1、2016-2017学年甘肃省天水二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1命题p：若0，则与的夹角为锐角；命题q：若函数f（x）在（，0和（0，+）上都是减函数，则f（x）在（，+）上是减函数，下列说法中正确的是（）A“p或q”是真命题Bp为假命题C“p或q”是假命题Dq为假命题2已知空间向量=（1，n，2），=（2，1，2），若2与垂直，则|等于（）ABCD3设a0，aR，则抛物线y=ax2的焦点坐标为（）A（0，）B（，0）C（0，）D（，0）4已知，若，则与的值可以是（）ABC3，2D2，25
2、设曲线C：=1，则“m3”是“曲线C为双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6已知=（2，1，3），=（1，4，2），=（7，5，），若、三向量共面，则实数等于（）ABCD7已知=（cos，1，sin），=（sin，1，cos），则向量+与的夹角是（）A90B60C30D08已知F1（3，0），F2（3，0）是椭圆+=1的两个焦点，点P在椭圆上，F1PF2=当=时，F1PF2面积最大，则m+n的值是（）A41B15C9D19三棱锥ABCD中，AB=AC=AD=2，BAD=90，BAC=60，则等于（）A2B2C2D210若直线y=2x与双曲线=1（a
3、0，b0）有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（）A（1，）B（，+）C（1，D，+）11如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为（）ABCD12已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cosAF2F1=（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，SA底面ABCD，SA=AB，则异面直线AC与SD所成角为14过双曲线C：=1（a0，b0）的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A、B若AOB=120
4、（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为15已知抛物线y2=2px （p0）上的一点M到定点A（，4）和焦点F的距离之和的最小值等于5，则P=16下列结论：若命题p：xR，tanx=1；命题q：xR，x2x+10则命题“pq”是假命题已知直线l1：ax+3y1=0，l2：x+by+1=0则l1l2的充要条件为命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1则x23x+20”；其中正确结论的序号为三、解答题（本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线=1的离心率e（，），若命题p、q中有且只有一
5、个为真命题，则实数m的取值范围是18如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（1）证明：B1M平面ABM；（2）求异面直线A1M和C1D1所成角的余弦值19已知椭圆+=1和点P（4，2），直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点（1）当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；（2）当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程20已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB=90，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M为PB中点（1）证明：CM平面PAD；（2）求二面角AMCB的余弦值21已知抛物线y2=4x截直线y=2x+b所得的弦
6、长为|AB|=3（1）求b的值；（2）在x轴上求一点P，使APB的面积为3922设椭圆=1（ab0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为（）求椭圆的方程；（）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若=8，求k的值2016-2017学年甘肃省天水二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1命题p：若0，则与的夹角为锐角；命题q：若函数f（x）在（，0和（0，+）上都是减函数，则f（x）在（，+）上是减函数，下列说法中正
7、确的是（）A“p或q”是真命题Bp为假命题C“p或q”是假命题Dq为假命题【考点】复合命题的真假【分析】先判断命题p，q的真假，利用复合命题与简单命题之间的关系进行判断【解答】解：若0，则cos，=，若cos，=1，则，=0时，满足条件，但此时0不是锐角，p为假命题若f（x）=满足在（，0和（0，+）上都是减函数，但f（x）在（，+）上不是单调函数，命题q为假命题“p或q”是假命题，p和q都是真命题，故选：C2已知空间向量=（1，n，2），=（2，1，2），若2与垂直，则|等于（）ABCD【考点】空间向量的数量积运算【分析】利用向量垂直关系，2与垂直，则（2）=0，即可得出【解答】解：=（1，
8、n，2），=（2，1，2），2=（4，2n1，2），2与垂直，（2）=0，8+2n1+4=0，解得，n=，故选D3设a0，aR，则抛物线y=ax2的焦点坐标为（）A（0，）B（，0）C（0，）D（，0）【考点】抛物线的简单性质【分析】由抛物线标准方程x2=y，当a0时，焦点在y轴正半轴上，则2p=，则=，则焦点坐标为（0，），同理可知：当a0时，求得焦点坐标【解答】解：抛物线y=ax2，标准方程x2=y，当a0时，焦点在y轴正半轴上，则2p=，则=，则焦点坐标为（0，），当a0时，焦点在y轴负半轴上，则2p=，则=，则焦点坐标为（0，），综上可知：焦点坐标为（0，）故选A4已知，若，则与的值可
9、以是（）ABC3，2D2，2【考点】空间向量运算的坐标表示【分析】直接利用向量平行，推出向量坐标关系，求出与的值即可【解答】解：因为，所以21=0，解得=，解得=2或=3所以与的值可以是：或3，；故选A5设曲线C：=1，则“m3”是“曲线C为双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据双曲线的定义求出曲线C为双曲线的充要条件，结合集合的包含关系判断即可【解答】解：由双曲线的定义得：或，解得：m3或3x2，故m3”是“曲线C为双曲线”的充分不必要条件，故选：A6已知=（2，1，3），=（1，4，2），=（
10、7，5，），若、三向量共面，则实数等于（）ABCD【考点】共线向量与共面向量【分析】由已知中=（2，1，3），=（1，4，2），=（7，5，），若、三向量共面，我们可以用向量、作基底表示向量，进而构造关于的方程，解方程即可求出实数的值【解答】解：=（2，1，3），=（1，4，2）与不平行，又、三向量共面，则存在实数X，Y使=X+Y即解得=故选D7已知=（cos，1，sin），=（sin，1，cos），则向量+与的夹角是（）A90B60C30D0【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量的坐标运算与数量积运算，计算（+）（）=0，从而得出向量+与的夹角为90【解答】解： =（cos，1，sin
11、），=（sin，1，cos），+=（cos+sin，2，sin+cos），=（cossin，0，sincos），（+）（）=（cos+sin）（cossin）+20+（sin+cos）（sincos）=0，（+）（），即向量+与的夹角为90故选：A8已知F1（3，0），F2（3，0）是椭圆+=1的两个焦点，点P在椭圆上，F1PF2=当=时，F1PF2面积最大，则m+n的值是（）A41B15C9D1【考点】椭圆的简单性质【分析】由F1PF2=当=时，F1PF2面积最大，可得此时点P为椭圆的一个短轴的端点，F1PO=可得a，又c=3，a2=b2+c2，联立解出即可得出【解答】解：F1PF2=当=时
12、，F1PF2面积最大，此时点P为椭圆的一个短轴的端点，F1PO=a，又c=3，a2=b2+c2，联立解得b2=3，a2=12m+n=a2+b2=15故选：B9三棱锥ABCD中，AB=AC=AD=2，BAD=90，BAC=60，则等于（）A2B2C2D2【考点】平面向量数量积的运算【分析】用表示出，再计算数量积【解答】解：，=（）=22cos9022cos60=2故选：A10若直线y=2x与双曲线=1（a0，b0）有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（）A（1，）B（，+）C（1，D，+）【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的渐近线方程，由双曲线与直线y=2x有交点，应有渐近线的斜率2，
13、再由离心率e=，可得e的范围【解答】解：双曲线=1（a0，b0）的渐近线方程为y=x，由双曲线与直线y=2x有交点，则有2，即有e=，则双曲线的离心率的取值范围为（，+）故选：B11如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为（）ABCD【考点】直线与平面所成的角【分析】连接A1C1交B1D1于点O，连接BO，在长方体中由AB=BC=2，可得CO1B1D1，由长方体的性质可证有OC1BB1，且由直线与平面垂直的判定定理可得OC1平面BB1D1D，则C1BO为则BC1与平面BB1D1D所成角在RtBOC1中，可求【解答】解：连接
14、A1C1交B1D1于点O，连接BO由AB=BC=2，可得A1B1C1D1为正方形即CO1B1D1由长方体的性质可知BB1面A1B1C1D1，从而有OC1BB1，且BB1B1D1=B1OC1平面BB1D1D则C1BO为则BC1与平面BB1D1D所成角在RtBOC1中， 故选C12已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cosAF2F1=（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论【解答】解：双曲线C的离心率为2，e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A
15、|，解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，|F1F2|=2c，则由余弦定理得cosAF2F1=故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，SA底面ABCD，SA=AB，则异面直线AC与SD所成角为60【考点】异面直线及其所成的角【分析】建立如图所示的坐标系，利用向量的数量积公式，可得结论【解答】解：建立如图所示的坐标系，设AB=1，则=（1，1，0），=（0，1，1），设异面直线AC与SD所成角为cos=，=60故答案为6014过双曲线C：=1（a0，b0）的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线，切点分别为A、B若AOB=120
16、（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为2【考点】双曲线的简单性质【分析】根据题意可先求得AOF利用OF和OA，在直角三角形中求得的值，进而可求得双曲线的离心率【解答】解：如图，由题知OAAF，OBBF且AOB=120，AOF=60，又OA=a，OF=c，=cos60=，=2故答案为215已知抛物线y2=2px （p0）上的一点M到定点A（，4）和焦点F的距离之和的最小值等于5，则P=3或1【考点】抛物线的简单性质【分析】由M到定点A（，4）和焦点F的距离之和的最小值等于5，可得M到定点A（，4）与它到准线的距离之和的最小值等于5，求出p的值【解答】解：当点A在抛物线内部时，抛物线y2=2px的
17、准线方程为x=M到定点A（，4）和焦点F的距离之和的最小值等于5，M到定点A（，4）与它到准线的距离之和的最小值等于5，+=5，p=3，抛物线的方程为y2=6x同理，当点A在抛物线外部或在抛物线上时，抛物线的方程为y2=2x故答案为：3或116下列结论：若命题p：xR，tanx=1；命题q：xR，x2x+10则命题“pq”是假命题已知直线l1：ax+3y1=0，l2：x+by+1=0则l1l2的充要条件为命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1则x23x+20”；其中正确结论的序号为【考点】复合命题的真假；四种命题【分析】若命题p：存在xR，使得tanx=1；命题q：对任意x
18、R，x2x+10，则命题“p且q”为假命题，可先判断两个命题的真假再由且命题的判断方法判断其正误已知直线l1：ax+3y1=0，l2：x+by+1=0则l1l2的充要条件为，由两直线垂直的条件进行判断命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1则x23x+20”，由四种命题的定义进行判断；【解答】解：若命题p：存在xR，使得tanx=1；命题q：对任意xR，x2x+10，则命题“p且q”为假命题，此结论正确，对两个命题进行研究发现两个命题都是真命题，故可得“p且q”为假命题已知直线l1：ax+3y1=0，l2：x+by+1=0则l1l2的充要条件为，若两直线垂直时，两直线斜率存在
19、时，斜率乘积为，当a=0，b=0时，此时两直线垂直，但不满足，故本命题不对命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1则x23x+20”，由四种命题的书写规则知，此命题正确；故答案为三、解答题（本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线=1的离心率e（，），若命题p、q中有且只有一个为真命题，则实数m的取值范围是0m，或3m5【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假【分析】根据椭圆的性质，可求出命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆为真命题时，实数m的取值范围；根据双曲线的性质，可
20、得命题q：双曲线=1的离心率e（，）为真命题时，实数m的取值范围；进而结合命题p、q中有且只有一个为真命题，得到答案【解答】解：若命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆为真命题；则9m2m0，解得0m3，则命题p为假命题时，m0，或m3，若命题q：双曲线=1的离心率e（，）为真命题；则（，），即（，2），即m5，则命题q为假命题时，m，或m5，命题p、q中有且只有一个为真命题，当p真q假时，0m，当p假q真时，3m5，综上所述，实数m的取值范围是：0m，或3m5故答案为：0m，或3m518如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（1）证明：
21、B1M平面ABM；（2）求异面直线A1M和C1D1所成角的余弦值【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（1）可根据题中条件计算得出ABBM，BMB1M然后再根据面面垂直的判定定理即可得证（2）由于C1D1B1A1故根据异面直线所成角的定义可知MA1B1为异面直线A1M和C1D1所成的角然后在解三角形MA1B1求出MA1B1的正切值即可得出结论【解答】（1）证明：AB面BCC1B1，BM面BCC1B1ABB1MB1M=，BM=，B1B=2BMB1MABBM=B由可知B1M平面ABM（2）解：如图，因为C1D1B1A1，所以MA1B1为异面直线A1M和C1D1所成的角，A1B1
22、面BCC1B1A1B1M=90A1B1=1，B1M=tanMA1B1=即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为异面直线A1M和C1D1所成角的余弦值为19已知椭圆+=1和点P（4，2），直线l经过点P且与椭圆交于A，B两点（1）当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；（2）当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系【分析】（1）设出直线方程，代入椭圆方程，解方程可得交点坐标，由两点 的距离公式即可得到弦长；（2）运用点差法，求得直线的斜率，即可得到直线方程【解答】解：（1）直线l的方程为y2=（x4），即为y=x，代入椭圆方程x2+4y2=36，可得x=3，y=即有
23、|AB|=3；（2）由P的坐标，可得+1，可得P在椭圆内，设A（x1，y1），B（x2，y2），则+=1，+=1，由中点坐标公式可得x1+x2=8，y1+y2=4，由可得， +=0，将代入，可得kAB=，则所求直线的方程为y2=（x4），即为x+2y8=020已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB=90，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M为PB中点（1）证明：CM平面PAD；（2）求二面角AMCB的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（1）取AB中点N，连结MN，CN，推导出平面MNC平面PAD，由此能证明CM平面PAD（2）以A为原
24、点，AD，AB，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角AMCB的余弦值【解答】证明：（1）取AB中点N，连结MN，CN，四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB=90，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M为PB中点，MNPA，CNAD，MNCN=N，PAAD=A，MN，CN平面MNC，PA，AD平面PAD，平面MNC平面PAD，CM平面MNC，CM平面PAD解：（2）以A为原点，AD，AB，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），M（0，1，），=（1，0，），=（0，1，）
25、，=（0，1，），设平面AMC的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（1，1，2），设平面BMC的法向量=（a，b，c），则，取c=2，得=（1，1，2），设二面角AMCB的平面角为，则cos=，二面角AMCB的余弦值为21已知抛物线y2=4x截直线y=2x+b所得的弦长为|AB|=3（1）求b的值；（2）在x轴上求一点P，使APB的面积为39【考点】抛物线的简单性质【分析】（2）将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得b值，从而解决问题（2）设P（a，0），先求点P（a，0）到AB：2xy4=0距离，再根据，求出a 值，可求P
26、得坐标【解答】解：（1）联立方程组，消去y得方程：4x2+（4b4）x+b2=0x1+x2=1bx1x2=|AB|=3解得b=4（2）将b=4代入直线y=2x+b得AB所在的直线方程为2xy4=0设P（a，0），则P到直线AB的距离为d=；APB的面积S=3=39则a=11或15所以P点的坐标为（11，0）或（15，0）22设椭圆=1（ab0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为（）求椭圆的方程；（）设A，B分别为椭圆的左，右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点若=8，求k的值【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程；椭圆的简单
27、性质【分析】（）先根据椭圆方程的一般形式，令x=c代入求出弦长使其等于，再由离心率为，可求出a，b，c的关系，进而得到椭圆的方程（）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k26=0，再由韦达定理进行求解求得，利用=8，即可求得k的值【解答】解：（）根据椭圆方程为过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为，当x=c时，得y=，=，离心率为，=，解得b=，c=1，a=椭圆的方程为；（）直线CD：y=k（x+1），设C（x1，y1），D（x2，y2），由消去y得，（2+3k2）x2+6k2x+3k26=0，x1+x2=，x1x2=，又A（，0），B（，0），=（x1+，y1）（x2y2）+（x2+，y2）（x1y1），=6（2+2k2）x1x22k2（x1+x2）2k2，=6+=8，解得k=2017年2月20日