1、第三节等比数列及其前n项和最新考纲1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系(对应学生用书第99页)1等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为q(nN*，q为非零常数)(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab.2等比数列的通项公式与前
2、n项和公式(1)通项公式：ana1qn1.(2)前n项和公式：Sn3等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若mnpq，则amanapaq；若2spr，则apara，其中m，n，p，q，s，rN*.(3)若数列an，bn(项数相同)是等比数列，则an，a，anbn，(0)仍然是等比数列(4)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk.(5)当q1时，数列Sm，S2mSm，S3mS2m，成等比数列1“G2ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件2若q0，q1，则Snkkqn(k0)是数
3、列an成等比数列的充要条件，此时k.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac.()(3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1等比数列an中，a312，a418，则a6等于()A27B36C.D54C公比q，则a6a4q218.2在等比数列an中，a3，S3，则a1，q的值分别为()A6，B6，C.，1D.，1或6，D由S3a1a2a3a3(q
4、2q11)，得q2q113，即2q2q10，解得q1或q.当q1时，a1；当q时，a16，故选D.373与73的等比中项为_2由G2(73)(73)4得G2.4在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_27,81设该数列的公比为q，由题意知，2439q3，q327，q3.插入的两个数分别为9327,27381.(对应学生用书第99页)考点1等比数列的基本运算(1)等比数列基本运算的通法是设出首项a1和公比q，通过方程组求出结果，进而解决问题，体现了方程的思想(2)在使用等比数列前n项和公式时，应注意判断公比q是不是1，从而选择不同的求和公式(1)(2019全国卷)已
5、知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a53a34a1，则a3()A16B8C4D2(2)(2018全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.求an的通项公式；记Sn为an的前n项和若Sm63，求m.(1)C(1)设正数的等比数列an的公比为q，则解得a3a1q24，故选C.(2)解设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)或q2或q2.故an(2)n1或an2n1.若an(2)n1，则Sn.由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.综上，m6.把S4表示成S4a1a1qa1q2a1q3
6、，不需要考虑q是不是1的情况，如本例T(1)教师备选例题已知等比数列an单调递减，若a31，a2a4，则a1()A2B4C.D2B设等比数列的公比为q，由题意知0q1，由a31，a2a4得，整理得2q25q20，解得q或q2(舍去)，所以a14，故选B.1.已知等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a22，S6S46a4，则a5()A4B10 C16D32C设公比为q(q0)，S6S4a5a66a4，因为a22，所以2q32q412q2，即q2q60，所以q2或q3(舍去)，则a522316.2(2019全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和，若a11，S3，则S4_.设等比数列的公
7、比为q，则ana1qn1qn1.a11，S3，a1a2a31qq2，即4q24q10，q，S4.3(2017江苏高考)等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3，S6，则a8_.32设an的首项为a1，公比为q，则解得所以a8272532.考点2等比数列的判定与证明判定等比数列的四种方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN*)，则an是等比数列(2)等比中项法：若数列an中，an0，且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk
8、(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列(2018全国卷)已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解(1)由条件可得an1an.将n1代入得，a24a1，而a11，所以a24.将n2代入得，a33a2，所以a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列由条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.本例中由bn12bn，不能判定bn是等比数列，还要验证b10.(2016全国卷)
9、已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.解(1)证明：由题意得a1S11a1，故1，a1，故a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.因此an是首项为，公比为的等比数列，于是an.(2)由(1)得Sn1.由S5得1，即.解得1.教师备选例题设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又，得an1
10、4an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首项b13，公比为2的等比数列(2)由(1)知bnan12an32n1，故是首项为，公差为的等差数列(n1)，故an(3n1)2n2.考点3等比数列性质的应用应用等比数列性质的两个关注点(1)转化意识：在等比数列中，两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方，这是最常用的性质(2)化归意识：把非等比数列问题转化为等比数列问题解决，例如有关Sm，S2m，S3m的问题可利用Sm，S2mSm，S3mS2m成等比数列求解等比数列项的性质(1)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a12
11、2e5，则ln a1ln a2ln a20_.(2)等比数列an的前n项和为Sn，若an0，q1，a3a520，a2a664，则S5_.(1)50(2)31(1)因为a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.(2)由等比数列的性质，得a3a5a2a664，于是由且an0，q1，得a34，a516，所以解得所以S531.本例T(2)也可以先求出a1和q，再求S5，但运算量大，易出错等比数列
12、前n项和的性质(1)一题多解设等比数列an的前n项和为Sn，若，则_.(2)已知等比数列an共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q_.(1)(2)2(1)法一：(整体代入法)因为S6S312，所以an的公比q1.由，得q3，所以.法二：(性质法)由题意知S3，S6S3，S9S6成等比数列又，即S32S6，所以2S6，S6，S9S6成等比数列S9S6S6，即S9S6.(2)由题意，得解得所以q2.对于本例T(2)，熟练掌握S偶与S奇的关系为解答本题提供了保障，避免了繁琐的运算1.在等比数列an中，a3，a15是方程x26x20的根，则的值为()ABC.D或B设等比数列
13、an的公比为q，因为a3，a15是方程x26x20的根，所以a3a15a2，a3a156，所以a30，a150，则a9，所以a9，故选B.2设等比数列an的前n项和为Sn，S21，S45，则S6等于()A9B21 C25D63B因为S210，所以q1，由等比数列性质得S2，S4S2，S6S4成等比数列，即1(S65)(51)2，所以S621，故选B.考点4等差数列与等比数列的综合计算等差数列与等比数列综合计算的策略(1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程求解方程中注意合理选择有关
14、公式，正确判断是否需要分类讨论(2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即an为等差数列a(a0且a1)为等比数列；an为正项等比数列logaan(a0且a1)为等差数列(1)已知等比数列an的各项都为正数，且a3，a5，a4成等差数列，则的值是()A.B.C.D.(2)(2018北京高考)设an是等差数列，且a1ln 2，a2a35ln 2.求an的通项公式；求eee.(1)A设等比数列an的公比为q，由a3，a5，a4成等差数列可得a5a3a4，即a3q2a3a3q，故q2q10，解得q或q(舍去)，由，故选A.(2)解设an的公差为d.因为a2a35ln 2，所以2a13
15、d5ln 2.又a1ln 2，所以dln 2.所以ana1(n1)dnln 2.因为eeln 22，eanan1eln 22，所以数列e是首项为2，公比为2的等比数列所以eee22(2n1)2n12.本例T(2)中，解答第问的关键是证明数列e是等比数列1.已知an为等比数列，数列bn满足b12，b25，且an(bn1bn)an1，则数列bn的前n项和为()A3n1B3n1C.D.C设等比数列an的公比为q，an(bn1bn)an1，bn1bnq(常数)，即数列bn是等差数列，公差为q.b12，b25，q3，数列bn的前n项和为2n3.故选C.2(2019全国卷)已知an是各项均为正数的等比数列，a12，a32a216.(1)求an的通项公式；(2)设bnlog2an，求数列bn的前n项和解(1)设an的公比为q，由题设得2q24q16，即q22q80.解得q2(舍去)或q4.因此an的通项公式为an24n122n1.(2)由(1)得bn(2n1)log222n1，因此数列bn的前n项和为13(2n1)n2.