1、宜城一中 枣阳一中 襄州一中 曾都一中 南漳一中20202021学年下学期高一期中考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知复数，则的虚部为（ ）A.B.C.D.2.已知集合，集合，则集合等于（ ）A.B.C.D.3.设是第三象限角，为其终边上的一点，且，则（ ）A.B.C.D.4.在新冠肺炎疫情期间，某学校定期对教室进行药熏消毒.教室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）随时间（单位：小时）的变化情况如图所示.在药物释放的过程中，与成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数）.据测定，当空气中每立方米的含
2、药量降低到0.2毫克以下时，学生方可进入教室.那么，从药物释放开始到学生能回到教室，至少在（ ）（参考数值）A. 42分钟后B. 48分钟后C. 50分钟后D. 60分钟后5.若，是夹角为60的两个单位向量，则与的夹角为（ ）A. 30B. 60C. 120D. 1506.在平行四边形中，已知，对角线，则对角线的长为（ ）A.B.C.D. 27.已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，则、的大小关系为（ ）A.B.C.D.8.奔驰定理：已知是内的一点，的面积分别为，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因此这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设为
3、三角形内一点，且满足：，则（ ）A.B.C.D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题错误的是（ ）A.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱B.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体C.相等的线段在直观图中仍然相等D.平行的线段在直观图中仍然平行10.在中，角，所对的边分别为，那么在下列给出的各组条件中，能确定三角形有唯一解的是（ ）A.，B.，C.，D.，11.设，是复数，则下列命题中的真命题是（ ）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则12.下列关于平面
4、向量的说法中错误的是（ ）A.若，则存在唯一的实数，使得B.已知向量，且与的夹角为锐角，则的取值范围是C.若，则D.若点为的垂心，则三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13.一个正方体的顶点都在球面上，且该正方体的表面积为，则该球的表面积为_.14.已知是虚数单位，则_.15.已知向量，若，则的最小值为_.16.如图，在扇形中，半径，为弧上一点，则的最小值为_.四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）当为何实数时，复数是下列数？（1）实数；（2）虚数；（
5、3）纯虚数.18.（12分）已知向量，.（1）若向量，且，求的坐标；（2）若向量与互相垂直，求实数的值.19.（12分）在中，角，所对的边分别为，且.（1）求；（2）已知，若为的中点，且，求的面积.20.（12分）已知母线长为的圆锥的侧面展开图为半圆.（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.21.（12分）如图：某快递小哥从地出发，沿小路以平均时速30公里/小时，送快件到处，已知（公里），S是等腰三角形，.（1）试问，快递小哥能否在30分钟内将快件送到处？（2）快递小哥出发5分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车
6、沿大路追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问汽车能否先到达处？（参考数据：，）22.（12分）已知向量，.（1）当时，求的值域；（2）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有2021个零点？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.宜城一中 枣阳一中 襄州一中 曾都一中 南漳一中20202021学年下学期高一期中考试数学参考答案一、单选题（每题5分，共40分）12345678CACBCAAD二、多选题（每题5分，共20分）9101112ABCBDABCABC三、填空题（每题5分，共20分）13.14.15.216.四、解答题（共70分）17.（10分）解：（1）由得或，即或时
7、，为实数.（2）由得或，即或时，为虚数.（3）由得，即时，为纯虚数.18.（12分）解：（1）设因为，所以，因为，所以，解得或，所以或.（2）因为向量与互相垂直所以，即，而，所以，因此，解得.19.（12分）解：因为，由正弦定理得，即，所以，因此在中，所以，因为，所以.（2）因为为的中点，则两边平方得，因为，所以，解得或（舍去），所以的面积为.20.（12分）解：（1）沿母线剪开，侧面展开图是以为半径的半圆设，在半圆中，弧长为，这是圆锥的底面周长，所以，所以，故圆锥的底面积为.（2）设圆柱的高，在，所以，即，所以，当，时，圆柱的侧面积最大，此时.21.（12分）解：（1）在中，则由正弦定理得，
8、所以（公里）又因为（分钟）所以快递小哥能在30分钟内将快件送到处.（2）在中，由余弦定理得（公里）由（1）知（公里）又因为（分钟）所以汽车不能先到达处.22.（12分）解：（1）又，（2）假设同时存在实数和正整数满足条件，函数在上恰有2021个零点，即函数与直线在上恰有2021个交点.当时，由函数在区间上的图象可知：当或时，函数与直线在上无交点当时，函数与直线在上仅有一个交点，此时要使函数与直线在上有2021个交点，则.当或时，函数与直线在上有两个交点，此时函数与直线在上有偶数个交点，不符合条件当时，函数与直线在上有3个交点，此时要使函数与直线在上有2021个交点，则.综上所述，存在实数和正整数满足条件：当时，；当时，.
