1、第二课时数列求和习题课【选题明细表】 知识点、方法题号公式法求和1、10分组法求和5、7、9裂项求和法2、6、8错位相减法3、11、12并项转化法4基础巩固1.(2015桂林高二检测)在等比数列an中,a1+a2+an=2n-1,则+等于(D)(A)(2n-1)2(B)(2n-1)(C)4n-1 (D)(4n-1)解析:由a1+a2+an=2n-1,得a1=1,a2=2,则数列an的公比q=2,所以数列的首项为=1,公比为q2=4.所以+=(4n-1).故选D.2.已知数列an=(nN*),则数列an的前10项和为(C)(A)(B)(C)(D)解析:an=(-),所以S10=（-+-+-）=.
2、故选C.3.数列n2n的前n项和等于(B)(A)n2n-2n+2(B)n2n+1-2n+1+2(C)n2n+1-2n (D)n2n+1-2n+1解析:设n2n的前n项和为Sn,则Sn=121+222+323+n2n, 所以2Sn=122+223+(n-1)2n+n2n+1,-得-Sn=2+22+23+2n-n2n+1=-n2n+1所以Sn=n2n+1-2n+1+2,故选B.4.数列an满足an+an+1=(nN*),且a1=1,Sn是数列an的前n项和,则S21等于(B)(A)(B)6(C)10(D)11解析:依题意得an+an+1=an+1+an+2=,则an+2=an,即数列an中的奇数项
3、、偶数项分别相等,则a21=a1=1,S21=(a1+a2)+(a3+a4)+(a19+a20)+a21=10(a1+a2)+a21=10+1=6,故选B.5.已知数列an满足a1=1,an+1=an+n+2n(nN*),则an等于(B)(A)+2n-1-1 (B)+2n-1(C)+2n+1-1(D)+2n+1-1解析:因为an+1=an+n+2n,所以an+1-an=n+2n,所以a2-a1=1+2,a3-a2=2+22,a4-a3=3+23,an-an-1=n-1+2n-1(n2),以上各式相加得an-a1=1+2+2+22+3+23+n-1+2n-1=(1+2+3+n-1)+(2+22+
4、23+2n-1),所以an=1+2+3+(n-1)+(1+2+22+23+2n-1)=+=+2n-1(n2).又a1=1适合上式,所以an=+2n-1.故选B.6.已知数列an满足an+1=an+2(nN*)且a1=2,数列bn满足bn=,则数列bn的前10项和为.解析:由an+1-an=2得an是首项为2,公差为2的等差数列,所以an=2n,所以bn=,数列bn的前10项和S10=+=（-+-+-）=(-)=.答案:7.(2015烟台高二检测)1+11+111+=.解析:因为=1+10+102+10n-1=(10n-1),所以Sn=(101-1+102-1+103-1+10n-1)=(101
5、+102+10n)-n=-n=.答案:8.在数列an中,已知a1=2,an+1=4an-3n+1,nN*.(1)设bn=an-n,求证:数列bn是等比数列;(2)求数列an的前n项和Sn.解:(1)因为b1=a1-1=1,又=4,所以数列bn为以1为首项,以4为公比的等比数列.(2)由(1)得bn=4n-1.因为an=bn+n=4n-1+n,所以Sn=(40+41+42+4n-1)+(1+2+3+n)=+=+.能力提升9.已知函数f(n)=n2cos n,且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+a100等于(A)(A)-100(B)0(C)100(D)10解析:若n为偶数,则an=
6、f(n)+f(n+1)=n2-(n+1)2=-(2n+1),首项为a2=-5,公差为-4的等差数列;若n为奇数,则an=f(n)+f(n+1)=-n2+(n+1)2=2n+1,首项为a1=3,公差为4的等差数列.所以a1+a2+a3+a100=(a1+a3+a99)+(a2+a4+a100)=503+4+50(-5)+(-4)=-100.故选A.10.已知数列an中,a1=10,an+1=an-,则它的前n项和Sn的最大值为.解析:由an+1=an-得an+1-an=-,故an是公差为-的等差数列,于是Sn=10n+(-)=-n2+n=-(n-)2+,因此当n=20或n=21时,Sn取最大值为
7、S20=S21=105.答案:10511.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,nN*,数列bn满足an=4log2bn+3,nN*.(1)求an,bn;(2)求数列anbn的前n项和Tn.解:(1)由Sn=2n2+n,得a1=S1=3;当n2时,an=Sn-Sn-1=4n-1.又a1=3也适合上式.所以an=4n-1,nN*.由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,nN*.(2)由(1)知anbn=(4n-1)2n-1,nN*.所以Tn=3+72+1122+(4n-1)2n-1.2Tn=32+722+(4n-5)2n-1+(4n-1)2n.所以2Tn-Tn=(4n
8、-1)2n-3+4(2+22+2n-1)=(4n-5)2n+5.故Tn=(4n-5)2n+5,nN*.探究创新12.已知数列an中,a1=1,an+1=(nN*).(1)求证:+是等比数列,并求an的通项公式;(2)数列bn满足bn=(3n-1)an,数列bn的前n项和为Tn,求使不等式Tn+成立的正整数n的最小值.(1)证明:由a1=1,an+1=(nN*)知,+=3(+),又+=,所以+是以为首项,3为公比的等比数列.所以+=3n-1=,所以an=.(2)解:bn=,Tn=1+2+3+(n-1)+n,=1+2+(n-1)+n,两式相减得=+-n=2-,所以Tn=4-,所以Tn+=4-,16,所以n5,所以n的最小值为6.