1、第1页高考调研 高三总复习 数学（理）第7课时 空间向量的应用(一)平行与垂直 第2页高考调研 高三总复习 数学（理）2016 考纲下载 第3页高考调研 高三总复习 数学（理）1能够运用向量的坐标判断两个向量的平行或垂直2理解直线的方向向量与平面的法向量3能用向量方法解决线面、面面的垂直与平行问题，体会向量方法在立体几何中的作用第4页高考调研 高三总复习 数学（理）请注意本节知识是高考中的重点考查内容，着重考查线线、线面、面面的平行与垂直，考查以选择题、填空题形式，出现时灵活多变，以解答题出现时，往往综合性较强属于中档题第5页高考调研 高三总复习 数学（理）课前自助餐 第6页高考调研 高三总复
2、习 数学（理）直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行(或共线)的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数多个平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有无数多个，它们是共线向量(2)在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为法向量且经过点 A 的平面是唯一确定的第7页高考调研 高三总复习 数学（理）直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用直线 l1 的方向向量 u1(a1，b1，c1)，直线 l2 的方向向量为u2(a2，b2，c2)如果 l1l2，那么 u1u2(a1，b1，c1)(a2，b2，c2)如果
3、 l1l2，那么 u1u2a1a2b1b2c1c20直线 l 的方向向量为 u(a1，b1，c1)，平面 的法向量为 n(a2，b2，c2)第8页高考调研 高三总复习 数学（理）若 l，则 unun0a1a2b1b2c1c20；若 l，则 unukn(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)；平面 1 的法向量为 u1(a1，b1，c1)，平面 2 的法向量为u2(a2，b2，c2)若 1 2，则 u1u2u1ku2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)若 1 2，则 u1u2u1u20a1a2b1b2c1c20第9页高考调研 高三总复习 数学（理）1判断下面结论是否正确(打“”或“”)(
4、1)直线的方向向量是唯一确定的(2)平面的单位法向量是唯一确定的(3)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行(4)若空间向量 a 平行于平面，则 a 所在直线与平面 平行答案(1)(2)(3)(4)第10页高考调研 高三总复习 数学（理）2已知 a(2，3，1)，b(2，0，4)，c(4，6，2)，则下列结论正确的是()Aac，bc Bab，acCac，abD以上都不对答案 C第11页高考调研 高三总复习 数学（理）3若两不重合直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1(1，0，1)，v2(2，0，2)，则 l1 与 l2 的位置关系是()A平行B相交C垂直D不确定答案 A解析 v22v1
5、，l1l2.第12页高考调研 高三总复习 数学（理）4若平面，垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是()An1(1，2，1)，n2(3，1，1)Bn1(1，1，2)，n2(2，1，1)Cn1(1，1，1)，n2(1，2，1)Dn1(1，2，1)，n2(0，2，2)答案 A第13页高考调研 高三总复习 数学（理）5已知AB(2，2，1)，AC(4，5，3)，则平面 ABC 的单位法向量为()A(13，23，23)B(13，23，23)C(13，23，23)D(23，13，23)第14页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 C解析 设平面 ABC 的法向量 n(x，y，z)，则AB n0，AC
6、 n0，即2x2yz0，4x5y3z0.令 z1，得x12，y1.n(12，1，1)平面 ABC 的单位法向量为 n|n|(13，23，23)第15页高考调研 高三总复习 数学（理）授人以渔 第16页高考调研 高三总复习 数学（理）题型一 证明平行关系例 1(1)如图所示，在长方体 OAEBO1A1E1B1 中，OA3，OB4，OO12，点 P 在棱 AA1 上，且 AP2PA1，点 S 在棱 BB1 上，且SB12BS，点 Q，R 分别是 O1B1，AE 的中点，求证：PQRS.第17页高考调研 高三总复习 数学（理）【证明】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，则 A(3，0，0)，B(0
7、，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)，E(3，4，0)AP2PA1，AP2PA1 23AA1.即AP23(0，0，2)(0，0，43)第18页高考调研 高三总复习 数学（理）P 点坐标为(3，0，43)同理可得 Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0，4，23)PQ(3，2，23)RS.PQRS.又RPQ，PQRS.第19页高考调研 高三总复习 数学（理）方法二：设OA a，OB b，OO1 c，则 PQPA1 A1O1 O1Q 13AA1 OA 12OB 13ca12b，RSRA AO OB BS 12OB OA OB 13BB1 a12b13c.PQR
8、S，PQRS.又RRQ，PQRS.第20页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 C1C，B1C1 的中点求证：MN平面 A1BD.【证明】方法一：如图所示，以 D 为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则可求得 M(0，1，12)，N(12，1，1)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，于是MN(12，0，12)第21页高考调研 高三总复习 数学（理）设平面 A1BD 的法向量是 n(x，y，z)则 nDA1 0，且 nDB 0，得xz0，
9、xy0.取 x1，得 y1，z1.n(1，1，1)又MN n(12，0，12)(1，1，1)0，MN n.又MN平面 A1BD，MN平面 A1BD.第22页高考调研 高三总复习 数学（理）方法二：MN C1N C1M 12C1B1 12C1C 12(D1A1 D1D)12DA1，MN DA1.又MN平面 A1BD，MN平面 A1BD.【答案】(1)略(2)略第23页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 1(1)证明线线平行是证明线面平行和面面平行的基础，要证线线平行，只需证明相应的向量共线即可(2)解决此类问题的依据还是要根据线面平行的判定定理，可证直线方向向量与面内一向量平行，也可证直线方向
10、向量与平面法向量垂直(3)证明面面平行时，可以通过面面平行的判定定理，也可以用两个平面的法向量互相平行来证第24页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 1(1)在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面 ABCD，且 PDDC，E 是 PC 的中点，求证：PA平面 EBD.第25页高考调研 高三总复习 数学（理）【证明】连接 AC 交 BD 于 O，设DA a，DC b，DPc，则PADA DPac，EO DO DE 12(DA DC)12(DPDC)12(DA DP)12(ac)PA2EO，PAEO.又 PA平面 EBD，且 OE平面 EBD，PA平面 EBD.第2
11、6页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)在正方体 AC1 中，M，N，E，F 分别是 A1B1，A1D1，B1C1，C1D1 的中点，求证：平面 AMN平面 EFDB.【证明】如图所示，以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设 AD1，则 D(0，0，0)，A(1，0，0)，M(1，12，1)，N(12，0，1)，B(1，1，0)，F(0，12，1)，E(12，1，1)第27页高考调研 高三总复习 数学（理）AM(0，12，1)，DF(0，12，1)AM DF，AMDF.又AM平面 EFDB，且 DF平面 EFDB，AM平面 EFDB.又A
12、N BE(12，0，1)，可证 AN平面 EFDB.又 ANAMA，平面 AMN平面 EFDB.【答案】(1)略(2)略第28页高考调研 高三总复习 数学（理）题型二 证明垂直关系例 2(1)已知空间四边形 OABC 中，M 为 BC 中点，N 为AC 中点，P 为 OA 中点，Q 为 OB 中点，若 ABOC.求证：PMQN.【思路】欲证 PMQN，只需证明PM QN 0.第29页高考调研 高三总复习 数学（理）【证明】设OA a，OB b，OC c.OM 12(OB OC)12(bc)，ON 12(OA OC)12(ac)，PM PO OM 12a12(bc)12(bca)，第30页高考调
13、研 高三总复习 数学（理）QN QO ON 12b12(ac)12(acb)PM QN 14c(ab)c(ab)14c2(ab)214(|OC|2|BA|2)|AB|OC|，PM QN 0，即PM QN.PMQN.第31页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，求证：BD1平面 ACB1.【证明】以 D 为原点，DA，DC，DD1 分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 B(1，1，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)BD1(1，1，1)，AB1(0，1，1)，AC(1，1，0)第32
14、页高考调研 高三总复习 数学（理）又BD1 AB1(1)0(1)1110，BD1 AC(1)(1)(1)1100.BD1 AB1，BD1 AC，即 BD1AB1，BD1AC.又 AB1ACA，BD1平面 ACB1.第33页高考调研 高三总复习 数学（理）(3)已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是 BB1，CD的中点，求证：平面 DEA平面 A1FD1.【证明】建立空间直角坐标系 Dxyz，令 DD12，则有 D(0，0，0)，D1(0，0，2)，A(2，0，0)，A1(2，0，2)，E(2，2，1)，F(0，1，0)此时DA(2，0，0)，DE(2，2，1)第34页高考调研
15、 高三总复习 数学（理）设平面 ADE 的一个法向量为 n1(x，y，z)，则 x0，2x2yz0.令 y1，则 z2，n1(0，1，2)又D1A1(2，0，0)，D1F(0，1，2)，第35页高考调研 高三总复习 数学（理）设平面 A1FD1 的一个法向量为 n2(x，y，z)，则 x0，y2z0.令 z1，则 y2，n2(0，2，1)n1n2220，n1n2.平面 DEA平面 A1FD1.【答案】(1)略(2)略(3)略第36页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 2(1)要证明两线垂直，需转化为两线对应的向量垂直，进一步转化为证明两向量的数量积为零，这是证明两线垂直的基本方法，线线垂直是
16、证明线面垂直，面面垂直的基础(2)证明线面垂直，可利用判定定理如本题解法，也可证明此直线与平面的法向量共线(3)用向量证明两个平面垂直，关键是求出两个平面的法向量，把证明面面垂直转化为法向量垂直第37页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 2 如图所示，已知四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面 PBC底面 ABCD.(1)求证：PABD；(2)求证：平面 PAD平面 PAB.第38页高考调研 高三总复习 数学（理）【思路】空间中各元素的位置关系和数量关系其核心是线与线的关系，线与线的关系完全可以用数量关系来表示，从而为向量在立体几何中的应用奠定
17、了坚实的基础考虑到面 PBC面ABCD 及 PCPB，故可取 BC 的中点 O 为原点，OP 为 z 轴，OB 为 x 轴 第39页高考调研 高三总复习 数学（理）【证明】(1)取 BC 的中点 O，侧面 PBC底面 ABCD，PBC 为等边三角形，PO底面 ABCD.以 BC 的中点 O 为坐标原点，以 BC 所在直线为 x 轴，过点O 与 AB 平行的直线为 y 轴，如图所示，建立空间直角坐标系 第40页高考调研 高三总复习 数学（理）不妨设 CD1，则 ABBC2，PO 3.A(1，2，0)，B(1，0，0)，D(1，1，0)，P(0，0，3)BD(2，1，0)，PA(1，2，3)BD
18、PA(2)1(1)(2)0(3)0，PABD，PABD.(2)取 PA 的中点 M，连接 DM，则 M(12，1，32)DM(32，0，32)，PB(1，0，3)，第41页高考调研 高三总复习 数学（理）DM PA3210(2)32(3)0.DM PA，即 DMPA.又DM PB32100 32(3)0，DM PB，即 DMPB.又PBPAP，DM平面 PAB，又DM平面 PAD，平面 PAD平面 PAB.【答案】(1)略(2)略第42页高考调研 高三总复习 数学（理）题型三 探究性问题例 3(2016东北四校联考)如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB1，BC2，CC15，M
19、 为棱 CC1 上一点(1)若 C1M32，求异面直线 A1M 和 C1D1 所成角的正切值；(2)是否存在这样的点 M 使得 BM平面 A1B1M？若存在，求出 C1M 的长；若不存在，请说明理由第43页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)过点 M 作 MNC1D1交 DD1于 N，并连接 A1N，则A1MN 是异面直线 A1M 和 C1D1所成的角 由题意，可得 MN1，A1N22（32）252.tanA1MNA1NMN52.当 C1M32时，异面直线 A1M 和 C1D1 所成角的正切值为52.第44页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)假设存在点 M 使得 BM平面 A1B
20、1M，并设 C1Mx，则有 RtB1C1MRtBMB1.C1MB1MB1MBB1，4x25x，x4 或 x1.当 C1M1 或 4 时，使得 BM平面 A1B1M.【答案】(1)52(2)存在点 M，C1M1 或 4第45页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 3(1)证明线面平行须证明线线平行，只需证明这条直线与平面内的直线的方向向量平行可用传统法也可用向量法用向量法更为普遍(2)证明线面垂直的方法：可用直线的方向向量与平面的法向量共线证明；也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直证明(3)证明面面垂直通常转化为证线面垂直，也可用两平面的法向量垂直来证明 第46页高考调研 高三
21、总复习 数学（理）思考题 3(2016衡水调研卷)如图所示，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，A1D平面 ABCD，底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，侧棱 A1A2.(1)证明：ACA1B；(2)是否在棱 A1A 上存在一点 P，使得APPA1 且面 AB1C1面 PB1C1.第47页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】以 DA，DC，DA1 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，则 D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，3)，B(1，1，0)，D1(1，0，3)，B1(0，1，3)，C1(1，1，3)(1)AC(1，1，0)，A
22、1B(1，1，3)，AC A1B 0，ACA1B.第48页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)假设存在 APPA1，P(11，0，31)设平面 AB1C1 的一个法向量为 n1(x1，y1，z1)，AB1(1，1，3)，AC1(2，1，3)，n1AB1 x1y1 3z10，n1AC1 2x1y1 3z10.第49页高考调研 高三总复习 数学（理）令 z1 3，则 y13，x10.n1(0，3，3)同理可求面 PB1C1 的一个法向量为 n2(0，31，1)，n1n20.3 31 30，即 4.P 在棱 A1A 上，0 矛盾 这样的点 P 不存在【答案】(1)略(2)点 P 不存在第50页高考调研 高三总复习 数学（理）用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；根据运算结果的几何意义来解释相关问题请做：题组层级快练（四十四）