1、3.3.1 二元一次不等式表示的平面区域 3.3.2 二元一次不等式组表示的平面区域 目标导航预习引导学习目标 1.了解二元一次不等式(组)的几何意义.2.能用平面区域表示二元一次不等式(组).重点难点 重点:能用平面区域表示二元一次不等式(组).难点:二元一次不等式表示平面区域的探究.目标导航预习引导1.二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地,直线y=kx+b把平面分成两个区域:ykx+b表示直线上方的平面区域;y0时,A(x1,y1),B(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的同侧;当(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)0时,A,B两点在直线Ax+By+C=0的异侧.目标导航预习
2、引导2.二元一次不等式组表示的平面区域 在平面直角坐标系中,二元一次不等式组表示的平面区域就是这个不等式组中每个二元一次不等式表示的平面区域的公共部分(即交集).预习交流2 平面区域的边界有时为实线,有时为虚线,它们有什么区别?提示:边界为实线时表示包括边界,对应的不等式含有等号;边界为虚线时表示不包括边界,对应的不等式不含等号.目标导航预习引导预习交流3(1)点(1,2)不等式x-y-20表示的区域内(填“在”或“不在”).(2)若点A(1,a)与点B(2,3)在直线2x-y+1=0的同侧,则a的取值范围是 .(3)不等式组表示的区域为D,已知点P1(0,-2),点P2(0,0),则P1 D
3、,P2 D.(填“”或“”)提示:(1)在(2)a3(3)x.思路分析:画出直线,利用特殊点判断所形成的区域.解:(1)先画出直线l:x+4y-4=0,取原点(0,0),把(0,0)代入x+4y-4,得0+0-40.原点在x+4y4表示的区域内,不等式x+4y4表示的平面区域在直线x+4y-4=0的左下方,且包含该直线.如图1所示.图 1一二三(2)画出直线y=x,因为y=x经过(0,0),选点(1,0),把(1,0)代入y-x可得0-1=-1x表示的平面区域不含(1,0)点,因此yx表示的平面区域在直线y=x的左上方,且不包含该直线.如图2所示.图 2一二三迁移与应用 1.不等式2x-y-6
4、0表示的平面区域在直线2x-y-6=0的 .答案:右下方 解析:方法一:B=-1,-1(2x-y-6)0表示的平面区域在直线2x-y-6=0的下方,画图知是右下方.方法二:将(0,0)代入2x-y-6,得-60表示的平面区域的异侧.不等式表示的平面区域在对应直线的右下方.一二三2.画出下列二元一次不等式表示的平面区域.(1)x-2y+40;(2)3x-4y+120;(3)4x+3y0.解:(1)画出直线x-2y+4=0(画实线),取原点(0,0),将坐标代入x-2y+4,得0-20+40,原点在不等式x-2y+40表示的平面区域内.所求区域为如图(1)所示的区域,包括边界.(2)先画出直线3x
5、-4y+12=0(画成虚线).取原点(0,0)并代入3x-4y+12,得30-40+120,原点在3x-4y+120所表示的平面区域内,故不等式3x-4y+120表示的平面区域如图(2)所示.(3)先画出直线4x+3y=0(画成虚线),取点(1,0),并代入4x+3y,得40.点(1,0)在4x+3y0所表示的区域内.故不等式4x+3y0表示的平面区域如图(3)所示.也可由3(4x+3y)0得4x+3y0所表示的平面区域在直线4x+3y=0的上方.可画出所求平面区域如图(3).一二三一二三名师点津 1.由于二元一次不等式表示的区域一定是对应直线的某一侧,要断定究竟是哪一侧,可以取直线某一侧的一
6、个点,将这个点代入不等式,若不等式成立,则该点所在的一侧就是不等式表示的区域;若不等式不成立,则不含该点的一侧就是不等式表示的区域.2.一般地,对于直线Ax+By+C=0(B0),二元一次不等式B(Ax+By+C)0所表示的区域应在直线Ax+By+C=0的上方,二元一次不等式B(Ax+By+C)0时,Ax+By+C0所表示的区域在直线Ax+By+C=0左侧;A0时,Ax+By+C 2,0所表示的平面区域.思路分析:分别画出各不等式表示的区域,不等式组表示的即为区域的公共部分.一二三解:先画出直线2x+y-4=0,由于含有等号,所以画成实线.取直线2x+y-4=0左下方的区域的点(0,0),由于
7、20+0-42y表示直线x=2y右下方的区域,不等式y0表示x轴及其上方的区域.取三个区域的公共部分,就是上述不等式组所表示的平面区域,如图所示.一二三迁移与应用1.画出不等式组 3-2+6 0,+1 0,4+-4 0,0+0+10,40+0-40.原点均在三个不等式3x-2y+60,x+y+10,4x+y-40所表示的区域内,故原不等式组所表示的区域如图所示.一二三2.设R为平面上以A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)三点为顶点的三角形区域(包括边界及内部),试求(x,y)在R内运动时,x,y需满足的条件,并画出平面区域.解:lAB:7x-5y-23=0,lBC:4x+y+10=0
8、,lAC:x+7y-11=0,将(0,0)代入7x-5y-23,得-230,原点在7x-5y-230所表示的平面区域内.同理,检验出原点在4x+y+100,x+7y-110所表示的平面区域内.x,y 需满足 7-5-23 0,4+10 0,+7-11 0.一二三表示的平面区域如下图所示.一二三名师点津 画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤如下:画线画出不等式所对应的方程表示的直线.(如果原不等式带等号,则画成实线,否则画成虚线)定侧将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式.根据“同侧同号,异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧,常用特殊点(0,0),(1,0),(0,1)
9、.求交如果平面区域是由不等式组决定的,则在确定了各个不等式所表示的区域后,再求这些区域的公共部分,这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域,俗称“直线定界,特殊点定域”.一二三三、二元一次不等式组表示的平面区域的面积与应用问题 活动与探究 例3在平面直角坐标系中,由 0,+1 0,2+-3 0所确定的平面区域的面积是 S.试求 S 的大小.思路分析:应先画出不等式组表示的平面区域,由平面区域的形状选择求面积的方法.一二三解:画出平面区域可知形状为三角形.设直线 x=0 与 x+y+1=0 的交点是 A(0,-1),直线 x=0 与 2x+y-3=0 的交点是 B(0,3),直线 x+y+1=0
10、与 2x+y-3=0 的交点是 C(4,-5).则 AB=4,点 C 到 AB 的距离为 4,则ABC 的面积是1244=8,即 S=8.一二三迁移与应用1.不等式组 0,+3 4,3+4所表示的平面区域的面积等于 .答案:43解析:作出平面区域如图所示为ABC,由 +3-4=0,3+-4=0可得 A(1,1),又 B(0,4),C 0,43,SABC=12|BC|xA|=12 4-43 1=43.一二三2.设 D 是不等式组 +2 10,2+3,0 4,1表示的平面区域,则 D 中的点P(x,y)到直线 x+y=10 距离的最大值是 .答案:4 2一二三解析:不等式组 +2 10,2+3,0
11、 4,1表示的平面区域如图所示.则 D 内的点到直线 x+y=10 的最大距离为 d=|1+1-10|2=4 2.一二三3.设P(x,y),其中x,yN,求满足x+y4的点P的个数.一般地,满足x+yn(nN)的点P的个数应为多少?解:由题意,就是求不等式组 +4,0,0的整数解.先固定 x 的取值,作以下分类:x=0,0y4,取 y=0,1,2,3,4,共有 5 个整点;x=1,0y3,取 y=0,1,2,3,共有 4 个整点;x=4,y=0,共有 1 个整点.故共有 5+4+3+2+1=15 个整点.类似地,满足 x+yn(nN)的整点 P(x,y)(xN,yN),共有(n+1)+n+(n
12、-1)+2+1=(+1)(+2)2个.一二三名师点津 二元一次不等式组表示的平面区域问题常与范围、距离、面积等联系起来综合命题,或在实际问题中探求二元一次不等式组及表示的平面区域.对于求平面区域的面积,先画出不等式组表示的平面区域,然后根据区域的形状求面积,若画出的图形为规则的,则直接利用面积公式求解;若图形为不规则图形,可采用分割的方法,将平面区域分为几个规则图形然后求解.234511.不等式组 +3-6 0,-+2 0知,原点在x+3y-60表示的平面区域内,而不在x-y+20表示的平面区域内,则b的取值范围是 .答案:12,32 解析:点 P(1,-2)关于原点的对称点为点 P(-1,2
13、).由题意知 2 1-2+1 0,-2+2+1 0,解得:12b32.234514.在平面直角坐标系中,不等式组 +-2 0,-+2 0,0表示的平面区域的面积是 .答案:4解析:不等式组表示的平面区域是三角形,如图所示,则该三角形的面积是1242=4.234515.画出下列不等式(组)表示的平面区域.(1)2x+y-100;(2)-+5 0,+1 0,3.解:(1)先画出直线2x+y-10=0(画成虚线).取原点(0,0),代入2x+y-10.20+0-100,原点在2x+y-100表示的平面区域内,不等式2x+y-100表示的区域如图所示.23451(2)不等式x-y+50表示直线x-y+5=0上及右下方的点的集合;x+y+10表示直线x+y+1=0上及右上方的点的集合;x3表示直线x=3上及左方的点的集合.所以不等式组表示的平面区域如图所示.