1、第四节 函数的单调性基础梳理定义单调增函数单调减函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间IA，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1x2时，都有_，那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y=f(x)的_当x1f(x2)f(x1)0，b0)的单调性：在_和_上单调递增；在_和_上单调递减1xbx(0,1(-，-11，+)-1,0),ba,ba0ba0 ba 基础达标1.(必修1P43练习2改编)函数f(x)=1-3x在(-，+)上是_函数；f(x)=+2在(-，0)上是_函数1x减减2.(必修1P34例题改编)函数f(x)=x2-2x+4的增区间为_；减区间为_(-，1
2、 1，+)3.f(x)=x2-2ax+3在(-，4上是减函数，则a的取值范围为_ 解析：画出图形可知a4.4，+)4.下列函数中，在区间(0，+)上不是增函数的是_(填序号)y=2x+1；y=3x2+1；y=；y=|x|.2x 解析：在R上递增；在(0，+)上递增；在(0，+)上递增；只有在(0，+)上递减5.若函数y=ax与y=在(0，+)上都是减函数，则y=ax2+bx在(0，+)上是_(填“增函数”或“减函数”)bx 解析：由题意知a0且b0，则y=ax2+bx图象开口向下且对称轴x=-0，故此函数在(0，+)上递减减函数【例1】判断下列函数的单调性，并给予证明(1)f(x)=，x(-1
3、，+)；(2)f(x)=，x-1，+)经典例题21x 1x题型一 函数单调性的判断与证明分析：先判断单调性，再用单调性的定义证明(1)采用通分进行变形，(2)采用分子有理化的方式进行变形解：(1)函数f(x)=在(-1，+)上为减函数利用定义证明如下：任取x1、x2(-1，+)，且-1x1x2，则f(x1)-f(x2)=-1x10，x2+10，x2-x10，0，即f(x1)-f(x2)0，f(x1)f(x2)故f(x)=在(-1，+)上为减函数21x 2112122221111xxxxxx 2112211xxxx 21x(2)函数f(x)=在-1，+)上为增函数证明如下：任取x1、x2-1，+
4、)且-1x1x2，则有x1-x20，f(x1)-f(x2)=-1x1x2，x1-x20，即f(x1)-f(x2)0，f(x1)f(x2)故函数f(x)=在-1，+)上为增函数1x1212121211111111xxxxxxxx 12121212111111xxxxxxxx 1210,10 xx 121211xxxx 变式1-1 试讨论函数f(x)=，x(-1,1)的单调性(其中a0)21axx 解析：设-1x1x21，则f(x1)-f(x2)=.-1x1x21，|x1|1，|x2|0，|x1x2|1，即-1x1x20.因此，当a0时，f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时函数为
5、减函数；当a0时，f(x1)-f(x2)0，即f(x1)0，且a1)；(2)y=log1/2(4x-x2)；(3)y=；(4)y=|x-3|-|x+1|.题型二 求函数单调区间223xx分析：研究函数单调性，必须先确定区间(即定义域)，注意复合函数的“同增异减”的运用考查运用函数图象求单调区间解：(1)定义域为R，g(x)=1-x，在R上是减函数，当a1时，y=a1-x在R上是减函数；当0a1时，函数的减区间是R；当0a0，在(0,2上递增，在2,4)上递减，故函数y=log 1/2(4x-x2)增区间是2,4)，减区间是(0,2(3)由y=，得-x2-2x+30，得-3x1，且对称轴为x=-
6、1，开口向下，故函数的增区间是-3，-1，减区间是-1,1223xx(4)y=|x-3|-|x+1|=故此函数的减区间为(-1,3)4,122,134,3xxxx 变式2-1 求下列函数的单调区间(1)y=-x2+2|x|+3；(2)y=log0.7(x2-3x+2)解析：(1)y=-x2+2|x|+3=即y=如图：单调递增区间是(-，-1和0,1，递减区间是(-1,0)和(1，+)2223,023,0 xxxxxx2214,014,0.xxxx (2)由x2-3x+20，得函数的定义域是(-，1)(2，+)，令t=x2-3x+2，则y=log0.7t.t=x2-3x+2=，t=x2-3x+2
7、的单调减区间是(-，1)，增区间是(2，+)，又y=log0.7t在(0，+)上是减函数，函数y=log0.7(x2-3x+2)的单调减区间是(2，+)，单调增区间是(-，1)23124x【例3】函数f(x)对任意的a、bR，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且当x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)3.题型三 抽象函数的单调性分析：根据题目中所给的关系式通过赋值、变形、构造，寻找f(x2)与f(x1)的关系解：(1)证明：设x1，x2R，且x10，f(x2-x1)1.f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-
8、f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10，f(x2)f(x1)，即f(x)是R上的增函数(2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，f(2)=3，原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2)f(x)是R上的增函数，3m2-m-22，解得-1m0时，f(x)x2，则x1-x20，f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)又x0时，f(x)0，f(x1-x2)0，即f(x1)x2，则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)又x0时，f(x)0，f
9、(x1-x2)0，即f(x1)0时，恒有f(x)1，且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)(1)求f(0)的值；(2)求证：对任意的xR，恒有f(x)0；(3)求证：f(x)是R上的增函数；(4)若f(x)f(2x-x2)1，求x的取值范围题型四 函数单调性的应用(1)令a=b=0，得f(0)=1.(2)证明：令a=x，b=-x，则f(0)=f(x)f(-x)f(-x)=.由已知x0时，f(x)10；当x0，f(-x)0，f(x)=0.又x=0时，f(0)=10，对任意xR，f(x)0.1f x 1fx(3)证明：任取x2x1，则f(x2)0，f(x1)0，x2-x10，=f(x
10、2)f(-x1)=f(x2-x1)1，f(x2)f(x1)，f(x)在R上是增函数(4)f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又f(0)=1，f(x)在R上递增由f(3x-x2)f(0)，得3x-x20，0 x1时，为使函数y=f(x)=loga(ax2-x)在闭区间2,4上是增函数，只需g(x)=ax2-x在2,4上是增函数，故就满足解得a ，又a1，a1.当0af(2x)的x的取值范围是_知识准备：1.掌握分段函数的图象、单调性；2.掌握用函数的性质转化为求解二次不等式链接高考21,01,0 xxx(1,2 1)解析：由题意得或解得-1x0或.即.21020 xx 21220 xxx 021x121x