1、第1页高考调研 高三总复习 数学（理）第6课时 椭 圆(二)第2页高考调研 高三总复习 数学（理）2016 考纲下载 第3页高考调研 高三总复习 数学（理）1能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程解的问题，会根据韦达定理及判别式解决问题2通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想第4页高考调研 高三总复习 数学（理）请注意作为高考热点的直线与圆锥曲线的位置关系主要体现在直线与椭圆中，所以我们必须要对直线与椭圆的位置关系熟练掌握，并适度强化第5页高考调研 高三总复习 数学（理）课前自助餐 第6页高考调研 高三总复习 数学（理）椭圆x2a2y2b21(ab0)的参数方程为xacosybs
2、in(是参数)第7页高考调研 高三总复习 数学（理）点 P(x0，y0)和椭圆x2a2y2b21(ab0)的关系：(1)P(x0，y0)在椭圆内x02a2 y02b2 1第8页高考调研 高三总复习 数学（理）焦点三角形椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的三角形 PF1F2 称做焦点三角形(如图)F1PF2.SPF1F212r1r2sin c|y0|第9页高考调研 高三总复习 数学（理）直线与椭圆位置关系判断联立ykxm，x2a2y2b21，得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20 该一元二次方程的判别式为.0有两个交点相交；0一个交点相切；0，直线 y2x1 与椭圆x29 y
3、24 1 相交第14页高考调研 高三总复习 数学（理）2已知以 F1(2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线 x 3y40 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A3 2B2 6C2 7D4 2第15页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 C解析 方法一：验证法：2a2 7时，a 7，c2，b 3，x27 y23 1与x 3y40联立，得16y224 3y270，(24 3)2416270.第16页高考调研 高三总复习 数学（理）方法二：设椭圆方程x2a2y2b21(ab0)，由b2x2a2y2a2b20，x 3y40，得(a23b2)y28 3b2y16b2a2b20.由 0，可得 a2
4、7，2a2 7.第17页高考调研 高三总复习 数学（理）3(2016安徽庐江统测)设 A1，A2 是椭圆x24 y22 1 的左、右顶点，P 在椭圆上，若 kPA12，则 kPA2的值为()A14B12C1 D.14第18页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 A解析 A1(2，0)，A2(2，0)，设 P(x，y)，则 kPA1 yx22，kPA2 yx2.2kPA2 y2x24，kPA212 y2x24.P 在椭圆上，x24 y22 1，y22 4x24，即 y2x2412，kPA2121214.第19页高考调研 高三总复习 数学（理）4已知斜率为 1 的直线过椭圆x24 y21 的右焦点
5、交椭圆于A，B 两点，则弦 AB 的长为_第20页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 85解析 右焦点(3，0)，直线 AB 的方程为 yx 3，由yx 3，x24 y21，得 5x28 3x80.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)则 x1x28 35，x1x285.|AB|（1k2）（8 35）248585.第21页高考调研 高三总复习 数学（理）5直线 ykx1，当 k 变化时，此直线被椭圆x24 y21 截得的最大弦长是()A2 B.4 33C4 D不能确定第22页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 B解析 直线所过的定点为(0，1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)，则弦长
6、为 x2（y1）2 44y2y22y1 3y22y5，当 y13时，弦长最大为4 33.第23页高考调研 高三总复习 数学（理）授人以渔 第24页高考调研 高三总复习 数学（理）题型一 直线与椭圆的位置关系例 1 已知对 kR，直线 ykx10 与椭圆x25 y2m1 恒有公共点，求实数 m 的取值范围第25页高考调研 高三总复习 数学（理）【思路】该题有两种解题思路，一是根据直线和圆锥曲线位置关系的讨论方法，由直线方程和椭圆方程联立组成的方程组必有解，通过消元，进一步转化为方程恒有解的问题，利用判别式0 求解参数的取值范围；二是由直线系方程得到直线所过的定点，由直线和椭圆恒有公共点可得，定点
7、在椭圆上或在椭圆内，这样便可得到关于参数 m 的不等式，解之即可 第26页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】方法一：由椭圆的方程，可知 m0，且 m5.将直线与椭圆的方程联立方程组，得 ykx10，x25 y2m1，由，得 ykx1.代入，得x25（kx1）2m1.整理，得(5k2m)x210kx5(1m)0.第27页高考调研 高三总复习 数学（理）因为直线与椭圆恒有公共点，故(10k)24(5k2m)5(1m)20(5k2mmm2)0.因为 m0，所以不等式等价于 5k21m0，即 k21m5，由题意，可知不等式恒成立，则1m50，解得 m1.综上 m 的取值范围为 m1 且 m5.第
8、28页高考调研 高三总复习 数学（理）方法二：因为直线 ykx10 过定点 P(0，1)，要使直线和椭圆恒有公共点，则该点在椭圆上或椭圆内，即025 12m1，整理，得1m1，解得 m1.又方程x25 y2m1 表示椭圆，所以 m0 且 m5.综上 m 的取值范围为 m1 且 m5.【答案】m1 且 m5第29页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 1 直线与椭圆位置关系的判断有两种方法，一是联立方程，借助一元二次方程的判别式 来判断；二是借助几何性质来判断 如本例中的方法二则更为简捷，根据直线系方程抓住直线恒过定点的特征，将问题转化为点和椭圆的位置关系，这也是解决该题的难点所在，破解此类问题
9、的关键是熟练掌握直线系方程，另外抓住题中“kR”这个条件结合图形，也是很容易想到直线必过定点第30页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 1 已知直线 l：y2xm，椭圆 C：x24 y22 1，试问：当 m 取何值时，直线 l 与椭圆 C，(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点？第31页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】由y2xm，x24 y22 1，得 9x28mx2m240.其(8m)249(2m24)8m2144.(1)由 0，得3 2m3 2，此时直线与椭圆 C 有两个不同的公共点；(2)由 0，得 m3 2，此时直线与椭圆 C 有且只有一个公
10、共点；第32页高考调研 高三总复习 数学（理）(3)由 0，得 m3 2，此时直线与椭圆 C 没有公共点 综上所述，当3 2m3 2时，直线 l 与椭圆 C 有两个不重合的公共点；当 m3 2时，直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点；当 m3 2时，直线 l 与椭圆 C 没有公共点 第33页高考调研 高三总复习 数学（理）【答案】(1)m(3 2，3 2)(2)m3 2(3)m(，3 2)(3 2，)第34页高考调研 高三总复习 数学（理）题型二 弦长问题例 2 椭圆两顶点 A(1，0)，B(1，0)过焦点 F(0，1)的直线l 与椭圆交于 CD 两点当|CD|32 2时求 l 的方程第3
11、5页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】由题意 b1，c1.a2b2c2112.椭圆方程为y22 x21.若直线 l 斜率不存在时，|CD|2 2，不合题意 若 l 斜率存在时，设 l 方程 ykx1，联立ykx1，y22x22，得(k22)x22kx10.第36页高考调研 高三总复习 数学（理）8(k21)0 恒成立 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)x1x2 2kk22，x1x21k22.|CD|1k2|x1x2|1k2（x1x2）24x1x2 2 2（k21）k22.第37页高考调研 高三总复习 数学（理）即2 2（k21）k223 22，解得 k22.k 2.直线 l 方程为
12、2xy10 或 2xy10.【答案】2xy10 或 2xy10第38页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 2(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立，解决相关问题，涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单 第39页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|（1k2）（x1x2）24x1x2（1 1k2）（y1y2）24y1y2(k 为直线斜率)提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式第40页高考调
13、研 高三总复习 数学（理）思考题 2 已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的一个顶点为 B(0，4)，离心率 e 55，直线 l 交椭圆于 M，N 两点(1)若直线 l 的方程为 yx4，求弦 MN 的长；(2)如果BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 l 方程的一般式第41页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)由已知得 b4，且ca 55，即c2a215.a2b2a215，解得 a220.椭圆方程为x220y2161.则 4x25y280 与 yx4 联立 消去 y，得 9x240 x0，x10，x2409.所求弦长|MN|112|x2x1|40 29.第42页高考调研 高
14、三总复习 数学（理）(2)椭圆右焦点 F 的坐标为(2，0)，设线段 MN 的中点为 Q(x0，y0)，由三角形重心的性质知BF2FQ.又 B(0，4)，(2，4)2(x02，y0)故得 x03，y02，即得 Q 的坐标为(3，2)第43页高考调研 高三总复习 数学（理）设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x26，y1y24，且x1220y12161，x2220y22161.以上两式相减，得（x1x2）（x1x2）20（y1y2）（y1y2）160.kMNy1y2x1x245x1x2y1y245 6465.第44页高考调研 高三总复习 数学（理）故直线 MN 的方程为 y265(x
15、3)，即 6x5y280.【答案】(1)40 29(2)6x5y280第45页高考调研 高三总复习 数学（理）题型三 中点弦、弦中点问题例 3 已知椭圆x22 y21.(1)求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程；(2)过 N(1，2)的直线 l 与椭圆相交，求被 l 截得的弦的中点的轨迹方程；(3)求过点 P(12，12)且被 P 点平分的弦所在直线的方程第46页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】设弦的两端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点为M(x0，y0)，则有x122 y121，x222 y221.两式作差，得（x2x1）（x2x1）2(y2y1)(y2y1)0.x1x2
16、2x0，y1y22y0，y2y1x2x1kAB，代入后求得 kAB x02y0.第47页高考调研 高三总复习 数学（理）(1)设弦中点为 M(x，y)，由式，2 x2y，x4y0.故所求的轨迹方程为 x4y0(43x43)第48页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)不妨设 l 交椭圆于 A，B，弦中点为 M(x，y)，由式 klkAB x2y.又klkMNy2x1，x2yy2x1.整理，得 x22y2x4y0(24 79x24 79，4 79y4 79)，此即所求的轨迹方程 第49页高考调研 高三总复习 数学（理）(3)由式，弦所在的直线的斜率 k x02y012，其方程为 y1212(x1
17、2)，即 2x4y30.第50页高考调研 高三总复习 数学（理）【答案】(1)x4y0(43x43)(2)x22y2x4y0(24 79x24 79，4 79yb0)的右焦点为F(3，0)，过点 F 的直线交 E 于 A，B 两点若 AB 的中点为 M(1，1)，则 E 的方程为()A.x245y2361 B.x236y2271C.x227y2181 D.x218y29 1第54页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】kAB013112，kOM1，由 kABkOMb2a2，得b2a212，a22b2.c3，a218，b29，椭圆 E 的方程为x218y29 1.【答案】D第55页高考调研 高
18、三总复习 数学（理）(2)(2016南昌二模)已知椭圆：y29 x21，过点 P(12，12)的直线与椭圆相交于 A，B 两点，且弦 AB 被点 P 平分，则直线 AB的方程为()A9xy40 B9xy50C2xy20 Dxy50第56页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为 A，B 在椭圆y29 x21 上，所以y129 x121，y229 x221，两式相减得y12y229x12x220，得（y1y2）（y1y2）9(x1x2)(x1x2)0，又弦 AB 被点 P(12，12)平分，所以 x1x21，y1y21，将其代入上式得y1y29x1第5
19、7页高考调研 高三总复习 数学（理）x20，得y1y2x1x29，即直线 AB 的斜率为9，所以直线 AB的方程为 y129(x12)，即 9xy50.【答案】B第58页高考调研 高三总复习 数学（理）题型四 最值与范围问题例 4(1)设 P 是椭圆x2a2y21(a1)短轴的一个端点，Q 为椭圆上的一个动点，求|PQ|最大值第59页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】依题意可设 P(0，1)，Q(x，y)，则|PQ|x2（y1）2.又因为 Q 在椭圆上，所以 x2a2(1y2)|PQ|2a2(1y2)y22y1(1a2)y22y1a2(1a2)y11a2 211a21a2.第60页高考调
20、研 高三总复习 数学（理）因为|y|1，a1，若 a 2，则11a2 1，当 y11a2时，|PQ|取最大值a2 a21a21；若 1a 2，则当 y1 时，|PQ|取最大值 2.【答案】若 1ab0)过点 P(2，1)，且离心率 e 32.(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线的 l 的斜率为12，直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点求PAB 面积的最大值第66页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)e2c2a2a2b2a234，a24b2.又椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)过点 P(2，1)，4a2 1b21.a28，b22.故所求椭圆方程为x28 y22 1.第67页高考
21、调研 高三总复习 数学（理）(2)设 l 的方程为 y12xm，点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y12xm，x28 y22 1，整理，得 x22mx2m240.4m28m2160，解得|m|b0)的一条弦，M(x0，y0)是 AB的中点，则 kABb2x0a2y0，kABkOMb2a2.3涉及弦长的问题，应熟练地应用韦达定理“设而不求”地去计算弦长(即运用弦长公式)，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，“设而不求”，简化运算.第71页高考调研 高三总复习 数学（理）自 助 餐 第72页高考调研 高三总复习 数学（理）1若椭圆x236y29 1 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直
22、线方程是()Ax2y0 Bx2y40C2x3y120 Dx2y80第73页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 D解析 设这条弦的两端点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为 k，则x1236y129 1，x2236y229 1，两式相减再变形，得x1x236ky1y290.又弦中点为(4，2)，k12.这条弦所在的直线方程为 y212(x4)，即 x2y80.第74页高考调研 高三总复习 数学（理）2直线 m 与椭圆x22 y21 交于 P1，P2 两点，线段 P1P2 的中点为 P，设直线 m 的斜率为 k1(k10)，直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2 的值为_第75页高考
23、调研 高三总复习 数学（理）答案 12解析 由点差法可求出 k112x中y中，k1y中x中12，即 k1k212.第76页高考调研 高三总复习 数学（理）3椭圆的焦点为 F1，F2，过 F1 的最短弦 PQ 的长为 10，PF2Q 的周长为 36，则此椭圆的离心率为()A.33B.13C.23D.63第77页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 C解析 PQ 为过 F1 垂直于 x 轴的弦，则 Q(c，b2a)，PF2Q 的周长为 36.4a36，a9.第78页高考调研 高三总复习 数学（理）由已知b2a 5，即a2c2a5.又 a9，解得 c6，解得ca23，即 e23.第79页高考调研 高
24、三总复习 数学（理）4设椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为 e12，右焦点为 F(c，0)，方程 ax2bxc0 的两个实根分别为 x1 和 x2，则点 P(x1，x2)在()A圆 x2y22 内B圆 x2y22 上C圆 x2y22 外D以上三种情形都有可能第80页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 A解析 由已知得 eca12，ca2，x1x2ba，x1x2ca，x12x22(x1x2)22x1x2b2a22ca b22caa2b2a2a2b0)过点(0，4)，离心率为35.(1)求椭圆 C 的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被 C 所截线段的中点坐标第82页高考调研
25、 高三总复习 数学（理）答案(1)x225y2161(2)(32，65)解析(1)将点(0，4)代入 C 的方程得16b21，所以 b4.又 eca35，得a2b2a2 925，即 116a2 925，所以 a5.所以椭圆 C 的方程为x225y2161.第83页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为 y45(x3)，设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x225y2161，y45（x3），消去 y，得x225（x3）2251，即 x23x80.第84页高考调研 高三总复习 数学（理）所以 AB 的中点坐标 x0 x1x2232，y045(x03)65，即所截线段的中点坐标为(32，65)请做：题组层级快练（五十二）