)f32x，又 f32x f32x32 f(x)，所以 f(x)f(x)，正确；f(x)是周期函数，在 R 上不可能是单调函数，错误故正确结论的序号为.答案：本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放