1、课时3 机械能守恒定律和能量守恒 内容与要求 内容要求机械能守恒定律d考点一 机械能及机械能守恒的理解 考点与典例 1.机械能:动能和势能(重力势能和弹性势能)称为机械能,可表示为E=Ek+Ep。2.机械能守恒定律:在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能与势能可以相互转化,而总的机械能保持不变。说明(1)机械能是标量,只有大小,没有方向,但是有正、负(因为势能有正负)。(2)注意机械能守恒的条件是“只有重力做功”,与“只受重力作用”的意义不同,不能混淆。(3)对包括弹簧在内的物体系统在只有重力、弹力做功的条件下,动能、重力势能、弹性势能之间发生相互转化,系统机械能守恒。典例1 如图所示,根据机
2、械能守恒条件,下列说法正确的是()A.甲图中,火箭升空的过程中,若匀速升空则机械能守恒,若加速升空则机械能不守恒 B.乙图中物体沿着斜面匀速向上运动,机械能守恒 C.丙图中小球做匀速圆周运动,机械能守恒 D.丁图中,轻弹簧将A,B两小车弹开,两小车组成的系统(不包括弹簧)机械能守恒 解析:甲图中,不论是匀速还是加速,由于推力对火箭做功,火箭的机械能不守恒,是增加的,故A错误;物体匀速运动上升,动能不变,重力势能增加,则机械能必定增加,故B错误;小球在水平面内做匀速圆周运动的过程中,细线的拉力不做功,机械能守恒,故C正确;轻弹簧将A,B两小车弹开,弹簧的弹力对两小车做功,则两车组成的系统机械能不
3、守恒,但对两小车和弹簧组成的系统机械能守恒,故D错误。答案:C 总结提升 机械能是否守恒的判定方法(1)做功分析法:若物体系统内只有重力和弹簧弹力做功,其他力均不做功,则系统的机械能守恒。(2)能量转化分析法:若只有系统内物体间动能、重力势能和弹性势能的相互转化,系统跟外界没有发生机械能的传递,也没有其他形式的能与机械能的转化(如没有内能增加),则系统的机械能守恒。对点自测1:下列各种运动过程中,物体机械能守恒的是(忽略空气阻力)()A.将箭搭在弦上,拉弓的整个过程 B.过山车在动力作用下在轨道上运行的过程 C.在一根细线的中央悬挂着一物体,双手拉着细线慢慢分开的过程 D.手握内有弹簧的圆珠笔
4、,笔帽抵在桌面放手后圆珠笔弹起的过程 D 解析:箭搭在弦上,拉弓的过程中,人对箭、弦和弓组成的系统做了功,机械能不守恒,选项A错误;过山车在运动过程中,除重力外,动力做功,机械能不守恒,选项B错误;C中物体缓慢升高过程中,除重力外,拉力做了功,机械能不守恒,选项C错误;D中圆珠笔弹起的过程只有重力和弹力做功,故机械能守恒,选项D正确。考点二 弹性势能转化中的机械能守恒 当有弹力做功时,弹性势能与动能、重力势能相互间发生转化。需要注意,研究对象是否包括弹簧在内。典例1 (2019台州质量评估)如图,弹性轻绳的一端套在手指上,另一端与弹力球连接,用手将弹力球以某一竖直向下的初速度抛出,抛出后手保持
5、不动。从球抛出瞬间至球第一次到达最低点的过程中(弹性轻绳始终在弹性限度内,不计空气阻力),下列说法正确的是()A.绳刚伸直时,球的动能最大 B.该过程中,球的机械能守恒 C.该过程中,重力对球做的功等于球克服绳的拉力做的功 D.该过程中,轻绳的弹性势能和小球的动能之和一直增大 解析:小球抛出后先做竖直下抛运动,弹性绳子恢复原长后,弹性绳子拉力比重力小的阶段,小球依然加速运动,当拉力等于重力时,小球加速度为0,速度最大,动能最大,选项A错误;小球和弹性绳子构成的系统机械能守恒,小球的机械能不守恒,选项B错误;从抛出到最后下落到最低点时,重力做功与拉力做功之和等于动能变化量(不等于零),选项C错误
6、;根据机械能守恒E=E重+E弹+Ek,因为重力势能在减少,所以弹性势能、动能之和在增加,选项D正确。答案:D 对点自测2:(2019金华十校期末)“反向蹦极”是蹦极运动中的一种类型,如图所示,将弹性绳拉长后固定在运动员上,并通过其他力作用使运动员停留在地面上,当撤去其他力后,运动员从A点被“发射”出去冲向高空,当上升到B点时弹性绳恢复原长,运动员继续上升到最高点C,若运动员始终沿竖直方向运动并视为质点,忽略弹性绳质量与空气阻力。下列说法正确的是()A.运动员在A点时弹性绳的弹性势能最小 B.运动员在B点的动能最大 C.运动员在C点时的加速度大小为0 D.运动员从A点运动到B点的过程中,弹性绳的
7、弹性势能减少量大于运动员重力势能的增加量 D 解析:在A点时,弹性绳的形变量最大,因此在此处的弹性势能最大,选项A错误;在向上弹出的过程中,当弹力等于重力时,运动员的速度最大,动能最大,B处时弹性绳子恢复原长,所以速度最大的位置在AB之间,选项B错误;在C处,弹性绳弹力为零,但C处还有重力,根据牛顿第二定律可知,C处的加速度不为零,选项C错误;从A到B过程中,弹性绳弹性势能的减少量等于运动员动能和重力势能的增加量,故弹性绳弹性势能的减少量大于运动员重力势能的增加量,选项D正确。考点三 机械能守恒定律与平抛运动结合 应用机械能守恒定律解题的一般步骤 (2)分析受力情况和各力做功的情况,确定是否符
8、合机械能守恒条件。(3)确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况。(4)选择合适的表达式列出方程,进行求解。(5)对计算结果进行必要的讨论和说明。(1)选取研究对象单个物体多个物体组成的系统含弹簧的系统 典例3 如图所示,竖直平面内固定着由两个半径为R的四分之一圆弧构成的细管道ABC,圆心连线O1O2水平。轻弹簧左端固定在竖直挡板上,右端靠着质量为m的小球(小球的直径略小于管道内径),长为R的薄板DE置于水平面上,板的左端D到管道右端C的水平距离为R,开始时弹簧处于锁定状态,具有一定的弹性势能,解除锁定,小球离开弹簧后进入管道,最后从C点抛出(重力加速度为g,不计小球与水平面和细管
9、道的摩擦)。答案:(1)3mgR(1)若小球经C点时对管道外侧的弹力的大小为mg,求弹簧锁定时具有的弹性势能Ep;解析:(1)设小球到达 C 点时的速度大小为 v1。解除弹簧锁定后小球运动到 C 点过程,弹簧和小球组成的系统机械能守恒,由机械能守恒定律得 Ep=2mgR+12m21v;小球经过 C 点所受的弹力大小为 mg,方向竖直向下。在 C 点,由牛顿第二定律得 mg+mg=m21vR 解得 Ep=3mgR,v1=2gR。(2)试通过计算判断小球能否落在薄板DE上。解析:(2)小球离开 C 后做平抛运动,由平抛运动的规律有 2R=12gt2 x=v1t 联立解得 x=22 R 因为 x2R
10、,所以小球不能落在薄板 DE 上。答案:(2)见解析 对点自测3:如图所示,半圆轨道竖直放置,半径R=0.4 m,其底端与水平轨道相接,一个质量为m=0.2 kg 的滑块放在水平轨道C点上,轨道均为光滑,用一个水平的恒力F作用于滑块,使滑块向右运动,当滑块到达半圆轨道的最低点A时撤去F,滑块到达圆的最高点B沿水平方向飞出,恰好落到滑块起始运动的位置C点。(1)A与C至少应相距多少?解析:(1)设 A 与 C 相距为 s 滑块做平抛运动过程中有 2R=12gt2,s=vBt,即 s=2vBRg,当滑块恰好经过最高点时,vB最小,A 与 C 相距最小 即有 mg=m2vBR,由此得 A 与 C 相
11、距 s=2R=0.8 m。答案:(1)0.8 m(2)在(1)这种情况下所需恒力F的大小是多大?(取g=10 m/s2)解析:(2)滑块在水平面上做匀加速运动,根据牛顿运动定律得 F=ma 由运动学公式得2Av=2as 上滑过程中机械能守恒,则有 12m2Av=2mgR+12m2Bv 代入数值可解得滑块在水平面上做匀加速运动的加速度为 a=12.5 m/s2,所需恒力 F=ma=2.5 N。答案:(2)2.5 N 考点四 机械能守恒定律与圆周运动结合 几种典型的竖直平面内圆周运动的模型 绳 杆 圆管 m的受 力情况 重力、绳的拉力 重力、杆的拉力或支持力 重力、外管壁的支持力或内管壁的支持力
12、最高点 的速度 vAgL vA0 vA0 最低点 的速度 vB5gL vB4gL vB4gL 典例 4 如图,在竖直平面内有由 14圆弧 AB 和 12圆弧 BC 组成的光滑固定轨道,两者在最低点 B 平滑连接。AB 弧的半径为 R,BC 弧的半径为2R。一小球在 A 点正上方与 A 相距 4R 处由静止开始自由下落,经 A 点沿圆弧轨道运动。(1)求小球在B,A两点的动能之比;解析:(1)设小球的质量为 m,小球在 A 点的动能为 EkA,由机械能守恒得 EkA=mg4R 设小球在B 点的动能为 EkB,同理有 EkB=mg 54R 解得kkBAEE=5。答案:(1)5 (2)通过计算判断小
13、球能否沿轨道运动到C点。解析:(2)若小球能沿轨道运动到 C 点,小球在 C 点所受轨道的正压力 N 应满足 N0。设小球在 C 点的速度大小为 vC,由牛顿运动定律和向心力公式有N+mg=m22CvR。应满足 mgm22 CvR。由机械能守恒有 mg 4R=12m2Cv。得出小球恰好可以沿轨道运动到 C 点。答案:(2)见解析 对点自测4:游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行,游客却不会掉下来,这种情况可简化为如图所示的模型:弧形轨道的下端与竖直圆轨道相接,使小球从弧形轨道上端无初速滚下,小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动,其中P,Q分别为圆轨道的最低点和最高点。实验发现,只要h大于一定值,
14、小球就可以顺利通过圆轨道的最高点。已知圆轨道的半径为R=5.0 m,小球质量为m=1.0 kg(不考虑摩擦等阻力,g取 10 m/s2)(1)h至少为多大,才可使小球沿圆轨道运动而不掉下来?解析:(1)小球恰能通过 Q 点,应满足 mg=m2QvR,由机械能守恒定律有mg(h-2R)=12m2Qv,解得 h=12.5 m。答案:(1)12.5 m (2)如果h=15 m,小球通过P点时的速度为多大?此时轨道对小球的支持力为多大?解析:(2)由机械能守恒定律有 mgh=12m2Pv,小球通过 P 点时的速度 vP=2gh=103 m/s,由牛顿第二定律和向心力公式有 F NP-mg=m2PvR,
15、则轨道对小球的支持力为 F NP=mg+m2PvR=70 N。答案:(2)103 m/s 70 N (3)高度h越大,小球滑至Q点时轨道对小球的压力F N也越大,试推出F N关于h的函数关系式。解析:(3)由机械能守恒定律有 mgh=12m2Qv+2mgR,在 Q 点由牛顿第二定律和向心力公式有 F N+mg=m2QvR,则 FN关于 h 的函数关系式为 F N=2mgRh-5mg=4h-50(h12.5 m)。答案:(3)FN=4h-50(h12.5 m)考点五 机械能守恒定律的综合应用 典例5 如图所示为某种弹射小球的游戏装置,水平面上固定一轻质弹簧及长度可调节的竖直细管AB,下端接有一小
16、段长度不计的圆滑弯管,上端B与四分之一圆弧弯管BC相接。每次弹射前,总将小球及弹簧压缩到同一位置后锁定。解除锁定,小球即被弹簧弹出,水平射进A端,再沿ABC管从C端水平射出。已知弯管BC的半径R=0.30 m,小球的质量为m=50 g,当调节竖直细管AB的长度至L0=0.90 m时,发现小球恰好能过管口C端。不计小球运动过程中的机械能损失,g取10 m/s2。(1)求每次弹射时弹簧对小球所做的功W;答案:(1)0.60 J 解析:(1)设小球通过管口C端时的速度为v,恰好能过管口C端,则v=0,根据功能关系,每次弹射时弹簧对小球所做的功为 W=mg(L0+R)=0.60 J。(2)当AB的长度
17、L取多少时,小球过管口C端时,对管壁的作用力恰好为0?解析:(2)小球通过管口 C 端对管壁的作用力恰好为 0 时,根据牛顿运动定律有 mg=m2vR,根据功能关系有 W=mg(L+R)+12mv2,即得 L=L0-2R=0.75 m。答案:(2)0.75 m(3)当AB的长度L取多少时,小球落至水平面时的落点离直管AB最远?解析:(3)由(2)得,小球到达 C 时的速度为 v=02g LL,根据平抛运动规律,小球落至水平面时的落点离直管 AB 的距离为 x=vt+R,其中 t=2()LRg,解得 x=2 0LLLR+R,根据数学知识可判知,当 L=02LR=0.30 m 时,x 最大。即当
18、AB 的长度取 0.30 m 时,小球落至水平面时的落点离直管 AB 最远。答案:(3)0.30 m 对点自测5:如图所示,在同一竖直平面内的两正对着的相同半圆光滑轨道,相隔一定的距离,虚线沿竖直方向,一小球能在其间运动,今在最高点A与最低点B各放一个压力传感器,测试小球对轨道的压力,并通过计算机显示出来,当轨道距离变化时,测得两点压力差 FN与距离x的图象如图,g取10 m/s2,不计空气阻力。答案:(1)0.05 kg(1)小球的质量为多少?解析:(1)设轨道半径为 R,由机械能守恒定律得 12m2Bv=mg(2R+x)+12m2Av 对 B 点有:F N1-mg=m2BvR 对 A 点有:F N2+mg=m2AvR 解得两点压力差F N=F N1-F N2=6mg+2mgxR 由图象得截距 6mg=3 N,得 m=0.05 kg。答案:(2)17.5 m(2)若小球在最低点B的速度为20 m/s,为使小球能沿轨道运动,x的最大值为多少?解析:(2)因为图线的斜率 k=2mgR=1,得 R=1 m 在 A 点不脱离的条件为 vAgR 解得 x17.5 m。点击进入 课时训练