1、2021年江西省抚州市临川一中暨临川一中实验学校高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1已知集合Mx|3x24x40，Ny|y1|1，则MN（）A0，2）B（，0）C1，2D2已知i是虚数单位，复数z2i，则z（1+2i）的共轭复数为（）A2+iB4+3iC43iD43i3若a30.3，bln2，则（）AabcBbacCcabDbca4已知平面向量（1，2），（k，1），且，则在上的投影为（）AB2CD152021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且
2、越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有（）种A120B156C188D2406某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图的面积为（）ABCD7设变量x，y满足约束条件，则目标函数z2x+y的最大值为（）A7B8C15D168勾股定理是一个基本的几何定理，中国周髀算经记载了勾股定理的公式与证明相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理我国古代称短直角边为“勾”，长直角边为“股”，斜边为“弦”西方文献中一直把勾股定理称作毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯学派研究了勾为奇数、弦与股长相差为1的勾股数：如3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；，如设勾为2n+1（n1，2，3，
3、4，5，），则弦为（）A2n22n+1B4n2+1C2n2+2nD2n2+2n+19在ABC中，B120，AB，A的角平分线AD，则AC（）A2BCD10已知函数f（x）sin2+sinx（0），xR，若f（x）在区间（，2）内没有零点，则的取值范围是（）A（0，B（0，1）C（0，D（0，11定义在R上的偶函数f（x）满足f（x1）f（x+1），且当x1，0时，f（x）x2，函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，g（x）lgx，则函数h（x）f（x）g（x）的零点的个数是（）A9B10C11D1212已知函数，若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是（）ABCD二、填空题：本
4、题共4小题，每小题5分，共20分13记Sn为等比数列an的前n项和若a11，则S5 14二项式（ax）3的展开式的第二项的系数为，则x2dx的值为 15已知双曲线的右焦点为F，点P在双曲线C上，若|PF|5a，PFO120，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率为 16已知梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BC4，CD2，AD3，3，以BE为折痕将ABE折起，使点A到达点P的位置，且平面PBE平面EBCD，则四棱锥PEBCD外接球的表面积为 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须做答第22、23题为选考题，考生根据要求做答17已知等比
5、数列an满足条件a2+a43（a1+a3），a2n3an2，nN*，数列bn满足b11，bnbn12n1（n2，nN*）（1）求数列an，bn的通项公式；（2）若数列cn满足，nN*，求cn的前n项和Tn182021年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市将迎来“3+1+2”新高考模式“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考：“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科：“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四种中选两种为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向，随机抽取了100人统计选考科目人数如表：选考物理选考历史共计男生4050女生共计30（1）补全2
6、2列联表；（2）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查了本校的3名学生，设这3人中选考历史的人数为X，求X的分布列及数学期望；（3）根据表中数据判断是否有95%的把握认为“选考物理与性别有关”？请说明理由参考附表：P（K2k）0.1000.0500.025k2.7063.8415.024参考公式：K2，其中na+b+c+d19已知三棱柱ABCA1B1C1中，平面ACC1A1平面ABC，AA1ACCA1BC，A1BBC（）求证：BC平面ACC1A1；（）求直线AB1与平面A1BC所成角的大小20已知椭圆+1（ab0）的离心率e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4（1）求椭圆的方程（2）设直线
7、l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（a，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且4，求y0的值21已知函数f（x）mexln（x+1）+lnm（）若f（x）在x0处取到极值，求m的值及函数f（x）的单调区间；（）若f（x）1，求m的取值范围选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在极坐标下，曲线C1的方程是cos30，曲线C2的参数方程是（为参数），点P是曲线C2上的动点（1）求点P到曲线C1的距离的最大值；（2）若曲线交曲线C2于A、B两点，求ABC2的面积选修4-5：不等式选讲23已知函数f（
8、x）k|x4|，xR，且f（x+4）0的解集为1，1（1）求k的值；（2）若a，b，c是正实数，且，求证：参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1已知集合Mx|3x24x40，Ny|y1|1，则MN（）A0，2）B（，0）C1，2D解：因为集合Mx|3x24x40x|（x2）（3x+2）0，又Ny|y1|1y|0y2，由集合交集的定义可知，MN0，2）故选：A2已知i是虚数单位，复数z2i，则z（1+2i）的共轭复数为（）A2+iB4+3iC43iD43i解：z2i，z（1+2i）（2i）（1+2i）4+3iz（1+2i）的共轭复数为43i故选：C3若a30.3，bln2，则
9、（）AabcBbacCcabDbca解：a30.31，0bln21，abc故选：A4已知平面向量（1，2），（k，1），且，则在上的投影为（）AB2CD1解：，k+20，即k2（1，3），（）1+65，在上的投影为：故选：A52021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有（）种A120B156C188D240解：根据题意，分3种情况讨论：京剧排第一个，越剧、粤剧必须排在一起，有4种情况，此时有4A22A3348种顺序，京剧排第二个，越剧、
10、粤剧必须排在一起，有3种情况，此时有3A22A3336种顺序，京剧排第三个，越剧、粤剧必须排在一起，有3种情况，此时有3A22A3336种顺序，则有48+36+36120种不同的顺序，故选：A6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图的面积为（）ABCD解：由题意可知三视图的侧视图是直角三角形，高为2，底面直角边长为：，所以侧视图的面积为：故选：C7设变量x，y满足约束条件，则目标函数z2x+y的最大值为（）A7B8C15D16解：作出变量x，y满足约束条件可行域如图：由z2x+y知，所以动直线y2x+z的纵截距z取得最大值时，目标函数取得最大值由得A（3，2）结合可行域可知当动直线经过点
11、A（3，2）时，目标函数取得最大值z23+28故选：B8勾股定理是一个基本的几何定理，中国周髀算经记载了勾股定理的公式与证明相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理我国古代称短直角边为“勾”，长直角边为“股”，斜边为“弦”西方文献中一直把勾股定理称作毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯学派研究了勾为奇数、弦与股长相差为1的勾股数：如3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；，如设勾为2n+1（n1，2，3，4，5，），则弦为（）A2n22n+1B4n2+1C2n2+2nD2n2+2n+1解：设斜边（弦）为x，则股为x1，x2（2n+1）2+（x1）2，解答x2n2+2n+1，故选：D
12、9在ABC中，B120，AB，A的角平分线AD，则AC（）A2BCD解：由题意以及正弦定理可知：，ADB45，A18012045，可得A30，则C30，三角形ABC是等腰三角形，AC2sin60故选：C10已知函数f（x）sin2+sinx（0），xR，若f（x）在区间（，2）内没有零点，则的取值范围是（）A（0，B（0，1）C（0，D（0，解：函数f（x）+sinx+sinx，由f（x）0，可得0，解得x（，2），f（x）在区间（，2）内没有零点，故选：D11定义在R上的偶函数f（x）满足f（x1）f（x+1），且当x1，0时，f（x）x2，函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，g（x
13、）lgx，则函数h（x）f（x）g（x）的零点的个数是（）A9B10C11D12解：f（x1）f（x+1），即为f（x+2）f（x），可得f（x）为周期为2的偶函数，且当x1，1时，f（x）x2，画出函数yf（x）的图象；函数g（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，g（x）lgx，可得x0时，g（0）0，x0时，g（x）lg（x），作出yg（x）的图象，由lg101，f（x）的最大值1，可得x0时，yf（x）和yg（x）的图象有9个交点；x0时，f（0）g（0）0；x0时，yf（x）和yg（x）的图象有1个交点；综上可得yf（x）和yg（x）的图象共有11个交点，即有h（x）f（x）g（x）的
14、零点的个数是11故选：C12已知函数，若关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是（）ABCD解：画出函数f（x）的图象如图所示在R上恒成立即函数yf（x）的图象恒在直线的图象的下方，且直线过定点，当直线与yln（x+1）（x0）相切时，设切点P（x0，ln（x0+1），可得，解得，则直线斜率为，即；当直线与yx22x2（x0）相切时，此时由，得，令（a+2）24a60，得或（舍），所以由图像可知，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13记Sn为等比数列an的前n项和若a11，则S5121解：设等比数列an公比为q，由，则，因为a11，代入可得q63q5，解得q3，所以
15、由等比数列的前n项和公式可得，故答案为：12114二项式（ax）3的展开式的第二项的系数为，则x2dx的值为3或解：二项式（ax）3的展开式的通项为Tr+1（ax）3r（）r，展开式的第二项的系数为，a31（）1，解得：a1，当a1时，x2dxx2dx1（8），当a1时，x2dxx2dx1（8）3，x2dx的值为3或故答案为：3或15已知双曲线的右焦点为F，点P在双曲线C上，若|PF|5a，PFO120，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率为解：双曲线的右焦点为F，点P在双曲线C上，若|PF|5a，PFO120，可得P到左焦点的距离为：7a，可得49a24c2+25a220accos120，可
16、得4e2+10e240，e1解得e故答案为：16已知梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BC4，CD2，AD3，3，以BE为折痕将ABE折起，使点A到达点P的位置，且平面PBE平面EBCD，则四棱锥PEBCD外接球的表面积为16解：取BC中点O，过点P作BE的垂线，垂足为F，连接PO，FO，BOOCODOE2，在原平面图形中，由AE1，BE2，得ABE30，EBO60，则BFPB，即OPOBOCODOE2，球心在BC的中点处，得外接球的半径为2，其表面积为S42216故答案为：16三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须做答第22、23
17、题为选考题，考生根据要求做答17已知等比数列an满足条件a2+a43（a1+a3），a2n3an2，nN*，数列bn满足b11，bnbn12n1（n2，nN*）（1）求数列an，bn的通项公式；（2）若数列cn满足，nN*，求cn的前n项和Tn解：（1）设an的通项公式为，nN*，由已知a2+a43（a1+a3），得q3，由已知，即，解得q3a1，a11，所以 an的通项公式为因为b11，bnbn12n1（n2，nN*），累加可得（2）当n1时，c11，当n2时，由得到，n2，综上，nN*.，由得到，所以182021年，福建、河北、辽宁、江苏、湖北、湖南、广东、重庆8省市将迎来“3+1+2”新
18、高考模式“3”指的是：语文、数学、英语，统一高考：“1”指的是：物理和历史，考生从中选一科：“2”指的是：化学、生物、地理和政治，考生从四种中选两种为了迎接新高考，某中学调查了高一年级1500名学生的选科倾向，随机抽取了100人统计选考科目人数如表：选考物理选考历史共计男生4050女生共计30（1）补全22列联表；（2）将此样本的频率视为总体的概率，随机调查了本校的3名学生，设这3人中选考历史的人数为X，求X的分布列及数学期望；（3）根据表中数据判断是否有95%的把握认为“选考物理与性别有关”？请说明理由参考附表：P（K2k）0.1000.0500.025k2.7063.8415.024参考公
19、式：K2，其中na+b+c+d解：（1）根据题意补全22列联表，如下：选考物理选考历史总计男生401050女生302050总计7030100（2）根据题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，且X服从二项分布，由题意知，学生选考历史的概率为，且XB（3，），计算P（X0），P（X1），P（X2），P（X3），所以X的分布列为：X0123P数学期望为E（X）3（3）由表中数据，计算K2的观测值k4.7623.841，所以有95%的把握认为“选考物理与性别有关”19已知三棱柱ABCA1B1C1中，平面ACC1A1平面ABC，AA1ACCA1BC，A1BBC（）求证：BC平面ACC1A1；（）求
20、直线AB1与平面A1BC所成角的大小【解答】（）证明：取A1C1中点M，连接MC，因为C1CA1AA1C，所以MCA1C1，因为A1C1AC，所以MCAC，、又因为平面ACC1A1平面ABC，平面ACC1A1平面ABCAC，所以MC平面ABC，又因为BC平面ABC，所以BCMC，CA1BC，A1BBC，所以 A1B2BC2+A1C2，所以BCA1C，CMA1CC，所以BC平面ACC1A1（）解：由（）知BC平面ACC1A1，又因为CA、CM平面ACC1A1，所以BCCA，BCCM，于是CA、CB、CM两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AC2，A（2，0，0），B（0，2，0），C（
21、0，0，0），B1（1，2，），A1（1，0，），（0，2，0），（1，0，），（3，2，），设平面A1BC的法向量为（x，y，z），令z1，（，0，1），所以直线AB1与平面A1BC所成角的正弦值为，故直线AB1与平面A1BC所成角的大小为6020已知椭圆+1（ab0）的离心率e，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4（1）求椭圆的方程（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，已知点A的坐标为（a，0），点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且4，求y0的值解：（1）由e，得3a24c2再由c2a2b2，解得a2b由题意可知 ，即ab2解方程组 得a2，b1所以椭圆的方程为 （2）由（
22、）可知点A的坐标是（2，0）设点B的坐标为（x1，y1），直线l的斜率为k则直线l的方程为yk（x+2）于是A、B两点的坐标满足方程组 消去y并整理，得（1+4k2）x2+16k2x+（16k24）0由 ，得 从而 所以 设线段AB的中点为M，则M的坐标为 以下分两种情况：当k0时，点B的坐标是（2，0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是 由 ，得 当k0时，线段AB的垂直平分线方程为令x0，解得 由 ，整理得7k22故 所以 综上，或 21已知函数f（x）mexln（x+1）+lnm（）若f（x）在x0处取到极值，求m的值及函数f（x）的单调区间；（）若f（x）1，求m的取值范围解：（）函数
23、f（x）的定义域是（1，+），f（x）mex，f（x）在x0处取到极值，f（0）m10，解得：m1，m1时，f（x）ex，f（x）ex+0，故f（x）在（1，+）递增，而f（0）0，故x0时，f（x）0，x0时，f（x）0，f（x）在（1，0）递减，在（0，+）递增，故x0是f（x）的极小值点，符合题意；（）f（x）mexln（x+1）+lnmex+lnmln（x+1）+lnm1，ex+lnm+x+lnmln（x+1）+x+1，设g（x）ex+x，则g（x+lnm）ex+lnm+x+lnm，g（ln（x+1）x+1+ln（x+1），故式等价于g（x+lnm）g（ln（x+1），g（x）ex+1
24、0，g（x）递增，故只需证明x+lnmln（x+1），即证明lnmln（x+1）xh（x），而h（x）10，h（x）递减，故h（x）h（0）0，故lnm0，m1，即m的取值范围是1，+）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程22在极坐标下，曲线C1的方程是cos30，曲线C2的参数方程是（为参数），点P是曲线C2上的动点（1）求点P到曲线C1的距离的最大值；（2）若曲线交曲线C2于A、B两点，求ABC2的面积解：（1）由曲线C1的方程是cos30，因为xcos，所以曲线C1的平面直角坐标方程：x3，由曲线C2的参数方程是（
25、为参数），即（为参数），平方相加，可得（x+2）2+（y+1）21，即曲线C2的平面直角坐标方程：（x+2）2+（y+1）21，则C2的圆心（2，1）到直线x3的距离d3（2）5，则dmax5+r6（2）由曲线，可得C3的直角坐标方程为xy0，可得C2的圆心（2，1）到直线C3的距离，则，所以ABC2的面积为选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）k|x4|，xR，且f（x+4）0的解集为1，1（1）求k的值；（2）若a，b，c是正实数，且，求证：【解答】（本小题满分10分）选修45：不等式选讲（1）解：因为f（x）k|x4|，所以f（x+4）0等价于|x|k，由|x|k有解，得k0，且其解集为x|kxk又f（x+4）0的解集为1，1，故k1（2）证明：由（1）知1，又a，b，c是正实数，由均值不等式得：a+2b+3c（a+2b+3c）（）3+3+2+2+29，当且仅当a2b3c时取等号，所以1