1、第1页高考调研 高三总复习 数学（理）第2课时 两直线的位置关系 第2页高考调研 高三总复习 数学（理）2016 考纲下载 第3页高考调研 高三总复习 数学（理）1能根据两条直线斜率判定这两条直线平行或垂直或相交2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离第4页高考调研 高三总复习 数学（理）请注意本课知识高考要求难度不高，一般从下面三个方面命题：一是利用直线方程判定两条直线的位置关系；二是利用两条直线间的位置关系求直线方程；三是综合运用直线的知识解决诸如中心对称、轴对称等常见的题目，但大都是客观题出现第5页高考调研 高三总复
2、习 数学（理）课前自助餐 第6页高考调研 高三总复习 数学（理）判定两条直线的位置关系(1)两条直线的平行若 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则 l1l2k1k2 且b1b2，l1 与 l2 重合k1k2 且 b1b2当 l1，l2 都垂直于 x 轴且不重合时，则有 l1l2若 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则 l1l2A1B2A2B1 且 B1C2B2C1，l1 与 l2 重合A1A2，B1B2，C1C2(0)第7页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)两条直线的垂直若 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则 l1l2k1k21若两条直线中，一条斜率不存在，
3、同时另一条斜率等于零，则两条直线垂直若 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则 l1l2A1A2B1B20第8页高考调研 高三总复习 数学（理）(3)直线 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2 相交的条件是 k1k2.直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20 相交的条件是A1B2A2B1第9页高考调研 高三总复习 数学（理）点到直线的距离点 P(x0，y0)到直线 AxByC0(A，B 不同时为零)的距离d|Ax0By0C|A2B2第10页高考调研 高三总复习 数学（理）两平行线间的距离两平行直线 l1：AxByC10，l2：AxByC20(C1C2)间的距离
4、为 d|C1C2|A2B2第11页高考调研 高三总复习 数学（理）直线系问题 与 AxByC0 平行的直线方程(包括原直线)：AxBy0(为待定系数)若所求直线过 P(x0，y0)点，且与 AxByC0 平行，则方程为：A(xx0)B(yy0)0.与 AxByC0 垂直的直线方程为：BxAy0(为待定系数)第12页高考调研 高三总复习 数学（理）若所求直线过 P(x0，y0)点，且与 AxByC0 垂直，则方程为：B(xx0)A(yy0)0.过 A1xB1yC10 与 A2xB2yC20 的交点的直线方程为：(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(R，且不包含直线A2xB2yC20)第13
5、页高考调研 高三总复习 数学（理）1判断下列说法是否正确(打“”或“”)(1)当直线 l1 和 l2 斜率都存在时，一定有 k1k2l1l2.(2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直，那么它们的斜率之积一定等于1.第14页高考调研 高三总复习 数学（理）(3)已知直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1，B1，C1，A2，B2，C2 为常数)，若直线 l1l2，则 A1A2B1B20.(4)点 P(x0，y0)到直线 ykxb 的距离为|kx0b|1k2.第15页高考调研 高三总复习 数学（理）答案(1)(2)(3)(4)第16页高考调研 高三总复习 数学（理）2(课本习
6、题改编)过点(1，0)且与直线 x2y20 平行的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10答案 A第17页高考调研 高三总复习 数学（理）3若直线 axy50 与 x2y70 垂直，则实数 a 的值为()A2 B.12C2 D12答案 A第18页高考调研 高三总复习 数学（理）4已知点 P 在直线 x2y5 上，且点 Q(1，1)，则|PQ|的最小值为()A.55B.8 55C.3 55D.2 55答案 D第19页高考调研 高三总复习 数学（理）5直线 x2y10 关于直线 x1 对称的直线方程是_第20页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 x2y30解析 在直线
7、x2y10 上任取两点(1，1)，(0，12)，这两点关于直线 x1 的对称点分别为(1，1)，(2，12)，过这两点的直线方程为 y112(x1)，即 x2y30.第21页高考调研 高三总复习 数学（理）授人以渔 第22页高考调研 高三总复习 数学（理）题型一 两条直线的平行与垂直例 1 已知直线：l1：ax2y60 和直线 l2：x(a1)ya210.(1)试判断 l1 与 l2 是否平行；(2)l1l2 时，求 a 的值第23页高考调研 高三总复习 数学（理）【思路】运用两条直线平行或垂直的条件求解，要注意斜率为 0 或斜率不存在的情形 第24页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(
8、1)方法一：当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1 不平行于 l2；当 a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1 不平行于 l2；当 a1 且 a0 时，两直线可化为 l1：ya2x3，l2：y 11ax(a1)，l1l2a2 11a，3（a1），解得 a1.综上可知，a1 时，l1l2，否则 l1 与 l2 不平行 第25页高考调研 高三总复习 数学（理）方法二：由 A1B2A2B10，得 a(a1)120.由 A1C2A2C10，得 a(a21)160.l1l2a（a1）120，a（a21）160.a2a20，a（a21）6a1.故当 a1 时，l1l2，否则 l1 与 l2
9、不平行 第26页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)方法一：当 a1 时，l1：x2y60，l2：x0，l1 与 l2 不垂直，故 a1 不成立；当 a0 时，l1：y3，l2：xy10，l1 不垂直于 l2；当 a1 且 a0 时，l1：ya2x3，l2：y 11ax(a1)，由(a2)11a1a23.第27页高考调研 高三总复习 数学（理）方法二：由 A1A2B1B20，得 a2(a1)0a23.【答案】(1)a1 时，l1l2，否则 l1 与 l2 不平行(2)a23第28页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 1(1)若直线 l1 和 l2 有斜截式方程 l1：yk1xb1，l2：y
10、k2xb2，则直线 l1l2k1k2，b1b2，l1l2 的充要条件是 k1k21.如果有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意 第29页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)设 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则 l1l2 的必要条件是 A1B2A2B1.(不充分)；l1l2A1A2B1B20.第30页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 1 已知两直线 l1：xmy60，l2：(m2)x3y2m0，根据下面 l1 与 l2 的位置关系，求实数 m 的值或取值范围(1)相交；(2)垂直；(3)平行；(4)重合第31页高考调研 高三总复习 数学（理
11、）【解析】(1)当 m0 时，显然 l1 与 l2 相交；当 m0 时，由1mm23，得 m1 且 m3.(2)当 m0 时，显然 l1 与 l2 不垂直；当 m0 时，由(1m)(m23)1，得 m12.第32页高考调研 高三总复习 数学（理）(3)若 l1 与 l2 平行，则1mm23且6m2m3，m1.(4)若 l1 与 l2 重合，则1mm23且6m2m3，m3.第33页高考调研 高三总复习 数学（理）【答案】(1)m1 且 m3(2)m12(3)m1(4)m3第34页高考调研 高三总复习 数学（理）题型二 距离公式例 2 已知点 P(2，1)(1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的
12、直线 l 的方程；(2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？(3)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由第35页高考调研 高三总复习 数学（理）【思路】结合图形，根据点到直线的距离公式求解 第36页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2，而点 P 的坐标为(2，1)，显然，过点 P(2，1)且垂直于 x 轴的直线满足条件，此时 l 的斜率不存在，其方程为 x2.若斜率存在，设 l 的方程为 y1k(x2)，即 kxy2k10.由已知得|2k1|k21 2，解得 k34.
13、此时 l 的方程为 3x4y100.第37页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，如图由 lOP，得 klkOP1，所以 kl 1kOP2.第38页高考调研 高三总复习 数学（理）由直线方程的点斜式，得 y12(x2)，即 2xy50.所以直线 2xy50 是过点 P 且与原点 O 的距离最大的直线，最大距离为|5|5 5.第39页高考调研 高三总复习 数学（理）(3)由(2)可知，过点 P 不存在到原点的距离超过 5的直线，因此不存在过点 P 且到原点的距离为 6 的直线【答案】(1)x2 和 3x4y100(
14、2)2xy50，最大距离为 5(3)不存在第40页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 2(1)求点到直线距离时，直线方程一定化成 AxByC0 的形式(2)求两平行线间的距离时，一定化成 l1：AxByC10，l2：AxByC20 的形式第41页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 2(1)(2016北京东城区)若 O(0，0)，A(4，1)两点到直线 axa2y60 的距离相等，则实数 a_第42页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】由题意，得6a2a4|4aa26|a2a4，即 4aa266，解之得 a0 或2 或 4 或 6.检验得 a0 不合题意，所以a2 或 4 或 6.【答
15、案】2 或 4 或 6第43页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)已知直线 l1：mx8yn0 与 l2：2xmy10 互相平行，且 l1，l2 之间的距离为 5，求直线 l1 的方程第44页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】l1l2，m28m n1.m4，n2 或m4，n2.(1)当 m4 时，直线 l1 的方程为 4x8yn0，把 l2 的方程写成 4x8y20.|n2|1664 5，解得 n22 或 n18.所以，所求直线的方程为 2x4y110 或 2x4y90.第45页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)当 m4 时，直线 l1 的方程为 4x8yn0，l2 的方程为 2x
16、4y10.|n2|1664 5，解得 n18 或 n22.所以，所求直线的方程为 2x4y90 或 2x4y110.第46页高考调研 高三总复习 数学（理）【答案】2x4y90 或 2x4y110 或2x4y110 或 2x4y90第47页高考调研 高三总复习 数学（理）题型三 直线系方程例 3(1)求证：动直线(m22m3)x(1mm2)y3m210(其中 mR)恒过定点，并求出定点坐标第48页高考调研 高三总复习 数学（理）【证明】方法一：令 m0，则直线方程为 3xy10.再令 m1 时，直线方程为 6xy40.和联立方程组3xy10，6xy40，得x1，y2.将点 A(1，2)代入动直
17、线(m22m3)x(1mm2)y3m210 中，第49页高考调研 高三总复习 数学（理）(m22m3)(1)(1mm2)23m21(312)m2(22)m2130，故此点 A(1，2)坐标恒满足动直线方程，所以动直线(m22m3)x(1mm2)y3m210 恒过定点 A.第50页高考调研 高三总复习 数学（理）方法二：将动直线方程按 m 降幂排列整理，得 m2(xy3)m(2xy)3xy10，不论 m 为何实数，式恒为零，有xy30，2xy0，3xy10，解得x1，y2.故动直线恒过点 A(1，2)第51页高考调研 高三总复习 数学（理）【答案】定点 A(1，2)(2)求经过两条直线 2x3y
18、10 和 x3y40 的交点，并且垂直于直线 3x4y70 的直线方程第52页高考调研 高三总复习 数学（理）【思路】思路一：先求两条直线的交点坐标，再由两线的垂直关系得到所求直线的斜率，最后由点斜式可得所求直线方程 思路二：因为所求直线与直线 3x4y70 垂直，两条直线的斜率互为负倒数，所以可设所求直线方程为 4x3ym0，将两条直线的交点坐标代入求出 m 值，就得到所求直线方程 第53页高考调研 高三总复习 数学（理）思路三：设所求直线方程为(2x3y1)(x3y4)0，即(2)x(33)y(14)0，再利用垂直关系建立 的方程，求出 即可得到所求直线方程 第54页高考调研 高三总复习
19、数学（理）【解析】方法一：由方程组2x3y10，x3y40，解得x53，y79.交点为(53，79)所求直线与 3x4y70 垂直，所求直线的斜率 k43.由点斜式，得 y7943(x53)故所求直线的方程为 4x3y90.第55页高考调研 高三总复习 数学（理）方法二：设所求直线的方程为 4x3ym0.将方法一中求得的交点坐标x53，y79.代入上式得 4(53)379m0.m9.代入所设方程 故所求直线的方程为 4x3y90.第56页高考调研 高三总复习 数学（理）方法三：所求直线过点(53，79)，且与直线 3x4y70垂直，所求直线的方程为 4(x53)3(y79)0，即 4x3y90
20、.第57页高考调研 高三总复习 数学（理）方法四：设所求直线的方程为(2x3y1)(x3y4)0.即(2)x(33)y140.又因为直线与 3x4y70 垂直 则有 3(2)4(33)0，2.代入式得所求直线的方程为 4x3y90.第58页高考调研 高三总复习 数学（理）【答案】4x3y90第59页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 3 在已知位置关系求直线方程时，灵活利用直线系较简便：几种常用的直线系方程如下：(1)共点直线系方程：经过两直线 l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20 交点的直线系方程为 A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中 A1B2A2B10，待定系数
21、R.在这个方程中，无论 取什么实数，都得不到 A2xB2yC20，因此它不能表示直线 l2.第60页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)过定点(x0，y0)的直线系方程为 yy0k(xx0)(k 为参数)及 xx0.(3)平行直线系方程：与直线 ykxb 平行的直线系方程为ykxm(m 为参数且 mb)；与直线 AxByC0 平行的直线系方程是 AxBy0(C，是参数)第61页高考调研 高三总复习 数学（理）(4)垂直直线系方程：与直线 AxByC0(A0，B0)垂直的直线系方程是 BxAy0(为参数)如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，那么可选用直线系方程来求解 第
22、62页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 3 已知直线(3a1)x(a2)y10.(1)求证：无论 a 为何值，直线总过第一象限；(2)若直线不经过第二象限，求 a 的取值范围第63页高考调研 高三总复习 数学（理）【思路】(1)求出直线系过的定点，由定点在第一象限即可证明直线总过第一象限；(2)当直线的斜率存在时，直线不经过第二象限的充要条件是直线的斜率不小于零，且直线在 y 轴上的截距不大于零，从而建立参数 a 的不等式组即可求解；当直线的斜率不存在时，验证即可 第64页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)方程可化为(x2y1)a(3xy)0.由x2y10，3xy0，可得直线
23、过定点 M(15，35)因点 M 在第一象限，故无论 a 为何值直线总过第一象限 第65页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)当 a2 时，直线为 x15，显然不过第二象限；当 a2 时，方程化为 y3a1a2 x 1a2.直线不经过第二象限的充要条件为3a1a2 0，1a20，解得 a2.综上，a2 时，直线不经过第二象限第66页高考调研 高三总复习 数学（理）【答案】(1)略(2)a2第67页高考调研 高三总复习 数学（理）题型四 对称问题例 4 已知直线 l：2x3y10，点 A(1，2)求：(1)点 A 关于直线 l 的对称点 A的坐标；(2)直线 m：3x2y60 关于直线 l 的
24、对称直线 m的方程；(3)直线 l 关于点 A(1，2)对称的直线 l的方程第68页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)设 A(x，y)，由已知条件得 y2x1231，2x12 3y22 10，解得x3313，y 413.A(3313，413)第69页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)在直线 m 上取一点，如 M(2，0)，则 M(2，0)关于直线 l的对称点 M必在直线 m上 设对称点 M(a，b)，则 2（a22）3（b02）10，b0a2231，得 M(613，3013)第70页高考调研 高三总复习 数学（理）设直线 m 与直线 l 的交点为 N，则 由2x3y10，3x2
25、y60，得 N(4，3)又m经过点 N(4，3)，由两点式得直线 m的方程为 9x46y1020.第71页高考调研 高三总复习 数学（理）(3)方法一：在 l：2x3y10 上任取两点，如 M(1，1)，N(4，3)，则 M，N 关于点 A(1，2)的对称点 M，N均在直线 l上，易得 M(3，5)，N(6，7)再由两点式可得 l的方程为 2x3y90.第72页高考调研 高三总复习 数学（理）方法二：ll，设 l的方程为 2x3yC0(C1)点 A(1，2)到两直线 l，l的距离相等，由点到直线的距离公式，得|26C|2232|261|2232，解得 C9.l的方程为 2x3y90.第73页高
26、考调研 高三总复习 数学（理）方法三：设 P(x，y)为 l上任意一点，则 P(x，y)关于点 A(1，2)的对称点为 P(2x，4y)，点 P在直线 l 上，2(2x)3(4y)10，即 2x3y90.第74页高考调研 高三总复习 数学（理）【答案】(1)A(3313，413)(2)9x46y1020(3)2x3y90第75页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 4 以光线反射为代表的很多实际问题，都可以转化为对称问题，关于对称问题，一般常见的有：(1)点关于点的对称问题利用中点坐标公式易得，如(a，b)关于(m，n)的对称点为(2ma，2nb)；(2)点关于线的对称点点与对称点的中点在已知
27、直线上，点与对称点连线的斜率是已知直线斜率的负倒数(仅指斜率存在的情况，如斜率不存在时较简单)；第76页高考调研 高三总复习 数学（理）(3)线关于线的对称线一般要在线上取点，可在所求直线上任取一点，也可在已知直线上取特殊点对称；(4)特别地，当对称轴的斜率为1 时，可类比关于 yx 的对称问题采用代入法，如(1，3)关于 yx1 的对称点为(31，11)，即(2，2)第77页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 4 光线从 A(4，2)点射出，射到直线 yx上的 B 点后被直线 yx 反射到 y 轴上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反射光线恰好过点 D(1，6)，求 BC 所在的直线方程
28、第78页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】作出草图，如图所示，设 A 关于直线 yx 的对称点为 A，D 关于 y 轴的对称点为 D，则易得 A(2，4)，D(1，6)由入射角等于反射角可得 AD所在直线经过点 B 与 C.第79页高考调研 高三总复习 数学（理）故 BC 所在的直线方程为y464x212.即 10 x3y80.【答案】10 x3y80第80页高考调研 高三总复习 数学（理）1求两直线交点坐标就是解方程组即把几何问题转化为代数问题 2要理解“点点距”、“点线距”、“线线距”之间的联系及各公式的特点 3注意归纳题目类型体会题目所蕴含的数学思想方法如数形结合的思想；方程与函数
29、的思想；分类讨论的思想第81页高考调研 高三总复习 数学（理）自 助 餐 第82页高考调研 高三总复习 数学（理）1原点到直线 x2y50 的距离为()A1 B.3C2 D.5答案 D第83页高考调研 高三总复习 数学（理）2“a1”是“直线 xy0 和直线 xay0 互相垂直”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 C第84页高考调研 高三总复习 数学（理）3过点 P(1，2)且与原点 O 距离最大的直线方程为()Ax2y50 B2xy40Cx3y70 D3xy50第85页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 A解析 要使过点(1，2)的直线与原点距离最大
30、，结合图形可知该直线与直线 PO 垂直由 kOP20102，则直线 l 的斜率为12，所以直线 l 的方程为 y212(x1)，即为 x2y50.第86页高考调研 高三总复习 数学（理）4与直线 7x24y50 平行，并且到它的距离为 4 的直线方程是_答案 7x24y950 或 7x24y1050第87页高考调研 高三总复习 数学（理）5若函数 yax8 与 y12xb 的图像关于直线 yx 对称，则 ab_第88页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 2解析 直线 yax8 关于 yx 对称的直线方程为 xay8，所以 xay8 与 y12xb 为同一直线，故得a2，b4.所以 ab2.第89页高考调研 高三总复习 数学（理）6已知点 M(a，b)在直线 3x4y15 上，则 a2b2的最小值为_第90页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 3解析 M(a，b)在直线 3x4y15 上，3a4b15.而a2b2的几何意义是原点到 M 点的距离|OM|，所以(a2b2)min1532423.请做：题组层级快练（四十八）