1、高一数学精英对抗赛一一选择题（共12小题,第1-6题每题5分，第7-12题每题6分）1已知集合，若BA，则实数m的取值范围为（）A（4，+）B4，+）C（2，+）D2，+）2在下列四个函数中，当x1x21时，能使f（x1）+f（x2）f（）成立的函数是（）Af（x） Bf（x）x2 Cf（x）2x Df（x）3已知f（x）32x（k+1）3x+2，当xR时，f（x）恒为正值，则k的取值范围是（）A（，1）B（，21）C（1，21）D（21，21）4已知f（x）x2+px+q和是定义在上的函数，对任意的xA，存在常数x0A，使f（x）f（x0），g（x）g（x0）且f（x0）g（x0），则f（x
2、）在A上的最大值为（）ABC5D5设函数f（x）的定义域为R，满足2f（x）f（x+2），且当x2，0）时，f（x）x（x+2）若对任意x（，m，都有f（x）3，则m的取值范围是（）A（，B（，C，+）D，+）6已知函数f（x），其中x为不小于x的最小整数，如3.54，33，则关于f（x）性质的表述，正确的是（）A定义域为（，0）（0，+） B在定义域内为增函数C函数为周期函数 D函数为奇函数7已知函数，若对任意，都有f（x+m）3f（x），则实数m的取值范围是（）A4，+）BC3，+）D8已知函数f（x），则下列说法中正确的是（）A若a0，则关于x的方程f（x）a有解 B若a0，则f（x）1
3、恒成立C若关于x的方程f（x）a有解，则0a1 D若f（x）1 恒成立，则a09已知定义在R上的函数f（x）（x1）3，则不等式f（2x+3）+f（x2）0的解集为（）A（，B（0， C（，3D（0，310已知函数，g（x）ax2+2x+a1若对任意的x1R，总存在实数x20，+），使得f（x1）g（x2）成立，则实数a的取值范围为（）ABCD11已知若f（m1）f（x）20在定义域上恒成立，则m的取值范围是（）A（0，+）B1，2）C1，+）D（0，1）12已知函数f（x）x22（a+1）x+a2，g（x）x2+2（a1）xa2+2，记H1（x），H2（x），则H1（x）的最大值与H2（x）
4、的最小值的差为（）A4B4Ca2a+4Da2+a+8二填空题（共2小题，每题5分）13函数yf（x）定义域为D，若满足：f（x）在D内是单调函数；存在m，nD使f（x）在m，n上的值域为，那么就称yf（x）为“减半函数”若函数f（x）loga（ax+t）（a0，a1，t0）是“减半函数”，则t的取值范围为 14设a、b分别是方程2x+x+20与log2x+x+20的根，则a+b 三解答题（共2小题，每题12分）15已知函数f（x）的图象关于原点对称，其中a为常数（1）求a的值；（2）当x（1，+）时，f（x）+（x1）m恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）（x+k）在2，3
5、上有解，求k的取值范围16现有两个函数f1（x）loga（x3a）与f2（x）loga，其中a0，a1（1）求函数F（x）f1（x）f2（x）的表达式与定义域；（2）给出如下定义：“对于在区间m，n上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意xm，n，有|f（x）g（x）|1，则称f（x）与g（x）在区间m，n上是接近的，否则称f（x）与g（x）在区间m，n上是非接近的”若0a1，试讨论f1（x）与f2（x）在给定区间a+2，a+3上是否是接近的高一数学精英对抗赛一 参考答案与试题解析一选择题（共12小题）1 D 2 . A 3.B4.C 5.A 6.C5.解：函数f（x）的定义域为R，满
6、足2f（x）f（x+2），可得f（0）2f（2）0，当x2，0）时，函数f（x）在2，1）上递增，在（1，0）上递减，所以f（x）maxf（1）1，由2f（x2）f（x），可得当图象向右平移2个单位时，最大值变为原来的2倍，最大值不断增大，由f（x）f（x+2），可得当图象向左平移2个单位时，最大值变为原来的倍，最大值不断变小，当x4，2）时，f（x）maxf（3），当x0，2）时，f（x）maxf（1）2，当x2，4）时，f（x）maxf（3）4，设x2，4）时，x42，0），f（x4）（x4）（x2）f（x），即f（x）4（x4）（x2），x2，4），由4（x4）（x2）3，解得x或x，根
7、据题意，当m时，f（x）3恒成立，故选：A【点评】本题考查函数类周期性的应用、分段函数求解析式、恒成立问题等，考查数形结合思想和方程思想，属于难题7. 解：f（x）f（x），函数，为R上的奇函数，又x0时，f（x）x2为增函数，f（x）为定义域R上的增函数又f（）3，f（x+m）3f（x）f（x），对任意，f（x+m）3f（x）f（x），f（x）为定义域R上的增函数，m（1）xmax（1）（+3），即（1）mm3（1），解得：m2即实数m的取值范围是2，+），故选：B8. 解：对于A，若a0，由于0，则关于x的方程f（x）a无解，故A错误；对于B，若a0，f（x）1|x|a|xa|x|xa|a
8、，而|x|xa|xx+a|a，即|x|xa|a，a，由a0可得f（x）1不恒成立，故B错误；对于C，关于x的方程f（x）a有解，即a，可得a，首先可得a0，x0，由，当0a1时，1成立；若a1，则1a0，的范围无法确定，故C正确；对于D，1即为|x|a|xa|，即|x|xa|a，而|x|xa|a|，可得a|a|，即有a0，故D错误故选：C【点评】本题考查函数的恒成立与有解问题的解法，考查绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于难题9.解：令tx1，则f（t+1），则f（t+1）是奇函数，则当t0时，yt3t3t31t3，为减函数，当x1时，f（x）为减函数，即g（x）f（
9、x+1）是奇函数，则f（2x+3）+f（x2）0等价为f（2x+2+1）+f（x3+1）0，即g（2x+2）+g（x3）0，则g（2x+2）g（x3）g（3x），则2x+23x，得3x1，x，即原不等式的解集为（，故选：A【点评】本题主要考查不等式的求解，结合条件构造新函数，判断新函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键有一定的难度10解：由题意，函数f（x）图象如下：结合图象，可知函数f（x）的值域为（，+）对任意的x1R，总存在实数x20，+），使得f（x1）g（x2）成立，函数f（x）的值域是函数g（x）在区间0，+）上值域的子集当a0时，g（x）2x1，此时g（x）在区间0，+）上值域为1
10、，+），满足题意；当a0时，二次函数g（x）ax2+2x+a1开口朝下，很明显不符合题意；当a0时，对称轴x0，g（0）a1，此时g（x）在区间0，+）上值域为a1，+），则必须a1，即a即0a满足函数f（x）的值域是函数g（x）在区间0，+）上值域的子集综上所述，可得实数a的取值范围为0，故选：A【点评】本题主要考查函数恒成立问题，考查了数形结合法，分类讨论思想，集合思想，转化思想的应用，不等式的计算，全称命题和特称命题与函数的结合，逻辑思维能力和数学运算能力，本题属较难题11.解：，当1x8时，log3（x+1）（，2），|log3（x+1）|0，2），x（1，0）时，f（x）|log3（
11、x+1）|单调递减，x（0，8）时，f（x）单调递增，且当x时，f（x）2当x8时，f（x）单调递减且f（x）（0，2，其图象如下：若f（m1）f（x）20，则f（m1）f（x）2，（m1）f（x），当f（x）0时，mR；当f（x）0时，m1，当f（x）+时，0，m10，解得：m1故选：C【点评】本题考查函数恒成立问题，考查分段函数的应用，考查等价转化思想、数形结合思想、分类讨论思想、极限思想的综合运用，考查逻辑推理与运算能力，属于难题12.解：f（x）g（x）2x24ax+2a222（xa1）（xa+1）故当xa+1或xa1时，f（x）g（x）；当a1xa+1时，f（x）g（x）又H1（x）
12、，H2（x），设H1（x）的最大值为A，H2（x）的最小值为B结合二次函数的性质可知，AH1（a1）（a1）2+2（a1）（a1）a2+232a；BH2（a+1）（a+1）22（a+1）（a+1）+a22a1故AB32a（2a1）4H1（x）的最大值与H2（x）的最小值的差为4故选：B 【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查分段函数的应用，训练了二次函数最值的求法，属难题二填空题（共4小题）13 解：由题意可知函数f（x）loga（ax+t），（a0，a1）在其定义域内为增函数，若函数yf（x）为“减半函数”，则f（x）在m，n上的值域为，即方程必有两个不同实数根，令b，则b0方程b2b
13、+t0有两个不同的正数根，故答案为（0，）【点评】本题考查函数的值域，难点在于构造函数，转化为两函数有不同二交点，利用方程解决，属于难题 14.解：分别作出函数ylog2x，y2x，y2x的图象，相交于点P，Qlog2a2a，2b2b而ylog2x（x0）与y2x互为反函数，直线y2x与直线yx互相垂直，点P与Q关于直线yx对称a2b2ba+b2故答案为：2【点评】本题考查了同底的指数函数与对数函数互为反函数的性质、相互垂直的直线之间的关系，属于难题三 解答题（共2小题）15.解：（1）函数f（x）的图象关于原点对称，f（x）+f（x）0，即+0，（）0，1恒成立，即1a2x21x2，即（a2
14、1）x20恒成立，所以a210，解得a1，又a1时，f（x）无意义，故a1；（2）x（1，+）时，f（x）+（x1）m恒成立，即+（x1）m，（x+1）m在（1，+）恒成立，由于y（x+1）是减函数，故当x1，函数取到最大值1，m1，即实数m的取值范围是m1；（3）f（x）在2，3上是增函数，g（x）（x+k）在2，3上是减函数，只需要即可保证关于x的方程f（x）（x+k）在2，3上有解，下解此不等式组代入函数解析式得，解得1k1，即当1k1时关于x的方程f（x）（x+k）在2，3上有解【点评】本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用，属于有一定难度的题，本题考查了数形结合的思想，
15、转化化归的思想，属于灵活运用知识的好题：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2020/10/27 8:46:13；用户：杜玉芬；邮箱：hbgz575；学号：2606953316 解：（1）函数f1（x）loga（x3a）的定义域为（3a，+），函数f2（x）loga的定义域为（a，+），由a0，故3aa，故函数F（x）f1（x）f2（x）loga（x3a）（xa）的定义域为（3a，+），（2）0a1，t（x3a）（xa）在区间a+2，a+3上单调递增，又由ylogat为减函数，f1（x）与f2（x）接近|loga（x3a）（xa）|1，即a（x3a）（xa），即，解得：0a，即当0a时，两个函数是接近的，当a1时，两个函数是非接近的【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，对数的运算性质，函数的定义域，新定义，综合性强，运算强度大，属于中档题目
