1、第1页高考调研 高三总复习 数学（理）第7课时 双 曲 线(一)第2页高考调研 高三总复习 数学（理）2016 考纲下载 第3页高考调研 高三总复习 数学（理）1了解双曲线的定义、标准方程，能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程2知道双曲线的几何性质3了解双曲线的一些实际应用第4页高考调研 高三总复习 数学（理）请注意除与椭圆有相同的重点及考点之外，在高考中还经常考查双曲线独有的性质渐近线，以双曲线为载体考查方程、性质，也是高考命题的热点第5页高考调研 高三总复习 数学（理）课前自助餐 第6页高考调研 高三总复习 数学（理）双曲线的定义平面内与两个定点 F1，F2 的距离之差的绝对值等于常数2
2、a(2a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形第8页高考调研 高三总复习 数学（理）焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c c2a2b2 范围|x|a，yR|y|a，xR 对称性关于 x 轴，y 轴和原点对称顶点(a，0)，(a，0)(0，a)，(0，a)轴实轴长 2a，虚轴长 2b离心率eca(e1)性质渐近线xayb0(或 ybax)xbya0(或 yabx)第9页高考调研 高三总复习 数学（理）归纳拓展(1)求双曲线的标准方程时，若不知道焦点的位置，可直接设双曲线的方程为 Ax2By21(AB0，b0)共渐近线的双曲线方程为x2a2y
3、2b2(0)(4)与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)共焦点的圆锥曲线方程为x2a2 y2b21(0，b0)与y2b2x2a21(a0，b0)互为共轭双曲线，有相同的渐近线、相等的焦距第11页高考调研 高三总复习 数学（理）(6)双曲线形状与 e 的关系：kbac2a2ac2a21e21，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔第12页高考调研 高三总复习 数学（理）1判断下面结论是否正确(打“”或“”)(1)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于 8的点的轨迹是双曲线(2)方程x2my2n
4、 1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线第13页高考调研 高三总复习 数学（理）(3)双曲线方程x2m2y2n2(m0，n0，0)的渐近线方程是x2m2y2n20，即xmyn0.(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.(5)若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)与y2b2x2a21(a0，b0)的离心率分别是 e1，e2，则 1e12 1e221(此结论中两条双曲线为共轭双曲线)第14页高考调研 高三总复习 数学（理）答案(1)(2)(3)(4)(5)第15页高考调研 高三总复习 数学（理）2(课本习题改编)若双曲线方程为 x22y21，则它的右焦点坐标为_答案(62，0)第16
5、页高考调研 高三总复习 数学（理）3(2015湖北文)若双曲线x2a2y2b21 的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A.73 B.54C.43D.53第17页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 D解析 由已知可得双曲线的渐近线方程为 ybax，点(3，4)在渐近线上，ba43，又 a2b2c2，c2a2169 a2259 a2，eca53，故选 D.第18页高考调研 高三总复习 数学（理）4(2015广东理)已知双曲线 C：x2a2y2b21 的离心率 e54，且其右焦点为 F2(5，0)，则双曲线 C 的方程为()A.x24 y23 1 B.x29 y2161C.x21
6、6y29 1 D.x23 y24 1第19页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 C解析 因为双曲线 C 的右焦点为 F2(5，0)，所以 c5.因为离心率 eca54，所以 a4.又 a2b2c2，所以 b29.故双曲线 C 的方程为x216y29 1.第20页高考调研 高三总复习 数学（理）5(2015安徽文)下列双曲线中，渐近线方程为 y2x 的是()Ax2y24 1 B.x24 y21Cx2y22 1 D.x22 y21第21页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 A解析 对于 A，令 x2y24 0，得 y2；对于 B，令x24 y20，得 y12x；对于 C，令 x2y22 0，得
7、 y 2x；对于 D，令x22 y20，得 y 22 x.故选 A.第22页高考调研 高三总复习 数学（理）6设 F1，F2 是双曲线 x2y2241 的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且 3|PF1|4|PF2|，则|PF1|_第23页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 8解析 依题意有3|PF1|4|PF2|，|PF1|PF2|21，解得|PF2|6，|PF1|8.第24页高考调研 高三总复习 数学（理）授人以渔 第25页高考调研 高三总复习 数学（理）题型一 双曲线的定义及应用例 1(1)已知两圆 C1：(x4)2y22，C2：(x4)2y22，动圆 M 与两圆 C1，C2 都相切，则
8、动圆圆心 M 的轨迹方程是()Ax0 B.x22 y2141(x 2)C.x22 y2141 D.x22 y2141 或 x0第26页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】如右图，动圆 M 与两圆 C1，C2 都相切，有四种情况：动圆 M 与两圆都相外切；动圆 M 与两圆都内切；动圆 M与圆 C1 外切、与圆 C2 内切；动圆 M 与圆C1 内切、与圆 C2 外切在情况下，显然，动圆圆心 M 的轨迹方程为 x0；在的情况下，设动圆 M 的半径为 r，则|MC1|r 2，|MC2|r 2.第27页高考调研 高三总复习 数学（理）故得|MC1|MC2|2 2；在的情况下，同理得|MC2|MC1|
9、2 2.由得|MC1|MC2|2 2.根据双曲线定义，可知点 M 的轨迹是以 C1(4，0)，C2(4，0)为焦点的双曲线，且 a 2，c4，b2c2a214，其方程为x22 y2141.由可知，选择 D.【答案】D第28页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)P 是双曲线x2a2y2b21 右支上一点，F1，F2 分别为左、右焦点，且焦距为 2c，则PF1F2 的内切圆圆心的横坐标是_第29页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】如图，内切圆圆心 M 到各边的距离分别为 MA，MB，MC，切点分别为 A，B，C，由三角形的内切圆的性质则有：|CF1|AF1|，|AF2|BF2|，|PC|P
10、B|，|PF1|PF2|CF1|BF2|AF1|AF2|2a，第30页高考调研 高三总复习 数学（理）又|AF1|AF2|2c，|AF1|ac，则|OA|AF1|OF1|a.M 的横坐标和 A 的横坐标相同，答案为 a.【答案】a第31页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 1(1)抓住“焦点三角形 PF1F2”中的数量关系是求解本题的关键；利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支(2)利用双曲线定义求方程，要注意三点：距离之差的绝对值；2a2)【答案】x24 y2121(x2)第37页高考调研 高三总复习 数学（理）题型二 求双曲线的标准方
11、程例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)与已知双曲线 x24y24 有共同渐近线且经过点(2，2)；(2)渐近线方程为 y12x，焦距为 10；(3)经过两点 P(3，2 7)和 Q(6 2，7)；(4)双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为 2，且过点(4，10)第38页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)设所求双曲线方程为 x24y2(0)，将(2，2)代入上述方程，得 22422，12.所求双曲线方程为y23 x2121.第39页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)设所求双曲线方程为x24 y2(0)，当 0 时，双曲线标准方程为 x24y21，c 5.55，5
12、；当 0)9m28n1，72m49n1，解之得m 175，n 125.双曲线方程为y225x2751.第42页高考调研 高三总复习 数学（理）(4)依题意，e 2ab.设方程为x2a y2a 1，则16a 10a 1，解得 a6.x26 y26 1.【答案】(1)y23 x2121(2)x220y25 1 或y25 x2201(3)y225x2751(4)x26 y26 1第43页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 2 求双曲线的标准方程的方法：(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定 2a，2b 或 2c，从而求出 a2，b2，写出双曲线方程(2)待定系数法：先确
13、定焦点在 x 轴还是 y 轴，设出标准方程，再由条件确定 a2，b2 的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2y2n2(0)，再根据条件求 的值 第44页高考调研 高三总复习 数学（理）注意：双曲线与椭圆标准方程均可记为 mx2ny21(mn0)，其中 m0 且 n0，且 mn 时表示椭圆；mn0)；()已知离心率为 e 的双曲线方程可设为 x2a2y2（e21）a21 或y2a2x2（e21）a21；()已知渐近线xmyn0 的双曲线方程可设为 x2m2y2n2(0)第46页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 2(1)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦
14、点为F(3，0)，离心率等于32，则 C 的方程是()A.x24 y251 B.x24 y25 1C.x22 y25 1 D.x22 y251第47页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】由曲线 C 的右焦点为 F(3，0)，知 c3.由离心率 e32，知ca32，则 a2.故 b2c2a2945.所以双曲线 C 的方程为x24 y25 1.【答案】B第48页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)(2015天津文)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点为 F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23 相切，则双曲线的方程为()A.x29 y2131 B.x213y29 1
15、C.x23 y21 Dx2y23 1第49页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】双曲线的一条渐近线方程为 ybax，即 bxay0.由题意，得c2a2b2，c2，2bb2a2 3，解得 a21，b23，从而双曲线的方程为 x2y23 1.【答案】D第50页高考调研 高三总复习 数学（理）题型三 双曲线的几何性质例 3(1)(2014广东)若实数 k 满足 0k9，则曲线x225 y29k1 与曲线x225ky29 1 的()A焦距相等B实半轴长相等C虚半轴长相等D离心率相等第51页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】分别求出两条双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦距和离心率，再对照求解 因为
16、 0k9，所以两条曲线都表示双曲线双曲线x225 y29k1 的实半轴长为 5，虚半轴长为 9k，焦距为 2 25（9k）2 34k，离心率为 34k5.第52页高考调研 高三总复习 数学（理）双曲线x225ky29 1 的实半轴长为 25k，虚半轴长为 3，焦距为 2 25k92 34k，离心率为 34k25k，故两曲线只有焦距相等故选 A.【答案】A第53页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)设 F1，F2 分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|94ab，则该双曲线的离心率为()A.43B.53C.9
17、4D3第54页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】由双曲线的定义，得|PF1|PF2|2a.又|PF1|PF2|3b，所以(|PF1|PF2|)2(|PF1|PF2|)29b24a2，即4|PF1|PF2|9b24a2.又 4|PF1|PF2|9ab，因此 9b24a29ab，即 9 ba2 9ba 4 0，则 3ba 13ba 4 0，解 得 ba 43ba13舍去，则双曲线的离心率 e1ba253.【答案】B第55页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 3(1)求双曲线离心率或离心率范围的方法有两种：一种是直接建立 e 的关系式求 e 或 e 的范围；另一种是建立 a，b，c 的齐次关
18、系式，将 b 用 a，c 表示，令两边同除以 a 或 a2 化为 e的关系式，进而求解 第56页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)渐近线的求法：求双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线的方法是令x2a2y2b20，即得两渐近线方程xayb0 或 ybax.第57页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 3(1)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的两条渐近线的夹角为3，则双曲线的离心率为()A.2 33B.2 63C.2 33 或 2 D2第58页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】当双曲线的焦点在 x 轴上时，则双曲线的渐近线的斜率为ba 33，所以 c2a2a 33，解得
19、 e2 33.当双曲线的焦点在 y 轴上，双曲线的渐近线的斜率为ab 33，所以ac2a2 33，解得 eca2.【答案】C第59页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)设双曲线x2a2y2b21(0ab)的半焦距为 c，直线 l 过(a，0)，(0，b)两点，已知原点到直线 l 的距离为 34 c，则双曲线的离心率为()A2 B.3C.2D.2 33第60页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】直角三角形斜边为 c，斜边上的高为abc 34 c，4ab 3c2.结合 0a0，b0)，又由顶点为(1，0)知 a1，所以 bc2a21.故所求双曲线的方程为 x2y21.第66页高考调研 高三总
20、复习 数学（理）2设双曲线 C 经过点(2，2)，且与y24 x21 具有相同渐近线，则 C 的方程为_；渐近线方程为_第67页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 x23 y2121，y2x解析 待定系数法求双曲线方程 设双曲线 C 的方程为y24 x2，将点(2，2)代入上式，得3，C 的方程为x23 y2121，其渐近线方程为 y2x.第68页高考调研 高三总复习 数学（理）3已知曲线方程x2 2y2 11，若方程表示双曲线，则 的取值范围是_第69页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 1解析 方程x22y211 表示双曲线，(2)(1)0，解得 1.第70页高考调研 高三总复习 数学
21、（理）4设双曲线x2a2y29 1(a0)的渐近线方程为 3x2y0，则 a的值为()A4 B3C2 D1第71页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 C解析 由渐近线方程可知ba32，则 a23b2332.第72页高考调研 高三总复习 数学（理）5若双曲线x2a2y2b21 的离心率为 3，则其渐近线方程为()Ay2x By 2xCy12x Dy 22 x第73页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 B解析 由离心率为 3，可知 c 3a，b 2a.渐近线方程为 ybax 2x，故选 B.第74页高考调研 高三总复习 数学（理）6.如图，已知椭圆 C1：x211y21，双曲线C2：x2a2y
22、2b21(a0，b0)，若以 C1 的长轴为直径的圆与 C2 的一条渐近线交于 A，B 两点，且 C1与该渐近线的两交点 C，D 将线段 AB 三等分，则 C2 的离心率为()A.5B5C.17D.2 147第75页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 A解析 双曲线 C2：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程为ybax，以 C1 的长轴为直径的圆的方程为 x2y211，联立渐近线方程和圆的方程，可得交点 A(11aa2b2，11ba2b2)，B(11aa2b2，11ba2b2)，第76页高考调研 高三总复习 数学（理）联立渐近线方程和椭圆 C1：x211y21，可得交点 C(11aa211b2，11ba211b2)，D(11aa211b2，11ba211b2)，由于 C1 与该渐近线的两交点 C，D 将线段 AB 三等分，则|AB|3|CD|，即有449 44（a2b2）a211b2，可得 b2a，则 c a2b2 5a，则离心率 eca 5.请做：题组层级快练（五十三）