1、甘肃省平凉市庄浪县第一中学2021届高三数学上学期第四次模拟试题 理（含解析）一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合、，利用并集的定义可求得集合.详解】，因此，.故选：D.2. 圆上的点到直线的距离的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出圆心到直线距离，加上半径最大值，减去半径最小值即可求解.【详解】，圆心，半径，圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的距离的最小值为，最大值为，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为.故
2、选：A3. 据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”特别是当时，得到一个令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数（自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位1和零元0）联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”根据欧拉公式，若复数的共轭复数为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】复数，进而得出共轭复数为z.【详解】因为复数，所以，故选：D【点睛】本题主要考查了欧拉公式，共轭复数，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.4. 将正整数12分解成两个正整数的乘积有，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为12的最佳分
3、解.当(且p)是正整数n的最佳分解时，我们定义函数，例如，则数列的前2020项和为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】按照为偶数、为奇数分类，再结合等比数列的前n项和公式即可得解.【详解】当为偶数时，；当为奇数时，；所以数列的前2020项和.故选：A.【点睛】本题考查了数学文化及等比数列前n项和公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.5. 在不超过20的素数(注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其它正因数，则称这个整数为素数)中，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于20的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据素数的定义，得到不超过20的
4、素数有8个，利用组合数公式求出基本事件的种数和所求事件的种数，再根据古典概型的概率公式可得结果.【详解】不超过20的素数有，从中任取2个，有种取法，其中满足和等于20的取法有共2，根据古典概型的概率公式得所求概率为.故选：A【点睛】关键点点睛：掌握古典概型的概率公式是解题关键.6. 已知，平面ABC，若，则四面体PABC的外接球（顶点都在球面上）的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取PC的中点O，连接OA，OB，由已知得P，A，B，C四点在以O为球心的球面上，由已知数据和球的体积公式可得选项.【详解】取PC的中点O，连接OA，OB，由题意得，又因为，所以平面，所以，
5、在，同理，所以，因此P，A，B，C四点在以O为球心的球面上，在中，在中，球O的半径，所以球的体积为，故选：D.【点睛】本题考查几何体的外接球的体积的计算，关键在于确定外接球的球心和半径，属于中档题.7. 若曲线的一条切线为（为自然对数的底数），其中为正实数，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设切点为，由题意知，从而可得，根据 “1”的代换，可求出，由基本不等式可求出取值范围.【详解】解：，设切点为，则，. 原式，当且仅当，即时等号成立，即.故选:C.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式.切线问题，一般设出切点，由切点处的导数值为切线的斜率以及切
6、点既在切线上又在函数图像上，可列出方程组.运用基本不等式求最值时注意一正二定三相等.8. 在数列中，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】【详解】试题分析：在数列中，故选A.9. 若将函数的图象向左平移个单位长度后.得到的函数图象关于对称.则函数在上的最小值是（ ）A. B. C. D. 0【答案】D【解析】【分析】写出平移后图象的函数解析式，由对称性求得，再由余弦函数性质得最小值【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后.得到图象解析式为，它的图象关于点对称，则，又，所以，所以，时，所以最小值为0，此时故选：D【点睛】本题考查三角函数图象平移变换，考查正弦函数的对称性，余弦函数的
7、最值掌握正弦函数与余弦函数性质是解题关键10. 已知椭圆两焦点，P为椭圆上一点，若，则的的内切圆半径为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由余弦定理得，得到，可求得面积，再由可得答案.【详解】，由题意得，由余弦定理得，得，设内切圆的半径为，则，所以故选：B.【点睛】椭圆的焦点三角形常常考查椭圆定义，三角形中的正余弦定理，内角和定理，面积公式等等，覆盖面广，综合性较强，因此受到了命题者的青睐，特别是面积和张角题型灵活多样，是历年高考的热点.11. 广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”.如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的
8、“阴阳鱼太极图”，圆心分别为，若一动点从点出发，按路线运动(其中五点共线)，设的运动路程为，与的函数关系式为，则的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】按点出发路径分成四段分别进行求其解析式，再结合图形进行排除可得答案.【详解】根据题图中信息，可将分为4个区间，即，当时，函数值不变，；当时，设与的夹角为，|，的图象是曲线，且单调递增；根据图象排除CD当时， ，设与的夹角为,|，函数的图象是曲线，且单调递减. 根据图象排除B,结合选项知选A【点睛】本题考查函数图象及应用，根据函数解析式画出函数图象是解题关键，属于中档题.12. 设实数，已知函数f(x)=，若函数在区间
9、上有两个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】把函数在区间上有两个零点，转化为函数和的图象存在两个交点，画出两个函数的图象，得到，且，令，利用导数求得函数的单调性，结合单调性，即可求解.【详解】因为函数在区间上有两个零点，即方程在区间上有两个实数根，即函数和的图象存在两个交点，画出两个函数的图象，如图所示，由图象可得，因为，所以，令，则，当时，由函数与的图象可知，所以，所以函数在区间上单调递增，所以，即，所以的取值范围是.故选：D.【点睛】根据函数的零点求参数的范围的解题策略：1、转化：把函数的零点测存在情况转化为方程的解或两个函数的图形的交点的情况；2、
10、列式：根据函数零点的存在性定理或结合图象列式，合理构造新函数；3、求解：结合函数的基本性质（单调性，极值、最值）或图象进行求解；4、求出参数的取值范围或根据图象求得参数的取值范围.二、填空题（本大题共20分，含4小题，每小题5分.）13. 已知等差数列前项的和为，若，且三点共线(该直线不过点)，则_【答案】【解析】【分析】由A,B,C三点共线（该直线不过点O）可得,再由等差数列前项和公式求解即可.【详解】因为，且A,B,C三点共线（该直线不过点O）,所以,因为等差数列,所以,故答案为：【点睛】方法点晴：本题主要考查了等差数列的前项和公式以及共线向量定理的应用，属于基础题.解答本题时部分考生找不
11、到解题思路，根本原因是对题目条件的挖掘不够，“且三点共线”，由共线向量定理的推论可知，再由等差数列的前项和公式即可求出的值.14. 法国数学家拉格朗日于1778年在其著作解析函数论中提出一个定理：如果函数满足如下条件：（1）在闭区间上是连续不断的；（2）在区间上都有导数则在区间上至少存在一个数，使得，其中称为拉格朗日中值则在区间上的拉格朗日中值_【答案】【解析】【分析】先求得导函数，结合拉格朗日中值的定义，可得，进而求得的值即可.【详解】，则，所以，由拉格朗日中值的定义可知，即，所以故答案为: .【点睛】本题考查函数与导数的简单应用，新定义的理解和应用，属于基础题15. 设函数则使得f()f(
12、3x-1)成立的x的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，求出函数的单调性，由此得到，解不等式即得解.【详解】由题得函数的定义域为R. 所以函数是偶函数.当时，都是增函数，所以是增函数，所以函数在是增函数，在上是减函数.因为f()f(3x-1)，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查抽象不等式的解法，注意对于偶函数，解其不等式时，避免讨论，运用绝对值得出其大小关系，属于中档题.16. 若对任意，都有，（为正整数），则的值等于_.【答案】4【解析】【分析】将式子变形后，重新组合，变为关于按的升幂排列的等式，再根据等式左右两边相等，可得到系数之间的
13、关系，推出，即可求得结果.【详解】,解得：，即.故答案为：4.【点睛】本题考查二项式定理，考查利用展开式对应项系数相等求参数问题，属于中档题.三、解答题：(本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17. 如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.（1）求B；（2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理化简即可（2）在，利用余弦定理求出，已知，可得，再余弦定理求出，即可和面积，可得四边形的面积【详解】解：（1）由正弦定理得，得.因为，所以，即.（2）在中AB=2，B
14、C=3，解得.在中，A，B，C，D在圆上，因为，所以，所以，解得或（舍去），所以四边形ABCD的面积.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18. 2018年至今，美国对“中兴”、“华为”等中国高科技公司进行疯狂的打压，引发国内“中国芯”研发热潮，但芯片的生产十分复杂，其中最重要的三种设备，刻蚀机、离子注入机、光刻机所需的核心技术仍被一些欧美国家垄断国内某知名半导体公司组织多个科研团
15、队，准备在未来2年内全力攻关这三项核心技术已知在规定的2年内，刻蚀机、离子注入机和光刻机所需的三项核心技术，被科研团队攻克的概率分别为，各项技术攻关结果彼此独立按照该公司对科研团队的考核标准，在规定的2年内，攻克刻蚀机离子注人机所需的核心技术，每项均可获得30分的考核分，攻克光刻机所需的核心技术，可获得60分的考核分，若规定时间结束时，某项技术未能被攻克，则扣除该团队考核分10分已知团队的初始分为0分，设2年结束时，团队的总分为，求：（1）已知团队在规定时间内，将三项核心技术都攻克的概率为，求该团队恰能攻克三项核心技术中的一项的概率；（2）已知，求总分不低于50分的概率【答案】（1）；（2）【
16、解析】【分析】（1）由三项核心技术都攻克的概率求出，由此能求出恰能攻克三项核心技术中的一项的概率；（2）三项技术都攻克，则，若攻克光刻机技术和刻蚀机、离子注入机中的一项，则，若技术刻蚀机和离子注入机，但未攻克光刻机技术，则，由此可求出结果【详解】（1）三项核心技术都攻克的概率为，故恰能攻克三项核心技术中的一项的概率；（2）若三项技术都攻克，则，；若攻克光刻机技术和刻蚀机、离子注入机中的一项，则，；若技术刻蚀机和离子注入机，但未攻克光刻机技术，则，；所以，【点睛】此题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等知识，考查运算求解能力，属于中档题19. 如图，三棱柱的侧面是
17、边长为的正方形，面面，是的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求的长；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，且，理由见解析.【解析】【分析】（1）通过三角形的中位线以及线面平行的判定定理，证得平面.（2）建立空间直角坐标系，利用公式计算点到平面的距离.（3）设出点坐标，根据二面角为列方程，解方程求得.【详解】（1）连接交于，连接，根据柱体的性质可知，所以四边形是平行四边形，所以是的中点，由于是的中点，所以，由于平面，平面，所以平面.（2）因为四边形是正方形，所以，因为面面，面面，所以平面，则.因为，在三角
18、形中由余弦定理得，所以，所以.以为原点，建立如图所示空间直角坐标系.则.设平面的法向量为，则，令，则，故.设到平面的距离为，则.（3）假设线段上存在一点，使二面角为.设，则，.设平面的法向量为，则，令则，所以.由于平面，所以，是平面的一个法向量，所以，解得（负根舍去）.所以在线段上存在一点，使二面角为，且.【点睛】证明线面平行的方法主要是通过线线平行来证明，求点面距可以考虑向量法来计算.20. 已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两直线与分别交椭圆于两点，若直线与的斜率互为相反数，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得的值，
19、即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线为，得到直线为，联立方程组，结合根与系数的关系，分别求得，利用两点间的距离公式，根据基本不等式，即可求解.【详解】（1）由题意，椭圆的离心率为，且过点.可得，解得，所以椭圆的方程为.（2）设直线为，则直线为，联立方程组，整理得，由，解得，又由，可得，则，同理可得：，所以，当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为.【点睛】解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（
20、或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.21. 已知函数.（1）讨论函数的单调性.（2）若，设是函数的两个极值点，若，求证:.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求得的定义域和导函数，对分成和两种情况进行分类讨论，由此求得的单调区间.（2）求得的表达式，求得，利用根与系数关系得到的关系式以及的取值范围，将表示为只含的形式，利用构造函数法求得的最小值，从而证得不等式成立.【详解】(1)由题意得，函数的定义域为，.当时，函数在上单调递增.当时，令，得.若，则，此时函数单调递增
21、；若，则，此时函数单调递减.综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.(2)，.由得，.，解得.设，则，函数在上单调递减.当时，.时，成立.【点睛】求解含有参数的函数的单调性题，求导后要根据导函数的形式进行分类讨论.选做题：请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22. 已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；（2）若曲线、交于、两点，求的值【答案】（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）【解析】【分析】（1）利
22、用三角函数恒等变形消参得到曲线的普通方程，根据极坐标和直角坐标转化公式求曲线的直角坐标方程；（2）写出曲线的参数方程，与曲线的普通方程联立，利用参数的几何意义求的值【详解】解：（1）曲线的参数方程为为参数）转换为所以，得：曲线的极坐标方程为根据，转换为直角坐标方程为（2）点在直线上，转换为参数方程为为参数），代入，得到和为点和对应的参数），所以，所以【点睛】结论点睛：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，（1）公式可实现极坐标方程与直角坐标方程的互化；（2）直线的标准参数方程中参数具有几何意义：过的直线的参数方程为 （为参数），则从向上的点对应，向下的点对应参数23. 已知，证明：(1)；(2).【答案】(1) 见解析(2) 见解析【解析】【分析】（1）由柯西不等式即可证明，（2）由a3+b32转化为ab，再由均值不等式可得：ab，即可得到（a+b）32，问题得以证明【详解】证明：（1）由柯西不等式得： 当且仅当ab5ba5，即ab1时取等号；（2）a3+b32，（a+b）（a2ab+b2）2，（a+b）（a+b）23ab2，（a+b）33ab（a+b）2，ab，由均值不等式可得：ab（a+b）32，（a+b）32，a+b2，当且仅当ab1时等号成立【点睛】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属于中档题